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专题 13 一次函数中的规律问题
题型一 一次函数中与坐标有关的规律
1．如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴向右滚动到△ 的位置，再到△ 的位置 依
次进行下去，若已知点 ， ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点 ， ， ， 在第一象限，点 ， ，
， 在 轴上．
， ，
， ，
，
点 的横坐标为 ，
同理，可得出：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， ，
点 的横坐标为 为正整数），
点 的横坐标为 ，
点 的坐标为 ．
故选： ．
2．如图，过点 作 轴的垂线，交直线 于 ，在 轴上取点 ，使 ，过点 作轴的垂线，交直线 于 ，在 轴上取点 ，使 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于 ， ，
这样依次作图，则点 的纵坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
点 的横坐标为1，
， 、 、 、 在直线 的图象上，
纵坐标为2，
，
， ，
点的纵坐标为 ，
于是得到 的纵坐标为
的纵坐标为
故选： ．
3．如图放置的 ，△ ，△ ， ，都是边长为2的等边三角形，边 在 轴上，点 ，， ， 都在直线 上，则点 的坐标是 ， ．
【解答】解：由题意知 ，
设 ，
则 ，
解得 ，
， ，
， ，
故答案为 ， ．
4．在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点 ，如图所示，依次作正方形 ，正方形
， ，正方形 ，使得点 ， ， ， ，在直线 上，点 ， ， ， ，在
轴正半轴上，则点 的坐标为A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：当 时，有 ，
解得： ，
点 的坐标为 ．
四边形 为正方形，
点 的坐标为 ．
同理，可得出： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， 为正整数），
点 的坐标为 ， ．
故选： ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 是直线 上一点，过 作 轴，交直线 于点 ，
过 作 轴，交直线 于点 ，过 作 轴交直线 于点 ，依次作下去，
若点 的纵坐标是1，则 的纵坐标是
A． B． C． D．【解答】解： 点 的纵坐标是1，
， ， ，
过 作 轴，交直线 于点 ，过 作 轴交直线 于点 ，依次作下去，
， ， ， ， ， ， ， ，
可得 的纵坐标为
的纵坐标是 ，
故选： ．
6．正方形 ， ， ， 按如图所示的方式放置，点 ， ， ， 和点 ， ，
， 分 别 在 直 线 和 轴 上 ， 已 知 点 ， ， 则 的 坐 标 是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
的横坐标是： ，纵坐标是： ．
则 的坐标是 ， ．
故选： ．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2的正方形 的两边在坐标轴上，以它的对角线 为边作
正方形 ，再以正方形 的对角线 为边作正方形 以此类推，则正方形
的顶点 的坐标是 ， ．
【解答】解：观察，发现： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， 为自然数）．
，
的纵横坐标符号与点 的相同，
点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
8．如图，直线 与 轴所夹的锐角为 ， 的长为2，△ 、△ 、△ △
均为等边三角形，点 、 、 在 轴正半轴上依次排列，点 、 、 在直线 上依次
排列，那么点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ．【解答】解： △ 为等边三角形，
，
，
，可求得 ，
同理可求得 ，
， ，
，
即△ 的边长为 ，则可求得其高为 ，
点 的横坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ； ， ．
9．如图，已知直线 的解析式为 ，且与 轴交于点 于 轴交于点 ，过点 作作直线
的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，再过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，按此作法继续下去，则点 的坐标为 ， 的坐标 ．
【解答】解： 直线 的解析式为 ，
直线 与 轴的夹角为 ，
， ， ，
过点 作作直线 的垂线交 轴于点 ，
，
，
，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，
把 代入 得， ，
解得 ，
， ，
，
，把 代入 得， ，
解得 ，
， ，
坐标为 ， ．
故答案为 ， ， ．
10．如图，已知直线 ，在直线 上取点 ，过 分别向 轴， 轴作垂线，交 轴于 ，交
轴于 ，使四边形 为正方形；在直线 上取点 ，过 分别向 轴， 作垂线，交 轴于 ，
交 于 ，使四边形 为正方形；按此方法在直线 上顺次取点 ， ， ， ，依次作正方
形 ， ， ， ，则 的坐标为 ， ， 的坐标为 ．
【解答】解：当 ， ，当 时， ， ，，
是等腰直角三角形，
△ 是等腰直角三角形，
，
四边形 为正方形，
，
， ，
同理可得： 是 的中点，
， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ．
故答案为： ， ， ， ．
题型二 一次函数中与面积有关的规律11．如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 在 轴上， 、 、 在直线 上，若
，且△ 、△ △ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积
分别记为 、 、 ．则 可表示为
A． B． C． D．
【解答】解： △ 、△ △ 都是等边三角形，
， ，
直线 与 轴的成角 ， ，
，
，
，
，
同理 ， ， ，
， ， ， ，
易得 ， ， ，， ， ， ，
， ， ， ；
故选： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ ，△ ，△ ， 都是等腰直角三角形，其直角顶点
， ， ， 均在直线 上．设△ ，△ ，△ ， 的面积分别为 ，
， ， ，根据图形所反映的规律，
A． B． C． D．
【解答】解：如图，分别过点 、 、 作 轴的垂线段，垂足分别为点 、 、 ，
，且△ 是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
点 坐标为 ，将点 坐标代入 ，得： ，
解得： ，
， ，
同理求得 、 ，
、 、 、
．
故选： ．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过点 作 轴的垂
线交 于点 过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂
线交11于点 ， 依次进行下去，则点 的坐标是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：当 时， ，点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ．
以此类推，可以发现以4个点为一周期．
则 ，可以发现 与 的符号相同，
（第一圈）， ， ，
（第二圈）， ， ，
圈， ， 得 ， 得出 ， ．
故选： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，按如图方式作正方形 ，， ， ，点 ， ， ，在直线 上，点 ， ， ， ，在 轴上，图中
阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 ， ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：令一次函数 中 ，则 ，
点 的坐标为 ， ．
四边形 为正整数）均为正方形，
， ， ， ．
令一次函数 中 ，则 ，
即 ，
，
．
轴，
．
， ， ， ．， ， ， ，
为正整数）， ．
故选： ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 都在 轴上，点 ， ， 都在直线 上，
，且△ ，△ ，△ ， △ 分别是以 ， ， ， 为直角顶点
的等腰直角三角形，则△ 的面积是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
点 的坐标为 ，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
△ 是等腰直角三角形，
， ，
△ 为等腰直角三角形，，
，
同理可得， ， ， ， ， ， ，
点 的坐标是 ， ．
△ 的面积 ．
故选： ．
16．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，如图所示，作正方形 ．作正方形
；作正方形 按这样的规律进行下去，第 个正方形的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设正方形的面积分别为 ， ， ，
直线 为： ，
，
，
正方形 中， 直线 ，
是等腰直角三角形，
，
，．
，△ ，是等腰直角三角形，
，
， ， ， ， ，
由正方形的面积公式，得： ，
，
，
由此，可得 ．
故选： ．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ ，△ ，△ 都是等腰 △，直角顶点 ，
， ，均在直线 上，设△ ，△ ，△ 的面积分别为 ， ，
则 的值为
A． B． C． D．【解答】解：如图，分别过点 、 、 作 轴的垂线段，垂足分别为点 、 、 ，
，且△ 是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
点 坐标为 ，
将点 坐标代入 ，得： ，
解得： ，
， ，
同理求得 、 ，
、 、 、
．
故选： ．
18．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的 沿 轴向右滚动到△ 的位置，再到△
的位置 依次进行下去，发现 ， ， 那么点 的坐标为A． B． C． D．
【解答】解： ，
点 ， ，
根据勾股定理得 ，
根据旋转可知： ，
所以点 ， ；
继续旋转得 ， ；
发现规律： ， ，
，
，
点 的坐标为 ，
故选： ．
19．如图，点 、 、 在直线 上，点 ， ， 在直线 上，以它们为顶点依次构造
第一个正方形 ，第二个正方形 ，若 的横坐标是1，则 的坐标是 ，第
个正方形的面积是 ．【解答】解： 点 、 、 在直线 上， 的横坐标是1，
，
点 ， ， 在直线 上，
， ， ， ，
， ，
第1个正方形的面积为： ；
，
， ， ，
第2个正方形的面积为： ；
，
， ，
第3个正方形的面积为： ；
，
第 个正方形的面积为： ．
故答案为 ， ．
20．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左到右第4个正方形中的一个顶点 的坐标为 ，阴影三角形部分的面积从左到右依次
记为 、 、 、 、 ，则 的值为 （用含 的代数式表示， 为正整数）
【解答】解： 点 ，
， ，
在等腰直角三角形 中， ，
，
，
同理，从左到右正方形的边长依次是1，2，4，8， ， ，
的面积 梯形 的面积 的面积，
从左到右，阴影部分面积依次为2， ， ， ， ，
本题答案是 ．21．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数
的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点 的坐标为 ，阴影三角形部分的面积从左向右依
次记为 、 、 、 、 ，则第4个正方形的边长是 6 ， 的值为 ．
【解答】解：易知：直线 与正方形的边围成的三角形直角边底是高的2倍，
后一个正方形的边长是前一个正方形边长的 倍，
，
第三个正方形的边长为4，
第四个正方形的边长为6；
易知，一系列的阴影三角形均为相似三角形，相似比为 ，
，．
故答案为：6、 ．
题型三 一次函数中有关线段长的规律
22．在平面直角坐标系中，解析式为 的直线 ，解析式为 的直线 如图所示，直线 交
轴于点 ，以 为边作第一个等边三角形 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，以 为
边作第二个等边三角形△ ， 顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为
A． B． C．4038 D．4040
【解答】解：延长 交 轴于 ， 交 轴于 ，如图，
、△ 、△ 均为等边三角形，
， ， ，
直线 的解析式为 ，
，
由直线 可知 ，，
， ，
把 代入 得 ，
，
，
，
，
， ，
把 代入 得 ，
，
，
同理得到 ， ，按照此规律得到第2020个等边三角形的边长为 ，
故选： ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ， 在 轴正半轴上，点 ， ， ， 在直线上，若 ，且△ ，△ ，△ ， 均为等边三角形，则线段
的长度为
A． B． C． D．
【解答】解：设△ 的边长为 ，
点 ， ， ， 是直线 上的第一象限内的点，
，
又 △ 为等边三角形，
，
， ，
，
点 的坐标为 ，
， ， ， ， ，
．
，
故选： ．24．如图，在平面直角坐标系中，△ 、△ 、△ 、 、△ 均为等腰直角三角形，
且 ，点 、 、 、 、 和点 、 、 、 、 分别在正比例
函数 和 的图象上，且点 、 、 、 、 的横坐标分别为1，2， ，线段 、
、 、 、 均与 轴平行．按照图中所反映的规律，则△ 的顶点 的坐标是 ，
；线段 的长是 ．（其中 为正整数）
【解答】解： 时， ， ，
， ，
，
△ 为等腰直角三角形，
的横坐标是 ， 的纵坐标是 ，
的坐标是 ， ；
时， ， ，
， ，
，△ 为等腰直角三角形，
的横坐标是 ， 的纵坐标是 ，
的坐标是 ， ；
同理，可得 的坐标是 ， ； 的坐标是 ；
△ 的顶点 的坐标是 ， ；
，
，
，
．
故答案为 ， ； ．
25．如图，在平面直角坐标系中，边长为 1的正方形 （记为第1个正方形）的顶点 与原点重合，
点 在 轴上，点 在 轴上，点 在第一象限内，以 为顶点作等边△ ，使得点 落在 轴上，
轴，再以 为边向右侧作正方形 （记为第2个正方形），点 在 轴上，以 为顶
点作等边△ ，使得点 落在 轴上， 轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第 2021个
正方形的边长为 ．【解答】解： 正方形 （称为第1个正方形）的边长为1，
，
为等边三角形，
，
轴，
，
，
同理得 ，
，
由上可知第 个正方形的边长为： ，
第2021个正方形的边长为： ．
故答案为： ．
26．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线 与直线 的内部作等腰 ，使
，边 轴， 轴，点 在直线 上，点 在直线 上： 的延长线交
直线 于点 ，作等腰 △ ，使 ， 轴， 轴，点 在直线上 按此规律，则等腰 △ 的腰长为 ．
【解答】解：设 ，
直线 与直线 的内部作等腰 ，是 ，边 轴， 轴，点 在
直线 上，
， ， ，
点 在直线 上，
，
解得 ，
等腰 的腰长为 ，
， ，
的坐标为 ， ，
设 ，则 ， ，
点 在直线 上，
解得 ，
等腰 △ 的腰长为 ，，
， ，
设 ，则 ， ，
点 在直线 上，
，
解得 ，
等腰 △ 的腰长为 ，
以此类推，
，即等腰 △ 的腰长为 ，
，即等腰 △ 的腰长为 ，
，等腰 △ 的腰长为 ，
故答案为： ．
27．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 的坐标为 ， ，顶点 的坐标为
延长 交 轴于点 ，作正方形 ，延长 交 轴于点 ，作正方形 ， ，按这样的
规律进行下去，第2021个正方形的周长为A． B． C． D．
【解答】解：设正方形的周长分别为 ， ，
根据题意，得： ，
（两直线平行，同位角相等）．
，
△ ，
顶点 的坐标为 ， ，顶点 的坐标为 ，
， ，
在直角 中，根据勾股定理，得： ，
，
，
，
，
，
同理，得： ，由正方形的周长公式，得：
，
，
由此，可得 ，
．
故选： ．
28．如图所示，把多块大小不同的 角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 的一条直
角边与 轴重合且点 的坐标为 ， ，第二块三角板的斜边 与第一块三角板的斜边
垂直且交 轴于点 ，第三块三角板的斜边 与第二块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ，第四块
三角板斜边 与第三块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ．按此规律继续下去，则线段 的长
为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
，， ，
，
， ，
，
， ，
，
， ，
线段 的长为 ．
故选： ．
