文档内容
专题01一元二次方程
6大高频考点概览
考点01 由一元二次方程的解求参数
考点02一元二次方程的一般形式
考点03 根的判别式
考点04 根与系数的关系
考点05 求代数式的值
考点06 解一元二次方程
考点01 由一元二次方程的解求参数
地 城
一、选择题
1．(24-25九年级上·甘肃张掖·期末)若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是
（ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把 代入方程 得到 即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
，
故选：D．
2．(24-25九年级上·安徽合肥·期末)若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．
把 代入方程得到关于m的方程求解即可．【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
∴ ，解得： ．
故选：B．
3．(24-25九年级上·广东茂名·期末)若 是方程 的一个根，则c的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程 ，然后解关于 的方程
，即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 得， ，
解得： ，
选项A符合题意，
故选：A ．
4．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程 的一个解，则 （
）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，得 ，进而得到 ，整体代入法
求出代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得 ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得 ，则 ，将原式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，∴ ，
即 ．
∴
．
故答案为： ．
6．（21-22九年级上·山东临沂·期末）关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则m的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若 是一元二次方程 的解，则代数式
的值为 ．
【答案】
【分析】根据方程的解的定义，将 代入方程得到关于 的等式，再对所求代数式进行变形，最后代
入计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数
式进行合理变形是解题的关键．
【详解】解： 是一元二次方程 的解
∵
∴∴
∵
∴
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知 是方程 的根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把 代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
考点02 一元二次方程的一般形式
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程 化成一般式，则 的值分别是
（ ）
A．1，4，1 B．2， ，0 C．3，4，0 D． ， ，1
【答案】B
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
将方程整理成一元二次方程的一般形式 ，确定各项系数 、 、 的值．
【详解】解：原方程为 ，
展开左边得 ，移项，得 ，
方程化简为 ，
可得 ， ， ，
故选：B．
2．（24-25九年级上·全国·期末）若方程 的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．直接将方程整理为一般形
式，进而得出一次项系数．
【详解】解：方程整理为 ，
则一次项系数是： ．
故选：C．
3．(24-25九年级上·广西南宁·期末)一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是 ，其中，
是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项”，熟记一元二次方程的一般
形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得．
【详解】解：一元二次方程 的一次项系数是2，
故选：B．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·吉林·期末）把方程 化成一般形式，则一次项系数为
．
【答案】13
【知识点】化成一元二次方程的一般式【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．方程整理为一般形式后，求出一次项系数即可．
【详解】解： ，
则 ，
则 ，
∴化成一般形式，一次项系数为13．
故答案为：13．
5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）方程 化成一般形式是 ．
【答案】
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据一元二次方程的一般形式进行变形即可．
【详解】解：方程 化成一般形式是 ．
故答案为 ．
6．（24-25九年级上·贵州·期末）一元二次方程 的常数项是 ．
【答案】
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程 ，a叫作二次项系数，
b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解．
【详解】解∶ 一元二次方程 的常数项是 ，
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）方程 的一次项为 ．
【答案】
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键．
先整理方程，再找出一次项即可．【详解】解： ，
，
，
∴一次项为 ．
故答案为： ．
考点03 根的判别式
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）一元二次方程 的根的判别式的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．8
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据题意利用 即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴根的判别式的值： ，
故选：D．
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根为0
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出 ，从而得出方程有两个
不相等的两个实数根，掌握“当 时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
【详解】解： 方程 ，
∵
，
∴
方程有两个不相等的两个实数根．
∴故选：B．
3．(24-25九年级上·陕西安康·期末)关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（
）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义则 ，再根据一元二次方程 有实数根，则 ，即可
得到 的范围．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括
有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况．
4．(24-25九年级上·重庆市·期末)定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我
们称这个方程为“完美”方程，已知 是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下
列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 （ ）是“完美”方程，
∴ ，
∴ ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选A．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有一个根大于3，求 的取值范围．
【答案】(1)两个实数根；
(2) ．
【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程：
（1）根据根的判别式可得出 ，利用偶次方的非负性可得出 ，即可证出结论；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出 ，结合该方程有一个根大于3可得出
，解之即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：
原方程有两个实数根
（2）解： ，
∴
解得， 或
方程有一个根大于3，
，
解得：
6．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）关于x的一元二次方程 ．
(1)若 ， 求方程的两根；
(2)当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(3)若方程的两个实数根满足 ，写出一组满足条件的a，b的值．【答案】(1)
(2)方程有两个不相等的实数根
(3)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程
根的情况
【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）由方程的系数结合根的判别式 、 ，可得出 ，进而可找出方程
有两个不相等实数根;
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，接下来结合已知条件 ，求得
，故可得到 ， 的值．
【详解】（1）若 则
，
或 ，
；
（2）关于 的一元二次方程： ，
则 ，
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（3）由一元二次方程根与系数的关系，得 ，
又 ，，
，
故可以取 ．
7．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程 的根的判别式 0（填“ ”“ ”或
“ ”）
【答案】
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为 是解题的关键．根据方程的系数结合
根的判别式 即可得答案．
【详解】解：在一元二次方程 中， ， ， ，
∴根的判别式 ，
故答案为：
8．(24-25九年级上·江西南昌·期末)已知关于 的方程 ．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若 斜边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 的周长为 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；
（2）利用根与系数的关系求得 ， ，再利用完全平方公式得到 ，求得
，据此求解即可．【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程 的两个根，
∴ ， ，（ ）
∵ 斜边长 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 （负值舍去），
∴ ，
∴ 的周长为 ；
∴ 的周长为 ．
考点04 根与系数的关系
地 城
一、选择题
1．(24-25九年级上·广西南宁·期末)小州与小冬在解方程 时，小州写错了常数项，得到方程的
两个根是 和 ，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是 和 ，则 与 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键．
根据 ，结合题意即可求解．
【详解】解：小州写错了常数项，得到方程的两个根是 和 ，
∴小州的一次项系数是正确的，
∴ ，∴ ，
小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是 和 ，
∴小冬的常数项是正确的，
∴ ，
∴ ，
故选：B ．
2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)已知x，x 是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根，则x+x 等于
1 2 1 2
（ ）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：x，x 是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根，
1 2
a=2，b=6，
则x+ x 的= - =-3．
1 2
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式．
3．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)关于 的一元二次方程 的两实根 ， ，
且满足 ，则 的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根
与系数的关系为： ， ．根据根与系数的关系得到 ， ，整理代入 ，可求得 的值，再根据判别式得出 即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两实根，
∴ ， ，
，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
故选：C．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）不解方程，求方程两个根的和与积：
【答案】 ，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：设 是方程的两实数根，
把方程 化为一般式为 ，
根据题意得，5．(24-25九年级上·江西南昌·期末)若 是方程 的两个实数根，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得
到 ，根据一元二次方程解的定义得到 ，再由 ，利
用整体代入法求解即可；对于一元二次方程 ，若 是该方程的两个实数根，则
．
【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
6．(24-25九年级上·陕西安康·期末)若 是关于 的方程 的一个根，则这个方程的另一个
根是 ；
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，设方程的另一个根为 ，根据根与系数之间的关系得到 ，
即可得出结果．
【详解】解：设方程的另一个根为 ，∵ 是关于 的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ；
∴方程的另一个根为： ．
故答案为： ．
7．(24-25九年级上·陕西安康·期末)已知 的一条边 的长为5，另两边 的长是关于x的一
元二次方程 的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时， 是以 为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时， 是等腰三角形，并求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)11或13
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分 为腰和 为底边两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得： ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，∴
，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ；
（3）①当 为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴ ，
∴方程为： ，
解得： ，
∴等腰三角形的三边为： ，
∴周长为： ；
②当 为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴方程为： ，
解得： ，
∴等腰三角形的周长为： ；
综上：周长为11或13．
考点05 求代数式的值
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东·期末）如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数【分析】根据题意， 是方程 的解，得 ，化简代入计算即可．
本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则
代数式 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解”，将 代入 可得答案．
【详解】解：将 代入 ，得： ，
．
故选C．
二、非选择题
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)已知 是方程 的根，则代数式 的值为
．
【答案】2018
【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求
值是解题的关键．
由一元二次方程的根的定义可得 ，即 ，整体代入 即可得到答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根，∴ ，即 ，
∴ ，
∴代数式 的值为2018．
故答案为：2018．
4．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知m，n是方程 的两个实数根，则代数式
的值为 ．
【答案】34
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得 ， ，然后化为
，利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：34．
5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知 、 是方程 的两根，则代数式 的
值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得
， ， ，再将所求式子变形，代入计算即可得解．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴，
故答案为： ．
6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若a、b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值是 ．
【答案】7
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 、 是一元二次方程 的两根，则
， ．根据根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
原式 ．
故答案为：7．
7．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知 是方程 的根，则代数式 的值为
.
【答案】4046
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．先根据一元二次方程根的定义得到 ，再整体代入计算即可．
【详解】解： 是方程 的根，
，
，
，故答案为：4046．
8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)已知 ，求 的值．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则
是解题关键．先根据已知等式可得 ，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值即
可得．
【详解】解：由 得： ，
则
．
考点06 解一元二次方程
地 城
一、非选择题
1．（24-25九年级上·四川广元·期末）解下列方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．（1）利用配方法计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1） ，
，
，
，
，或 ，
， ．
（2） ，
，
，
，
或 ，
， ．
2．（24-25九年级上·全国·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的解法．
（1）原方程变形，直接开平方即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案．【详解】（1）解：方程整理得 ，
开方得 ；
（2）解：方程整理得 ，
开方得 ．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）根据公式法可求解方程；
（2）根据因式分解法可求解方程．
【详解】（1）解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∴ 或 ，
∴ ．
4．(24-25九年级上·江西南昌·期末)用适当方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因
式分解法、公式法和换元法等）是解题关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解： ，
或 ，
．
（2）解： ，
，
或 ，
．
5．(24-25九年级上·重庆市·期末)解方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解一元二次查方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法然后选择适当的方法是解题的关
键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）采用公式法解一元二次方程即可；
【详解】（1）解： ，
或
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ．
6．(24-25九年级上·广西南宁·期末)（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【答案】（1） （2） ，
【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算，解一元二次方程，掌握有理数的混合运算法则，配方法解
一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先算乘除法，再算加减即可；
（2）运用配方法求一元二次方程的根即可．【详解】解：（1）
，
；
（2） ，
，
，
，
，
， ．
7．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得： ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ 或 ，
解得： ．
8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)解方程： ．
【答案】
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】此题考查了解一元二次方程．把原方程变形为 ，两边都加上一次项系数一半的平方得
到 ，再开平方即可得到方程的解．
【详解】解：
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
