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专题 24.1 圆的基本概念和性质（五大题型）
【题型1 圆的基本辨析】........................................................................................................1
【题型2求圆中弦的条
数】......................................................................................................4
【题型3求过圆内一点的最长
弦】............................................................................................6
【题型4圆的周长和面积问
题】................................................................................................9
【题型5点与圆上一点的最值问
题】......................................................................................11
【题型1 圆的基本辨析】
1．在Rt△ABC中，AB是直径，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BC的值是
（ ）
A．2❑√3 B．❑√3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质；
连接OC，求出半径OB=2，可得OC=2，OD=BD=1，则CD垂直平分OB，然后根
据线段垂直平分线的性质可得答案．
【详解】解：连接OC，∵AD=3，BD=1，
∴AB=AD+BD=3+1=4，
1
∴OB= AB=2,
2
∴OC=2，OD=OB−BD=2−1=1，
∴OD=BD,
又∵CD⊥AB，
∴BC=OC=2，
故选：C．
2．如图，AB为⊙O的弦，∠A=40°，则AB所对的圆心角等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，圆的基础知识，先结合等边对等
角，三角形内角和性质，得∠AOB=100°，即可作答．
【详解】解：∵∠A=40°，AO=OB，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠AOB=180°−40°−40°=100°，
则AB所对的圆心角等于100°
故选：D
3．说法错误的有（ ）
①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm且经过点P
的圆有无数个；④以点P为圆心，3cm为半径的圆有无数个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根
据圆的相关知识逐一分析即可．
【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则：
① 经过一个点P的圆有无数个，正确；
②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确；
③半径为3cm且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确；
④以点P为圆心，以3cm为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错
误；
综上，错误的为④，即1个．
故选：A．
4．如图，⊙O的直径AC与弦DE交于点B，OB=BD．若∠CBD=60°，则∠A的度数
为（ ）
A．60° B．75° C．45° D．55°
【答案】C
【分析】此题考查了三角形外角的性质，等边对等角，圆的基本性质，解题的关键是掌
握以上知识点．
如图所示，连接OD，由三角形外角的性质和等边对等角得到
1
∠BOD=∠BDO= ∠CBD=30°，求出
2
∠EOB=180°−∠OEB−∠OBE=90°，然后利用等边对等角求解即可．
【详解】如图所示，连接OD∵OB=BD，∠CBD=60°
1
∴∠BOD=∠BDO= ∠CBD=30°
2
∵OE=OD
∴∠OED=∠ODE=30°
∵∠OBE=∠CBD=60°
∴∠EOB=180°−∠OEB−∠OBE=90°
∵OE=OA
1
∴∠A=∠AEO= ∠EOC=45°．
2
故选：C．
5．下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中
正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行
判断．
【详解】解：①直径是弦，说法正确；
②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误．
综上，正确的只是①，
故选：D．
6．到点A(1,1)距离为1的点的轨迹是 ．
【答案】以点A为圆心，1为半径的圆
【分析】本题考查了圆的定义，圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点
的集合，所以到定点A的距离为1的点的集合是圆．
【详解】解：根据圆的定义可知，到定点A的距离为1的点的集合是以点A为圆心，1为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，1为半径的圆．
【题型2求圆中弦的条数】
1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
2．如图，在⊙O中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有
（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了弦的定义，熟练掌握弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦是解
题的关键．根据弦的定义即可解答．
【详解】解：图中的弦有AD、CD这2条．
故选：A．
3．如图，点A，O，D，点 C，D，E 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦
的条数为 （ ）A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有BC，CE共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
4．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数
为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
【题型3求过圆内一点的最长弦】
1．已知A、B为⊙O上的两点，若⊙O的半径为3，则AB的长不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为3×2=6，直径是圆上最长的弦，即00 B．00)，
由题意得：πr2=π，
∴r=1，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的面积计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
2．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行
线交OD于点E，则EO+EB= ．（用数字表示）
【答案】2
【分析】根据圆的周长公式得到OD=2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到
结论．
【详解】解：∵⊙O的周长为4π，
∴OD=2，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵BE∥OC，
∴∠EBD=∠C，
∴∠EBD=∠D，
∴BE=DE，
∴EO+EB=OD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆周长公式，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，
一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行
（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么
先到达B地
【答案】猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
1
【详解】解：以AB为直径的半圆的长是： π⋅AB；
2
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d=AB，
1 1 1 1 1 1
则老鼠行走的路径长是： πa+ πb+ πc+ πd= π(a+b+c+d)= πAB．
2 2 2 2 2 2
故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，
故答案为：猫和老鼠同时到达．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．
4．用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA=❑√2，
则四叶幸运草的周长是 （结果保留π）．
【答案】4π
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的
半径，由圆的周长公式即可得出结果．
【详解】由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，
连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，O为对角线的交点，连接
OA、OB，如图所示：∴OA⊥OB，OA=OB=❑√2，
∴AB=❑√2OA=2，
1
过点O作ON⊥AB于N，则NA=NO= AB=1，
2
∴圆的半径为1，
∴四叶幸运草的周长=2×2π×1=4π；
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶
幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
5．若一个半圆的长为6πcm，则其半径为 cm．
【答案】6
【分析】设半圆的半径为r，根据圆的周长公式列出方程，解方程即可求得．
【详解】解：设半圆的半径为r
1
根据题意得： ×2πr=6π
2
解得r=6
故答案为：6
【点睛】本题考查了圆的周长公式，列出方程是解决本题的关键．
【题型5点与圆上一点的最值问题】
1．如图，已知A、B两点的坐标分别为(−2,0)、(0,1)，⊙C的圆心坐标为(0,−1)，原点
(0,0)在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（ ）❑√5 ❑√3 25 ❑√5
A．1 B．2− C．1− D． −
2 2 8 8
【答案】B
【分析】过点C作CH⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的最小值（AB是定值，
只要圆上一点E到直线AB的距离最小即可），求出CH，得到EH，根据三角形面积
公式即可求出答案．
此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交⊙C于E，连接AC,BE,AE，此时
△ABE面积的最小值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小即可），
∵A、B两点的坐标分别为(−2,0)、(0,1)，，
∴
AB=❑√22+12=❑√5
∵⊙C的圆心坐标为C(0,−1)，原点(0,0)在⊙C上，
∴OC=1，
∴BC=2，
1 1
∵S = AB⋅CH= BC⋅OA
❑△ABC 2 2
BC⋅OA 4❑√5
∴CH= =
AB 54❑√5
∴EH=CH−CE= −1
5
∴ 1 1 (4❑√5 ) ❑√5
S = AB⋅EH= ×❑√5× −1 =2−
❑△ABE的面积最小值 2 2 5 2
故选：B.
2．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E,F分别是边CD和AD上的动点，且AF=DE，
BE与CF交于点G，连接AG，则AG的最小值是（ ）．
A．2❑√5−2 B．3 C．2❑√2 D．2❑√2−2
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等
知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段BC的中点O，以点O
1
为圆心， BC长为半径画圆，连接OA交⊙O于点G′，判定出△CDF≌△BCE，
2
得出∠BGC=90°，确定点G在⊙O上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值．
1
【详解】解：如图所示，取线段BC的中点O，以点O为圆心， BC长为半径画圆，
2
连接OA交⊙O于点G′，
在正方形ABCD中，
∵AF=DE，
∴DF=CE，
又∵CD=BC,∠D=∠BCE=90°，∴△CDF≌△BCE(SAS)，
∴∠DCF=∠CBE,
∵∠DCF+∠BCG=90°
∴∠CBE+∠BCG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴点G在⊙O上，
此时，AG=AG′时值最小，
由勾股定理得 ,
OA=❑√AB2+OB2=2❑√5
AG′=OA−OG′=2❑√5−2，
故选：A．
3．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N
分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】2❑√2
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求
得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
1
∴MN= AC，
2
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，∵∠ACB=∠D=45° AB=4
， ，
∴AD=4❑√2，
1
∴MN= AD=2❑√2，
2
故答案为：2❑√2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解
题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，
且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH
的最小值为 ．
【答案】9
【分析】因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出
BG=1，所以G是以B为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作C关于AD的对称点C′，
连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时C′G=GH+CH的
值最小；根据勾股定理求得BC′问题可求．
1
【详解】解：∵∠B=90°，G是EF的中点，则有BG= EF=1，
2则点G在以B圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动．
作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以B为圆心，以1为半径的圆于
点G，
由两点之间线段最短，此时C′B的值最小，
则GH+CH=GH+C'H的最小值=BC'−BG
且 ，
BC′=❑√BC2+C′C2=❑√62+82=10
则GH+CH的最小值=10−1=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股
定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题．
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE=3，若P为平面内一点，
且满足∠APD=90°，连接PE，则线段PE的最小值为 ，最大值为
．
【答案】 ❑√13−2/−2+❑√13 ❑√13+2/2+❑√13
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的外接圆，线段的最值问题，将线段的最
值问题转化为点与圆上的点的最值问题是解题的关键；
取AD的中点F，连接EF，由∠APD=90°可得点P在以AD为直径的圆上，再利用
点与圆的位置关系求线段PE的最小值和最大值．
【详解】如图，取AD的中点F，连接EF，以AD为直径作圆，∵∠APD=90°
，
∴点P在以AD为直径的圆上，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴AF=DF=2，
又 ，由勾股定理得 ，
AE=3 EF=❑√AE2+AF2=❑√13
∵点P在以AD为直径的圆上，
∴PE的最小值为EF−2=❑√13−2，最大值为EF+2=❑√13+2．
故答案为：❑√13−2；❑√13+2．
3．如图，矩形ABCD的边AB=10,AD=6,M为BC上的点，CM=2,P是矩形内部一动
点，且满足∠ADP=∠PAB,N为边CD上的一个动点，连接PN,MN，则
PN+MN的最小值为 ．
【答案】5❑√5−3/−3+5❑√5
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点P的
运动路线为以AD为直径的圆，作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点
M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP，推出PN+MN的最小值为OM′−3，
再求出OM′的长度即可，推出PN+MN的最小值为OM′−3是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ADP=∠PAB，
∴∠ADP+∠PAD=∠PAB+∠PAD=∠BAD=90°，∴点P的运动路线为以AD为直径的圆，
作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，
连接M′N，OP，取BC点的中点E，连接OE，
则OP=OP′=3，M′N=MN，
∴PN+MN=PN+M′N=PN+M′N+OP−OP′≥OM′−OP′=OM′−3，
∴PN+MN的最小值为OM′−3；
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，E是BC的中点，CM=2
1 1
∴OD= AD= BC=CE=3，OD∥CM，∠ODC=90°，ME=CE−CM=1
2 2
∴四边形OECD是矩形，
∴OE=DC=AB=10，
∵点M关于直线DC的对称点M′，
∴M′E=CM′+CE=5，
在 中，由勾股定理，得 ，
Rt△M′OE OM'=❑√OE2+M'E2=❑√102+52=5❑√5
∴PN+MN的最小值为OM′−3=5❑√5−3，
故答案为：5❑√5−3．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2❑√2，点D是AB上的动点，连接
CD，过点A作AG⊥CD于点G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是
【答案】2−❑√2/−❑√2+2
【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角1
形的性质，，取AC的中点O，连接OG，则OG= AC=❑√2，可得点G在以AC为直
2
径的⊙O上，连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，利用勾股定理求出
OE的长即可得到答案．
【详解】解：∵AG⊥CD，
∴∠AGC=90°．
1
如图所示，AC=2❑√2，取AC的中点O，连接OG，则OG= AC=❑√2，
2
∴点G在以AC为直径的⊙O上，⊙O的半径为❑√2，
连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，
∵点E是BC的中点，BC=2❑√2，
1
∴CE= BC=❑√2，
2
∴ ，
OE=❑√OC2+CE2=❑√ (❑√2) 2+(❑√2) 2=2
∴≥=OE−OG=2−❑√2，即GE的最大值为2−❑√2，
故答案为：2−❑√2．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，在平面内有一点P，始终保证AP=❑√2，连接CP，设
CP的中点为E，连接BE，则线段BE的最小值为 ，最大值为 ．
❑√2 1 3❑√2 3
【答案】 / ❑√2 / ❑√2
2 2 2 2
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构
造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．1
延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，根据三角形的中位线性质得到BE= PT，
2
即只需求PT的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，❑√2为半径的
圆上运动，如图，连接TA并延长，交该圆于P ，P ，利用正方形的性质和勾股定理
1 2
求得AT=2❑√2，进而求得PT的最小值和最大值即可求解．
【详解】解：延长CB至T，使得BT=BC=2，连接PT，
∵CP的中点为E，
∴BE是△CPT的中位线，
1
∴BE= PT，即只需求PT的最大值和最小值；
2
∵始终保证AP=❑√2，
∴点P在以A为圆心，❑√2为半径的圆上运动，如图，连接TA并延长，交该圆于P ，
1
P ，
2
∵∠ABT=∠ABC=90°，BT=BC=AB=2，
∴ ，
AT=❑√AB2+BT2=2❑√2
∴ ， ，
AP =AT−AP =❑√2 AP =AT+AP =3❑√2
1 1 2 2
∴PT的最小值为❑√2，PT的最大值为3❑√2，
❑√2 3❑√2
∴BE的最小值为 ，BE的最大值为 ，
2 2
❑√2 3❑√2
故答案为： ， ．
2 2
6．如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P为AD上的一动点，连接BP，CP，Q为
BP的中点，M是CP上的一点，并满足BQ=QM，则DM的最小值是 ．【答案】2❑√13−4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到
1
点M在以点O为圆心， BC的长为半径的半圆上，当O,M,D共线时，DM的最小值
2
为DM′的值，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，取BC的中点O，连接BM，OM，DO．
∵Q为BP的中点，BQ=QM，即PQ=BQ=QM，
∴∠QPM=∠QMP,∠QMB=∠QBM，
∵∠QPM+∠QMP+∠QMB+∠QBM=180°，
∴∠QMP+∠QMB=90°，即∠PMB=∠BMC=90°
1
∴点M在以点O为圆心， BC的长为半径的半圆上，当O,M,D共线时，DM的最
2
小值为DM′的值．
∵AB=6,BC=8，四边形ABCD是矩形，
1
∴OC= BC=4，∠BCD=90°，
2
∴OD=❑√OC2+CD2=❑√42+62=2❑√13
∴DM′=OD−OM′=2❑√13−4，
∴DM的最小值是2❑√13−4．
7．如图，正方形ABCD的边长为2,P为正方形内一点，连接PA,PB,PD，且满足∠ABP=∠DAP，则DP长度的最小值为 ．
【答案】❑√5−1/−1+❑√5
【分析】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作出
辅助线，熟练掌握基本的性质．根据正方形的性质，得出∠APB=90°，点P的运动
轨迹是以AB为直径的正方形内的半圆，设AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交
点即为符合条件的点P，此时DP=OD−OP，根据勾股定理求出OD=❑√5即可得出答
案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAP=90°，
∵∠ABP=∠DAP，
∴∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P的运动轨迹是以AB为直径的正方形内的半圆（不含端点A，B）．
如图，设AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点即为符合条件的点P，此时
DP=OD−OP．
1
∵AO= AB=1，AD=2，
2
∴由勾股定理，得OD=❑√5，
∵OP=OA=1，
∴DP的最小值为OD−OP=❑√5−1．
