文档内容
专题 24.1 圆的基本认识【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆的有关概念辨析】..................................................................................................................................1
【题型2 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................3
【题型3 求圆内最长一点的弦】..............................................................................................................................5
【题型4 圆的周长与面积问题】..............................................................................................................................6
【题型5 确定圆的条件】........................................................................................................................................10
【题型6 点与圆的位置关系】................................................................................................................................12
【题型7 圆中角度的计算】....................................................................................................................................14
【题型8 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................17
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】...........................................................................................................21
【知识点1 圆的有关概念】
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做
半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【题型1 圆的有关概念辨析】
【例1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P
的轨迹是（ ）
A．以AB为直径的圆 B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线
【答案】A
【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．
【详解】解：∵线段AB的中点为M，
1
∴MA=MB= AB，
2∵AB=2PM，
1
∴PM=MA=MB= AB，
2
∴点P在以点M为圆心，AB为直径的圆上，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【答案】C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）
面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但
长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦
是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．【变式1-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内
画一个最大的圆，其直径等于 ．
【答案】2厘米
【分析】根据在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，即可得到答案．
【详解】解：∵长方形的长是4厘米，宽是2厘米
∴在长方形内画一个最大的圆，其直径等于2厘米，
故答案为：2厘米．
【点睛】本题主要考查了圆的直径，明确在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的
长，是解题的关键．
【题型2 求圆中弦的条数】
【例2】（2023春·河南濮阳·九年级统考期末）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条．
故选B．
【点睛】理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式2-1】（2023春·北京昌平·九年级校考期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条
直径．
【答案】 无数 一
【分析】根据弦和直径的定义求解．
【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关
的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2013秋·北京海淀·九年级统考期中）如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为√10，
如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别求出过点P的最长的弦长和最短的弦长，进行判断即可．
【详解】解：①当过点P的弦，过圆心时，弦为圆的直径，此时弦长最长，
∵⊙O的半径为5，
∴⊙O的直径为10，即此时的弦长为10，
②当OP垂直于过点P的弦时，此时弦长最短，由垂径定理，可得：弦长=2√52-(√10) 2=2√15；
设过点P的弦长为x，则2√15≤x≤10，
∴长度为整数值的弦的条数为5条；
故选C．
【点睛】本题考查圆中的弦长的取值范围．解题的关键是掌握直径是圆中最长的弦，以及利用垂径定理求
值．【题型3 求圆内最长一点的弦】
【例3】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．
【详解】∵圆的半径为2，
∴圆的直径为4，
∵AB是半径为2的圆的一条弦，
∴0r；②点P在圆上⇔d=r；③点P
在圆内⇔dr，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到
圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系.
【变式6-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】A
【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【详解】解：解方程可得，
x =5，x =-1，
1 2
∵点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，
∴d=5<8，
∴点P在⊙O的内部，
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半
径关系判断点与圆的关系．
【变式6-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长
距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 ．
【答案】3或2
【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3；当P在圆外，直径长
度为5-1=4，半径为2．
【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3，
当P在圆外，直径长度为5-1=4，半径为2，∴⊙O的半径为3或2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论．
【题型7 圆中角度的计算】
【例7】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，
交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是( )
A．75° B．67.5° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】连接OD，由题意可知，∠COB=∠AOC=90°，由角平分线性质得到
1
∠DOB= ∠COB=45°，再根据圆的半径相等得到AO=OD，由三角形外角性质及等边对等角解得
2
∠OAD=22.5°，最后由直角三角形两个锐角互余解答．
【详解】解：连接OD
∵OC⊥AB
∴∠COB=∠AOC=90°
∵ OD平分∠BOC，
1
∴∠DOB= ∠COB=45°
2
∵AO=OD
1 1
∴∠OAD=∠ADO= ∠DOB= ×45°=22.5°
2 2
∴∠AEO=90°-∠OAE=90°-22.5°=67.5°
故选：B．【点睛】本题考查圆的基本性质，涉及等边对等角、三角形的外角性质、直角三角形两个锐角互余等知识，
是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式7-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则
∠MON的度数为（ ）
A．100° B．40° C．50° D．80°
【答案】D
【分析】根据圆的性质，等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵MN为⊙O的弦，∠N=50°，
∴OM=ON，∠M=∠N=50°，
∴∠MON=80°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点
D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠E=40°，那么∠C= ．【答案】20°
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明∠E=2∠C，即可
解决问题．
【详解】解：连接OD，
∴OD=OA=OE，
∵CD=OA，∠E=40°，
∴CD=OD=OE，
∴∠C=∠DOC，∠E=∠ODE，
∴∠E=∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，
∴2∠C=∠E=40°，
∴∠C=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键．
【变式7-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，
∠ACO=36°，则∠BOC等于 ．
【答案】136°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰 OAB、等腰 OAC中，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D； △ △在 OAB中，OA＝OB，
则△∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×36°＝72°，
故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝136°．
故答案为：136°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的
度数．
【题型8 圆中线段长度的计算】
【例8】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个
顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°．
(1)若AB=2，求PD的长度；
(2)若半径是5，求正方形ABCD的边长．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC=BC=AB=1，则∠DCO=∠ABC=90°，又
∠POM=45°，CO=DC=1，求出OD，再连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用
勾股定理即可求出圆的半径，可得PD．
（2）证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC=CO，求出BO=2AB，连接AO，得出AO=5，再根据
勾股定理求出AB的长即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DC=BC=AB=2，∠DCO=∠ABC=90°，
∵∠POM=45°，
∴CO=DC=2，∴OD=√2CO=2√2，
连接AO，则△ABO为直角三角形，
∴AO=√AB2+BO2=√22+42=2√5，
∴即⊙O的半径为2√5，
∴PD=OP-OD=2√5-2√2；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∴∠DCO=90°，
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB，
∵MO=NO=5，
∴AO=5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，
即AB2+(2AB) 2=52，
解得：AB=√5，
则正方形ABCD的边长为√5．
【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等
腰直角三角形，得出BO=2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解．
【变式8-1】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）如图，▱ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，若AB＝2，
则▱ABCO的周长是 ．【答案】8
【分析】证明四边形ABCO是菱形，即可得到周长．
【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴▱ABCO的周长是2×4=8，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了菱形的判定及性质定理，圆的半径相等的性质，熟记菱形的判定定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，若
以点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．5√2cm D．5√3cm
【答案】D
【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有
BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点，∠C=90°，AB=10cm，
1
∴CD=BD= AB=5cm，
2∵CD=BC，
∴CD=BD=BC=5cm，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=√AB2-BC2=5√3cm；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直
角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上
的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是 ．
5√2
【答案】
2
【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求
得最大值．
【详解】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
1
∴MN= AB，
2
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B'，连接CB'，
∵AB'是⊙O的直径，
∴∠ACB'=90°．
∵∠ABC=45°，AC=5，
∴∠AB'C=45°，
5
∴AB'= =5√2
√2 ，
2
5√2
∴M N = ．
最大 2
5√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关
键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】
【例9】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P
是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，
则AB的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【答案】D
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交
⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵点 A、点B关于原点O对称，∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵M P'=r=4，
∴OP'=MO+M P'=10+4=14，
∴AB=2OP'=2×14=28；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得
出AB取得最小值时点P的位置．
【变式9-1】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC=2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点
为点Q，连接DQ．则DQ的长度的取值范围是 ．
【答案】1≤DQ≤3
【分析】以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q'和Q，根据题意可得AB=4，
CD⊥AB，CD=AD=2，根据分析图中DQ为最大值，DQ'为最小值．
【详解】解：如图，以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q'和Q，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2√2，∴AB=√AC2+BC2=√(2√2) 2+(2√2) 2=4，
∵点D为AB的中点，
1
∴CD⊥AB，CD=AD= AB=2，
2
∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，CP=1，
∴点Q在以点C为圆心，CP为半径的圆上，
∵∠CDA=90°，
∴点C、D、Q三点共线，
由图可知，Q可能在线段CD上，
此时，DQ取得最小值：DQ'=CD-CQ'=CD-CP=2-1=1，
也可能在CD延长线上，
此时，DQ取得最大值：DQ=CD+CQ=CD+CP=2+1=3，
∴DQ的长度的取值范围是1≤DQ≤3．
故答案：1≤DQ≤3．
【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质．分析出当∠CDA=90°时，点Q
有两种情况并找出DQ的最大值与最小值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广东茂名·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边
AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
【答案】2√13-6
【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股
定理可得问题的答案．
【详解】解：∵点A关于DE的对称点P，∴DA=DP=6，
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，
∴BD=√42+62=2√13，
∵半径为6，即DP′=6，
∴BP′=2√13-6．
故答案为：2√13-6．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．
【变式9-3】（2023春·广东汕尾·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分
别是AD，DC边上的动点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为
．
【答案】8
【分析】根据EF=4，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=2，可知G点的轨
迹为：交以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，
交以D为圆心，以2为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A'G的长；根据勾股定理求得
A'D=10，即可求得A'G=A'D-DG=10-2=8，即问题得解．
【详解】解：∵EF=4，点G为EF的中点，
∴DG=2，
∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），
作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，当G点刚好在直线A'D上时，此时PA+PG的值最小，最小值为A'G的长；
∵AB=4，AD=6，
∴ A A'=8，
∴在Rt△ A A'D利用勾股定理有A'D=10，
∴ A'G=A'D-DG=10-2=8，
∴PA+PG的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
