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专题 24.1 圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的认识】..................................................................................................................................................2
【题型2 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................3
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】..............................................................................................................3
【题型4 与圆有关的概念】......................................................................................................................................4
【题型5 利用圆的基本性质求角度】......................................................................................................................5
【题型6 利用圆的基本性质求长度】......................................................................................................................6
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】......................................................................................................................7
【题型8 利用圆的基本性质求最值】......................................................................................................................8
知识点 1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径 r ） ；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点 2 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点 3 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（3）弧{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等．
【题型1 圆的认识】
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某
几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1-1】到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是 ．
【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径
C．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过已知点M
【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．【题型2 判断点与圆的位置关系】
【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形ABCD中，AB=8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是
(5,4)，那么点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径是方程x2−5x−24=0的根，且点A到圆
心O的距离为6，则点A在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O内 C．⊙O外 D．无法确定
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边△ABC中，点A在以BC边为直径的圆 ．
（填“上”“内”或“外”）
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P
是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P
的半径可以是（ ）
3 12 25
A． B．2 C． D．
2 5 8
【变式3-1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个
圆的半径为（ ）A．6 B．3 C．8 D．4
【变式3-2】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一
公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 D．3≤r≤5
【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作
⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连
接DP，将△DAP沿DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的
最小值为1时，边BC的长为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6
