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专题 24.1 圆的基本认识【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆的有关概念辨析】..................................................................................................................................1
【题型2 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................3
【题型3 求圆内最长一点的弦】..............................................................................................................................5
【题型4 圆的周长与面积问题】..............................................................................................................................6
【题型5 确定圆的条件】........................................................................................................................................10
【题型6 点与圆的位置关系】................................................................................................................................12
【题型7 圆中角度的计算】....................................................................................................................................14
【题型8 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................17
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】...........................................................................................................21
【知识点1 圆的有关概念】
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做
半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【题型1 圆的有关概念辨析】
【例1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P
的轨迹是（ ）
A．以AB为直径的圆 B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线
【答案】A
【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．
【详解】解：∵线段AB的中点为M，
1
∴MA=MB= AB，
2∵AB=2PM，
1
∴PM=MA=MB= AB，
2
∴点P在以点M为圆心，AB为直径的圆上，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【答案】C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）
面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但
长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦
是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．【变式1-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内
画一个最大的圆，其直径等于 ．
【答案】2厘米
【分析】根据在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，即可得到答案．
【详解】解：∵长方形的长是4厘米，宽是2厘米
∴在长方形内画一个最大的圆，其直径等于2厘米，
故答案为：2厘米．
【点睛】本题主要考查了圆的直径，明确在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的
长，是解题的关键．
【题型2 求圆中弦的条数】
【例2】（2023春·河南濮阳·九年级统考期末）如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条．
故选B．
【点睛】理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式2-1】（2023春·北京昌平·九年级校考期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条
直径．
【答案】 无数 一
【分析】根据弦和直径的定义求解．
【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关
的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2013秋·北京海淀·九年级统考期中）如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为√10，
如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别求出过点P的最长的弦长和最短的弦长，进行判断即可．
【详解】解：①当过点P的弦，过圆心时，弦为圆的直径，此时弦长最长，
∵⊙O的半径为5，
∴⊙O的直径为10，即此时的弦长为10，
②当OP垂直于过点P的弦时，此时弦长最短，由垂径定理，可得：弦长=2√52-(√10) 2=2√15；
设过点P的弦长为x，则2√15≤x≤10，
∴长度为整数值的弦的条数为5条；
故选C．
【点睛】本题考查圆中的弦长的取值范围．解题的关键是掌握直径是圆中最长的弦，以及利用垂径定理求
值．【题型3 求圆内最长一点的弦】
【例3】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．
【详解】∵圆的半径为2，
∴圆的直径为4，
∵AB是半径为2的圆的一条弦，
∴0<AB≤4，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江·九年级专题练习）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为
cm
【答案】8cm．
【详解】试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
考点：圆的认识．
【变式3-2】（2023春·福建福州·九年级统考期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可
能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
【答案】D
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长≤10．
∴AB的长度不可能是11；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10．
【变式3-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长
线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则 OPC的面积的最大值是 cm2．
△【答案】9
1
【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S ＝ OC•PH＝3PH，则当PH最大时，
△OPC 2
S 有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S 有最大值9．
△OPC △OPC
【详解】解：作PH⊥AB于H，如图，
1
∴OC=OB＋BC= AB+BC=6
2
1 1
∵S ＝ OC•PH＝ ×6×PH＝3PH，
△OPC 2 2
∴当PH最大时，S 有最大值，
△OPC
∵PH≤OP，
∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S 有最大值9，
△OPC
即△OPC的面积的最大值是9cm2．
故答案为9．
【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的
关键.
【题型4 圆的周长与面积问题】
1
【例4】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）如果大圆周长比小圆周长大 ，那么小圆面积比大圆面积
4
小（ ）
3 1 9 9
A． B． C． D．
4 5 16 25
【答案】D1 5
【分析】设小圆的周长为a，则大圆周长为a+ a= a，表示出小圆面积和大圆面积，求出小圆面积比大
4 4
圆面积小多少即可解得．
1 5
【详解】解：设小圆的周长为a，则大圆周长为a+ a= a，
4 4
a 5a
∴小圆半径为 ，大圆半径为 ，
2π 8π
a 2 a2 5a 2 25a2
∴小圆面积为π×( ) = ，大圆的面积为π×( ) = ，
2π 4π 8π 64π
25a2 a2 9a2
∴小圆面积比大圆面积小 - = ，
64π 4π 64π
9a2 25a2 9
∴ ÷ = ，
64π 64π 25
9
∴小圆面积比大圆面积小 ，
25
故选：D．
【点睛】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是掌握圆的周长和面积的计算方法．
【变式4-1】（2023春·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计
了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部
分的周长和面积．
【答案】阴影部分的周长为48.82，阴影部分的面积为40.82
【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可．
3
【详解】解：C =2(R -R )+ (C +C )+C
阴影 大圆 小圆 4 大圆 小圆 小圆
3
=2×(4-2)+ ×(2π×4+2π×2)+2π×2
4
=8+13π
≈48.82；3
S = (S +S )+S
阴影 4 大圆 小圆 小圆
3
= (π×42+π×22)+π×22
4
=13π
≈40.82.
答：阴影部分的周长为48.82，阴影部分的面积为40.82．
【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键
【变式4-2】（2023春·九年级统考期末）如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，则阴影部分的
面积是 ．（结果保留π）
8
【答案】
π
8
【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，然后根据圆环面积得到πR2-πr2=8，则S =R2-r2= ．
阴影 π
【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
由题意得，πR2-πr2=8，
8
∴S =R2-r2= ，
阴影 π
8
故答案为： ．
π
【点睛】本题主要考查了圆的面积计算，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知⊙O，请你用圆规和
无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的两倍的圆；
②均分问题：如图2，已知⊙O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的一半的
圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）
（2）若⊙O的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）10√2π，5√2π
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可．
【详解】解：（1）①作直径AB，过O作AB的垂线交圆与D，连接BD，以O为圆心，BD为半径画圆，
如图
②如图，以OC为半径作圆（或以OB为斜边作等腰直角三角形OCB）．
（2）∵ ⊙O的半径为5，
∴原来圆的面积为25π，
∵倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为r，
∴ πr2=50π，得r=5√2，
∴所作倍圆的圆周长为2πr=10√2π，
1
∵均分问题中，所作圆面积为原来圆的 倍，设所作圆半径为r ，
2 1
25 5√2
∴ πr2= π，得r = ，
2 1 2∴所作均分圆的圆周长为2πr =5√2π．
1
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
【知识点2 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的
三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条
直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的
三点能画且只能画一个圆．
【题型5 确定圆的条件】
【例5】（2023·浙江·九年级假期作业）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，
则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三
点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b，
将点M(1,2),N(3,-3)代入得：¿，解得¿，
5 9
则直线MN的解析式为y=- x+ ，
2 2
5 9
A、当x=3时，y=- ×3+ =-3≠5，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符
2 2
题意；
5 9
B、当x=-3时，y=- ×(-3)+ =12≠5，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项
2 2
不符题意；
5 9
C、当x=1时，y=- ×1+ =2，则此时点M,N,P在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
2 2
5 9
D、当x=1时，y=- ×1+ =2≠-2，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符
2 2
题意；
故选：C．【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
【变式5-1】（2023春·浙江·九年级统考期末）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点
【答案】D
【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键．
【变式5-2】（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其
中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可
能即可求解．
【详解】解：依题意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上点P可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四
点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
【知识点3 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=14，
点D在边BC上，CD=6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
则r的取值范围是（ ）
A．8<r<10 B．6<r<8 C．6<r<10 D．2<r<14
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，CD=6，
则BD=BC-CD=14-6=8，AD=√AC2+CD2=√82+62=10，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8<r<10
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设
⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P
在圆内⇔d<r．
【变式6-1】（2023春·云南昭通·九年级统考期末）若⊙O的半径为3√3，圆心O为坐标系的原点，点P
的坐标是(3,5)，点P在⊙O ．
【答案】外【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心
O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵r=3√3，d=OP=√32+52=√34，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到
圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系.
【变式6-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】A
【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【详解】解：解方程可得，
x =5，x =-1，
1 2
∵点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，
∴d=5<8，
∴点P在⊙O的内部，
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半
径关系判断点与圆的关系．
【变式6-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长
距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 ．
【答案】3或2
【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3；当P在圆外，直径长
度为5-1=4，半径为2．
【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3，
当P在圆外，直径长度为5-1=4，半径为2，∴⊙O的半径为3或2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论．
【题型7 圆中角度的计算】
【例7】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，
交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是( )
A．75° B．67.5° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】连接OD，由题意可知，∠COB=∠AOC=90°，由角平分线性质得到
1
∠DOB= ∠COB=45°，再根据圆的半径相等得到AO=OD，由三角形外角性质及等边对等角解得
2
∠OAD=22.5°，最后由直角三角形两个锐角互余解答．
【详解】解：连接OD
∵OC⊥AB
∴∠COB=∠AOC=90°
∵ OD平分∠BOC，
1
∴∠DOB= ∠COB=45°
2
∵AO=OD
1 1
∴∠OAD=∠ADO= ∠DOB= ×45°=22.5°
2 2
∴∠AEO=90°-∠OAE=90°-22.5°=67.5°
故选：B．【点睛】本题考查圆的基本性质，涉及等边对等角、三角形的外角性质、直角三角形两个锐角互余等知识，
是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式7-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则
∠MON的度数为（ ）
A．100° B．40° C．50° D．80°
【答案】D
【分析】根据圆的性质，等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵MN为⊙O的弦，∠N=50°，
∴OM=ON，∠M=∠N=50°，
∴∠MON=80°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点
D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠E=40°，那么∠C= ．【答案】20°
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明∠E=2∠C，即可
解决问题．
【详解】解：连接OD，
∴OD=OA=OE，
∵CD=OA，∠E=40°，
∴CD=OD=OE，
∴∠C=∠DOC，∠E=∠ODE，
∴∠E=∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，
∴2∠C=∠E=40°，
∴∠C=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键．
【变式7-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，
∠ACO=36°，则∠BOC等于 ．
【答案】136°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰 OAB、等腰 OAC中，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D； △ △在 OAB中，OA＝OB，
则△∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×36°＝72°，
故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝136°．
故答案为：136°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的
度数．
【题型8 圆中线段长度的计算】
【例8】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个
顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°．
(1)若AB=2，求PD的长度；
(2)若半径是5，求正方形ABCD的边长．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC=BC=AB=1，则∠DCO=∠ABC=90°，又
∠POM=45°，CO=DC=1，求出OD，再连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用
勾股定理即可求出圆的半径，可得PD．
（2）证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC=CO，求出BO=2AB，连接AO，得出AO=5，再根据
勾股定理求出AB的长即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DC=BC=AB=2，∠DCO=∠ABC=90°，
∵∠POM=45°，
∴CO=DC=2，∴OD=√2CO=2√2，
连接AO，则△ABO为直角三角形，
∴AO=√AB2+BO2=√22+42=2√5，
∴即⊙O的半径为2√5，
∴PD=OP-OD=2√5-2√2；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∴∠DCO=90°，
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB，
∵MO=NO=5，
∴AO=5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，
即AB2+(2AB) 2=52，
解得：AB=√5，
则正方形ABCD的边长为√5．
【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等
腰直角三角形，得出BO=2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解．
【变式8-1】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）如图，▱ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，若AB＝2，
则▱ABCO的周长是 ．【答案】8
【分析】证明四边形ABCO是菱形，即可得到周长．
【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴▱ABCO的周长是2×4=8，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了菱形的判定及性质定理，圆的半径相等的性质，熟记菱形的判定定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，若
以点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．5√2cm D．5√3cm
【答案】D
【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有
BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点，∠C=90°，AB=10cm，
1
∴CD=BD= AB=5cm，
2∵CD=BC，
∴CD=BD=BC=5cm，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=√AB2-BC2=5√3cm；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直
角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上
的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是 ．
5√2
【答案】
2
【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求
得最大值．
【详解】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
1
∴MN= AB，
2
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B'，连接CB'，
∵AB'是⊙O的直径，
∴∠ACB'=90°．
∵∠ABC=45°，AC=5，
∴∠AB'C=45°，
5
∴AB'= =5√2
√2 ，
2
5√2
∴M N = ．
最大 2
5√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关
键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】
【例9】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P
是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，
则AB的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【答案】D
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交
⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵点 A、点B关于原点O对称，∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵M P'=r=4，
∴OP'=MO+M P'=10+4=14，
∴AB=2OP'=2×14=28；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得
出AB取得最小值时点P的位置．
【变式9-1】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC=2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点
为点Q，连接DQ．则DQ的长度的取值范围是 ．
【答案】1≤DQ≤3
【分析】以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q'和Q，根据题意可得AB=4，
CD⊥AB，CD=AD=2，根据分析图中DQ为最大值，DQ'为最小值．
【详解】解：如图，以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q'和Q，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2√2，∴AB=√AC2+BC2=√(2√2) 2+(2√2) 2=4，
∵点D为AB的中点，
1
∴CD⊥AB，CD=AD= AB=2，
2
∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，CP=1，
∴点Q在以点C为圆心，CP为半径的圆上，
∵∠CDA=90°，
∴点C、D、Q三点共线，
由图可知，Q可能在线段CD上，
此时，DQ取得最小值：DQ'=CD-CQ'=CD-CP=2-1=1，
也可能在CD延长线上，
此时，DQ取得最大值：DQ=CD+CQ=CD+CP=2+1=3，
∴DQ的长度的取值范围是1≤DQ≤3．
故答案：1≤DQ≤3．
【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质．分析出当∠CDA=90°时，点Q
有两种情况并找出DQ的最大值与最小值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广东茂名·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边
AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
【答案】2√13-6
【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股
定理可得问题的答案．
【详解】解：∵点A关于DE的对称点P，∴DA=DP=6，
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，
∴BD=√42+62=2√13，
∵半径为6，即DP′=6，
∴BP′=2√13-6．
故答案为：2√13-6．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．
【变式9-3】（2023春·广东汕尾·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分
别是AD，DC边上的动点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为
．
【答案】8
【分析】根据EF=4，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=2，可知G点的轨
迹为：交以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，
交以D为圆心，以2为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A'G的长；根据勾股定理求得
A'D=10，即可求得A'G=A'D-DG=10-2=8，即问题得解．
【详解】解：∵EF=4，点G为EF的中点，
∴DG=2，
∴G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），
作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，当G点刚好在直线A'D上时，此时PA+PG的值最小，最小值为A'G的长；
∵AB=4，AD=6，
∴ A A'=8，
∴在Rt△ A A'D利用勾股定理有A'D=10，
∴ A'G=A'D-DG=10-2=8，
∴PA+PG的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
