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专题 24.1 圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 圆的认识】..................................................................................................................................................2
【题型2 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................3
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】..............................................................................................................3
【题型4 与圆有关的概念】......................................................................................................................................4
【题型5 利用圆的基本性质求角度】......................................................................................................................5
【题型6 利用圆的基本性质求长度】......................................................................................................................6
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】......................................................................................................................7
【题型8 利用圆的基本性质求最值】......................................................................................................................8
知识点 1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径 r ） ；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点 2 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺d<r；
点P在圆上⟺d=r；
点P在圆外⟺d>r．
知识点 3 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（3）弧{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等．
【题型1 圆的认识】
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某
几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1-1】到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是 ．
【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径
C．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过已知点M
【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．【题型2 判断点与圆的位置关系】
【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形ABCD中，AB=8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)，点P的坐标是
(5,4)，那么点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径是方程x2−5x−24=0的根，且点A到圆
心O的距离为6，则点A在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O内 C．⊙O外 D．无法确定
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边△ABC中，点A在以BC边为直径的圆 ．
（填“上”“内”或“外”）
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P
是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P
的半径可以是（ ）
3 12 25
A． B．2 C． D．
2 5 8
【变式3-1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个
圆的半径为（ ）A．6 B．3 C．8 D．4
【变式3-2】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一
公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 D．3≤r≤5
【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作
⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4
【题型4 与圆有关的概念】
【例4】下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦
【变式4-1】如图，在 ⊙O 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 B´C 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
【变式4-2】小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．11
【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（ ）
①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一
平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤【题型5 利用圆的基本性质求角度】
【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则
∠ACO的度数为（ ）
A．38° B．46° C．44° D．48°
【变式5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD=30°，则
∠ABC等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式5-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆
心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A．15° B．10° C．12° D．50°
【变式5-3】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在⊙O上，连接OA,OC,AD,CD
，若四边形AOCD是菱形，则∠AOC的度数是（ ）A．150° B．120° C．90° D．60°
【题型6 利用圆的基本性质求长度】
【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶
点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45°，则AB=（ ）
A．4 B．2❑√5 C．2❑√6 D．6
【变式6-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂
足为D，已知CD=4，OD=3，则AB的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【变式6-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中∠B=75°，DE⊥AC于点E，
交AB于点M，AE=CE，以点C为圆心CA长为半径作弧，交DE于点F，连结CF交AB于点G．若
CG=FG=2，则AB长为（ ）A．2 B．4 C．2❑√3 D．4❑√3
【变式6-3】如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，
则BE:AB=（ ）．
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】
【例7】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐
标为(0，4)，则点B的坐标为 ．
【变式7-1】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与⊙O相交于点A，B，点A的坐标为
(3,1)，则点B的坐标为 ．【变式7-2】（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，适当长为半径作
1
弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于 OB的长为半径作弧，
2
两弧相交于点C，D，直线CD与A´B相交于点E．若OA=2，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
(−2,1) (−❑√3,1) (−1,❑√3) (−1,2)
【变式7-3】（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段AB，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转可以得
到⊙O的弦A B （A ，B 分别是A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以点P为中心的“和谐线
1 1 1 1
段”．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P(−1,1)，A(−2,3)，B(−1,2)的，连接
AB，已知线段AB是⊙O的以点P为中心的“和谐线段”，则点A 的坐标是（ ）
1
A．(0,1) B．(0,−1) C．(1,0) D．(−1,0)【题型8 利用圆的基本性质求最值】
【例8】（24-25九年级上·海南·期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E,F分别从点A,C同
时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线l，过点A作直
线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
5 3
A． B． C．5 D．3
2 2
【变式8-1】（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，A、B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上
一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为（ ）
A．1+❑√5 B．❑√5
C．3 D．2❑√5
【变式8-2】（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=5，BC=12，P是BC
边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为
（ ）
13
A．❑√26 B． C．7 D．8
2
【变式8-3】（2025·海南·一模）如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连
接DP，将△DAP沿DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的
最小值为1时，边BC的长为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6
