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专题13 已知等直求坐标
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B在坐标轴上，且 是等腰直角三角形，
则点B的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图，若∠ABO=90°，且点B在x轴上，
∵点A的坐标是 ，
∴OB=8，
∴点B的坐标为（-8，0）；
如图，若∠OAB=90°，过点A作AC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标是 ，
∴OC=8，
∵ 是等腰直角三角形，
∴BC=CO=8，
∴OB=16，∴点B的坐标为（-16，0）；
如图，若∠ABO=90°，且点B在y轴上，
∵点A的坐标是 ，
∴OB=8，
∴点B的坐标为（0， -8）；
∴点B的坐标不可能为 ．
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形等知识点，画出图形，由等腰直角三角形
的性质求出B点坐标是解此题的关键．
2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，腰AC长4，那么点C的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（2 ，2 ） D．（1，2）
【答案】C
【分析】过C作CD⊥AB于D，先由等腰直角三角形的性质得AB= AC=4 ，AD=BD= AB=2
，再由直角三角形的性质得CD= AB=AD=2 ，即可得出答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB= = AC=4 ，AD=BD= AB=2 ，
∴CD= AB=AD=2 ，
∴点C的坐标是（2 ，2 ），
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形
的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA=2,则点B坐标为( )
A．(1，1) B．( , 1) C．( ， ) D．(1， )
【答案】A
【分析】过点B作BC⊥OA，利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】过点B作BC⊥y轴于点C，
∵ 是等腰直角三角形，
∴OC= OA=1，BC= OA=1，
∴点 坐标为(1，1)故选A．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，关键是利用等腰直角三角形的性质解答．
4．如图，等腰直角三角形 的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂
足为D、E，点B的坐标为 ，则线段 的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．7.5
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由
全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
【详解】解：∵B（5，2），BE⊥x轴，
∴OE=5，BE=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中 、 ， 轴，存在第一象限的一点 使
得 是以 为斜边的等腰直角三角形，则点 的坐标（ ）．A． 或 B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即
可．
【详解】解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图
1，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，
∴P(5，5)；
当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，
∴P（3，1），
综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），
故选：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与
图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长
是解决此类问题的基本方法．
6．如图，将一块等腰直角三角板 放置在平面直角坐标系中，其直角顶点 落在 轴上，点
落在 轴上，点 落在第一象限内，已知点 ，点 ，连接 ，则线段 的长度为
（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过 作 轴于 证明： 可得： 再利用勾股定理可
得答案．
【详解】解： 点 ，点 ，
如图，过 作 轴于
则故选： ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，平
面直角坐标系内图形与点的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中摆放一等腰直角三角尺 ，已知直角顶点C的坐标为 ），
点A坐标为 ，点 在y轴正半轴上，则 的值为________．
【答案】6
【分析】过点C作DE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥DE于点D，可证得△BCD≌△CAE，从而得
到CD=AE，BD=CE，再由点C的坐标为 ），点A坐标为 ，点 在y轴正半轴上，
可得DE=b，OE=CE=3，CD=AE=3-a，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作DE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥DE于点D，根据题意得：BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∵DE⊥x轴，BD⊥DE，即∠AEC=∠D=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△BCD≌△CAE，
∴CD=AE，BD=CE，
∵点C的坐标为 ），点A坐标为 ，点 在y轴正半轴上，
∴DE=b，OE=CE=3，CD=AE=3-a，
∵CE+CD=DE，
∴3+3-a=b，
∴a+b=6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△BCD≌△CAE
是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，-1），以AB为直角
边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是______．【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，通过角的计算可找出 ，结合 、
，即可证出 ，根据全等三角形的性质即可得出 、 ，
再结合点 、 的坐标即可得出 、 的长度，进而可得出点 的坐标．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，如图所示．
， ，
， ，
．
在 和 中，
，
，
， ．
， ，
， ， ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用全等三角
形的判定定理 证出 ．
9．平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等
腰直角三角形ABC，则点C的坐标为_____．
【答案】（4，7）或（7，3）
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分AC为直角边和斜边两种情况进行讨论即可.
【详解】解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（4，7）或（7，3）．故答案为：（4，7）或（7，3）．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，点的坐标，解题的关键在于能够分类讨论AC是
直角边还是斜边.
10．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且A（0，2），C
（1，0），∠ACB＝90°，AC＝BC△，点B在第一象限时，则点B的坐标为_____．
【答案】（3，1）
【分析】过B作BD⊥x轴于D，先证∠CAO＝∠BCD，再证明△AOC≌△CDB，可得DB＝OC＝
1，CD＝AO＝2，即可解决问题．
【详解】解：过B作BD⊥x轴于D，如图所示：
∵A（0，2），C（1，0），
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCD＝90°，
∴∠CAO＝∠BCD，
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点B的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且AB= ，则点B坐标为_____．
【答案】（-2，2）
【分析】过点B作BH⊥OA，利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】过点B作BH⊥OA，
∵等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且AB= ，
∴∠BOA=∠BAO=45°，
∴AH=BH=OH，
∵ ，
∴OH=BH=2，
∴B的坐标为（-2，2），故答案为：（-2，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，关键是利用等腰直角三角形的性质解
答．
12．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC，AC BC，C 90 ，若点C（2，3），A（2，
6），则点B的坐标是______．
【答案】（-1，3）或（5，3）
【分析】根据已知条件得到AC=3，求得BC=AC=3，于是得到结论．
【详解】如图所示，
∵C（2，3），A（2，6），
∴AC=6-3=3，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴BC=AC=3，
∴B（-1，3）或（5，3）．
故答案为：（-1，3）或（5，3）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形特点，利用坐标与图形特点根据坐标写
出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题．
13．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，已知 ， ，点P为射线AB上一动点，
将直线OP绕点P逆时针旋转90°，交直线BC于点Q，当 为等腰三角形时，点P的坐标为
______．【答案】P（1，3），P（7，3）
1 2
【分析】设点P（m，3），因为△POQ是等腰三角形所以PO＝PQ，全等三角形的性质，列出等
式，可求得m的值，从而就可确定点P的坐标．
【详解】解：∵ ， ，点P为射线AB上一动点，
∴设P（m，3）
∵△POQ是等腰三角形，
①若P在线段AB上，∠OPQ＝90°
∴PO＝PQ，
又∵∠OAP=∠PBQ=90°，
∴∠AOP=90°-∠APO=∠BPQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB＝AO，即3＝4−m，
∴m＝1，即P点坐标（1，3）；
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，此时PO＝PQ，
同理：△AOP≌△BPQ，
∴AO＝PB，即3＝m−4，m=7，
即P点的坐标（7，3）；
故点P坐标为P（1，3），P（7，3）．
1 2故答案为：P（1，3），P（7，3）．
1 2
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，矩形的性质，熟
练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．
14．已知A、B两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等
腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a， ），且△ABP和△ABC的
面积相等，则a＝_____．
【答案】- ．
【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的
面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积
相等，可知S ABP＝S POA+S AOB﹣S BOP＝ ，故可得出a的值．
△ △ △ △
【详解】∵A、B两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），
∴OA＝3，OB＝2，
∴ ，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴ ，
作PE⊥x轴于E，连接OP，
此时BE＝2﹣a，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴ ，
，
解得a＝﹣ ．故答案为﹣ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是
根据S =S +S -S 列出关于a的方程．
ABP POA AOB BOP
15．如△图，在△平面直△角坐标△系中，x轴上有一点B（10，0），点M由点B出发沿x轴向左移动，
以BM为斜边在x轴上方作等腰直角三角形AMB，则点M在运动过程中，OA的最小值为_____．
【答案】5
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得点A在与OB成45°角的直线BE上移动，则当点
A与点E重合时，OA的值最小，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵△AMB是等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
∴点M在运动过程中，点A在与OB成45°角的直线BE上移动，
∴当点A与点E重合时，OA的值最小，
∵OE⊥AB，∠ABO＝45°，
∴∠EOB＝45°＝∠EBO，
∴OE＝BE，
∴OB＝ OE＝10，∴OE＝5 ，
∴OA的最小值为5 ．
故填：5 .
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离.能确定点A的运动轨迹，
并根据点到直线的距离垂线段最短得出当点A与点E重合时，OA的值最小是解决此题的关键.
16．（1）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰 Rt ABC．求C点的
坐标，写出过程； △
（2）如图2，已知点F坐标为(-4，-4)，点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作 Rt FGH，始
终保持∠GFH=90°，FG与y轴负轴交于点G(0， m)，FH与x轴正半轴交于点H(n， 0)△，当G点
在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求m+n的值．
【答案】（1）点C的坐标为（-6，-2）；（2）m+n=-8．
【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M点，由“AAS”证明 MAC≌△OBA，可得出CM=OA=2，
MA=OB=4，即可求点C坐标； △
（2）如图，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，由“AAS”证明 FSH≌△FTG，可
得GT=HS，即可求得m+n的值． △
【详解】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中， ，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM=OA=2，MA=OB=4，
∴点C的坐标为（-6，-2）；
（2）如图，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
∵点F坐标为（-4，-4），
∴FS=FT=4，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中，
∵ ，
∴△FSH≌△FTG（AAS），
∴GT=HS，
又∵G（0，m），（n，0），点F坐标为（-4，-4），
∴OT=OS=4，OG=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-4，
HS=OH+OS=n+4，
∴-m-4=n+4，
∴m+n=-8．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，正
确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．在平面直角坐标系中，等腰直角 ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，
AC=BC． △
(1)如图1，当A(0，−2)，C(1，0)，点B在第四象限时，求点B的坐标．
(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，
作BD⊥y轴于点D，求a，m，n之间的关系．
【答案】(1)点B的坐标为（3，-1）；
(2)a+m+n=0．
【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于D，利用同角的余角相等求出∠OAC=∠BCD，然后利用“角
角边”证明△AOC和△CDB全等，根据全等三角形对应边相等可得AO=CD，OC=BD，然后求出
OD，再根据点D在第四象限写出点D的坐标即可；
（2）过点B作BE⊥x轴于E，利用同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角角边”证明△CEB
和△AOC全等，根据全等三角形对应边相等可得AO=CE，BE=CO，然后代入a、m、n整理即可
得解．
(1)
解：点B的坐标为（3，-1）．
理由如下：作BD⊥x轴于D，∴∠AOC=90°=∠BDC，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在 AOC和 CDB中， ，
△ △
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴AO=CD，OC=BD，
∵A（0，-2），C（1，0），
∴AO=CD=2，OC=BD=1，
∴OD=3，
∵B在第四象限，
∴点B的坐标为（3，-1）；
(2)
解：a+m+n=0．
证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在 CEB和 AOC中， ，
△ △∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE∥y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴EO=BD=m，
∴BE=-n，
∴a+m=-n，
∴a+m+n=0．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同
角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
18．如图，平面直角坐标系中有点A(-1，0)和y轴上一动点B(0，a)，其中a＞0，以B点为直角顶
点在第二象限内作等腰直角 ABC，设点C的坐标为(c，d)．
(1)当a=2时，则C点的坐标为 ；
(2)动点B在运动的过程中，试判断c＋d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，
请说明理由．
【答案】(1)(-2，3)
(2)不变，1
【分析】（1）过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=2，
AE=BO=1，即可得出点C的坐标；
（2）过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=a，AE=BO=1，从而
OE=a=1，即可得出点C的坐标为（-a，a+1），据此可得c+d的值不变．
(1)
解：如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB=∠BOA．∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∵A（－1，0），B（0，2），
∴AO=BE=1，OB=EC=2，
∴OE=1＋2=3，
∴C（－2，3），
故答案为：（－2，3）；
(2)
解：动点A在运动的过程中，c＋d的值不变．
如图2，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB=∠BOA，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），∵A（－1，0），B（0，a），
∴BE=AO=1，CE=BO=a，
∴OE=1＋a，
∴C（－a，1＋a），
又∵点C的坐标为（c，d），
∴c＋d=－a＋1＋a=1，即c＋d的值不变.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，余角的性质，坐标与图形，以及等腰直角三
角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
19．已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．
（1）如图1，若点A（3，0），B（0，﹣1），求点C的坐标；
（2）如图2，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF
交y轴于M，若S BEM＝6，求S ABO．
△ △
【答案】（1）点C（﹣1，2）；（2）12
【分析】（1）作CM⊥y轴于M，可证明△BCM≌△ABO，由全等三角形的性质可得OB=CM=1，
BM=AO=3，从而可求得结果；
（2）作EN⊥y轴于N，可证明△ABO≌△BEN，得出△ABO的面积＝△BEN的面积，OB＝NE＝
BF，继而可证明△BFM≌△NEM，得出BM=MN，从而可得S MEN＝S BEM＝ S BEN＝
△ △ △
S ABO，即可求得结果．
△【详解】（1）如图1，作CM⊥y轴于M，
∵点A（3，0），B（0，﹣1），
∴AO＝3，OB＝1，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°＝∠CMB，
∴∠CBM+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBM＝∠BAO，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB＝CM＝1，BM＝AO＝3，
∴OM＝2
∴点C（﹣1，2）；
（2）如图2，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB＝∠BOA＝∠ABE＝90°，
∴∠OBA+∠NBE＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠NBE＝∠BAO，在△ABO和△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面积＝△BEN的面积，OB＝NE＝BF，
∵∠OBF＝∠FBM＝∠BNE＝90°，
在△BFM和△NEM中，
，
∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM＝NM，
∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，
∴S MEN＝S BEM＝ S BEN＝ S ABO，
△ △ △ △
∴S ABO＝2S MEN＝2×6＝12．
△ △
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
20．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣
2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝ ，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在， ，
，
【分析】（1）由平方数和绝对值的非负性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，从而求得a＝3，b＝1，
即可得到A，B两点的坐标．
（2）过点Ｃ向 轴作垂线，垂足为 ，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明
，则 ， ，易得点C的坐标．
（3）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：① 则 在B的左
侧， ； 在 右侧， ；② ，则易证 ，故 ．
【详解】解：（1）∵a、b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如图，过点C向 轴作垂线，垂足为 ，则 ，
∵ ， ，
∴
在 和 中，
∵
∴
∴ ， ，∴C（4，1）．
（3）若 为腰，则分两种情况讨论：
①当 时，
若 在B的左侧，则 ，∴ ；
若 在 的右侧，则 ，∴ ；
②当 时，
∵ ，∴由等腰三角形三线合一可知 ，
∴ ．
综上所述，存在 ， ， ．
【点睛】本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性
的方法为解题关键．
21．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，
点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，
请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，
请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）
（16，0）或（10，0）或（-10，0）【分析】（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的
坐标；
（2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OPC；作△OAC关于直线x=3的对称
1
图形得到△OPC；③作△OPC关于x轴的对称图形得到△OPC，
2 2 3
分别求解，即可；
（3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是
腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即
可．
【详解】解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），
∴OB＝2，OC＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，
∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴CD＝OB＝2，
∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，
∴点A的坐标（8，6）；
（2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OPC，
1
∴△OAC OPC，
1
∴P（8，-6△）；
1
②∵点O，C关于直线x=3对称，
∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OPC，
2
∴△OAC CP O，
2
∴P（-2，6△）；
2
③作△OPC关于x轴的对称图形得到△OPC，
2 3
∴△OPC OPC，即：△OPC OCA，
2 3 3
∴P（-2，-6△）， △
3
综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵AD⊥x轴，
∴点Q，O关于直线AD对称，即：Q（16，0）；
1 1
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，
则OQ =OA=10，
2
∴Q（10，0）；
2
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，
则OQ =OA=10，
3
∴Q（-10，0），
2
综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵
活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键．
22．如图，等腰直角三角形ABC中， ， ．（1）如图1，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且
， ，求点C的坐标；
（2）如图2，等腰直角三角形ABC顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，过点B作
轴于点D，求证： ；
（3）如图3，点A的坐标为 ，点 在y轴上运动，点 在x轴上运动，在点
B、C 的运动过程中，能否使得 是一个以点A为直角顶点的等腰直角三角形，如果存在，请
你直接写出m和n的数量关系；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C的坐标为（-6，-2）；（2）证明见解析；（3）存在，m＋n=-6
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于D，利用AAS证出△DCA≌△OAB，从而得出AD=OB=4，
CD=OA=2，然后求出OD的长，结合点C所在象限即可求出结论；
（2）过点B作BE⊥y轴于E，根据平行线之间的距离处处相等可得BD=EO，利用AAS证出
△OCA≌△EAB，从而证出OC=AE，即可证出结论；
（3）过点A作AD⊥x轴于D，作AE⊥y轴于E，根据点C和点D的位置关系分类讨论，分别画
出对应的图形，利用SAS证出△ADC≌△AEB，从而证出CD=BE，利用m和n表示出CD和
BE，即可求出结论．
【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴于D，∵等腰直角三角形ABC中， ，
∴∠DAC＋∠OAB=90°
∵∠CDA=∠AOB=90°
∴∠DAC＋∠DCA=90°
∴∠DCA=∠OAB
在△DCA和△OAB中，
∴△DCA≌△OAB
∴AD=OB=4，CD=OA=2，
∴OD=AD＋OA=6
∵点C在第三象限
∴点C的坐标为（-6，-2）；
（2）过点B作BE⊥y轴于E
∵BE⊥y轴，DO⊥y轴∴BE∥OD
∵ 轴，EO⊥x轴
∴BD=EO
∵等腰直角三角形ABC中， ，
∴∠OAC＋∠EAB=90°
∵∠COA=∠AEB=90°
∴∠OAC＋∠OCA=90°
∴∠OCA =∠EAB
在△OCA和△EAB中，
∴△OCA≌△EAB
∴OC=AE
∴OA－OC=OA－AE=OE=BD；
（3）过点A作AD⊥x轴于D，作AE⊥y轴于E，
若点C在点D右侧时，由∠DAE=∠CAB=90°，可知：点B在点E下方，如下图所示
∴∠DAE－∠CAE=∠CAB－∠CAE
∴∠DAC=∠EAB
∵点A的坐标为（-3，-3）
∴AD=AE
∵AC=AB
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∵点 ，点∴CD=n－（-3）=n＋3，BE=-3－m
∴n＋3=-3－m
∴m＋n=-6；
若点C在点D左侧时，由∠DAE=∠CAB=90°，可知：点B在点E上方，如下图所示
∴∠DAE－∠DAB=∠CAB－∠DAB
∴∠EAB =∠DAC
∵点A的坐标为（-3，-3）
∴AD=AE
∵AC=AB
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∵点 ，点
∴CD=-3－n，BE=m－（-3）=m＋3
∴-3－n = m＋3
∴m＋n=-6；
综上：存在，m＋n=-6．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判
定及性质、等腰直角三角形的性质、点的坐标与线段长度的关系是解题关键．
23．如图，已知在直角坐标系中，A（4,0）,B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
Rt ABC，∠BAC=90°．点P是x轴上的一个动点，设P（x,0）．
△（1）求△ABC的面积；
（2）若△ABP是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请在备
用图中标出点P的位置．
【答案】（1）S =12．5；
ABC
△
（2）点P的坐标为：（9，0），（-1，0），（-4，0）；（ ，0）；
（3）存在这样的P点．
【详解】试题分析：（1）先求AC=5，根据等腰直角三角形的性质即得△ABC的面积，继而求得
答案．
（2）△ABP是等腰三角形分情况进行分析，得出点P的坐标；
（3）存在这样的P点．当P、B、C在一条直线时，|PC-PB|的值最大．
试题解析：（1）∵A（4,0）,B（0，3），
∴AB＝ ＝5，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴S = ×5×5=12．5；
ABC
△
（2）当△ABP是等腰三角形，点P的坐标有三种情况：
当∠BAP为顶角时，
∵AB=5，∴AP=5，
可得4+5=9，或4-5=-1，
此时点P的坐标为（9，0）或（-1，0），
当∠BPA为顶角时，可得OP=OA=4，
所以点P的坐标为（-4，0）
当∠APB为顶角时，
点P的坐标为（ ，0）；
综上所述：点P的坐标为：（9，0），（-1，0），（-4，0）；（ ，0）；
（3）存在这样的P点．当P、B、C在一条直线时，|PC-PB|的值最大，
如图：
考点：一次函数综合题
24．如图，在平面直角坐标系中，已知 、 分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足 ，以B为直角顶点， 为直角边在第一象限内作等
腰直角 ，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若 ，点D是 的延长线上一点，以D为直角顶点， 为直角边在第一象限
作等腰直角 ，连接 ，求证： ；（3）如图3，设 ， 的平分线过点 ，直接写出 的值．
【答案】（1）点C的坐标是 ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出 的值，过点 作 轴于
点 ，然后证明 ，进而得出结论；
（2）过点E作 轴于点M，根据题意证明 ，在 和 中，根
据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明 可
得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt DAH≌Rt DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
△ △
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ,∴ ,
∴ ，
∴点C的坐标是 ；
（2）证明：过点E作 轴于点M，依题意有，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，又 ，设 与 相交于点N，
∴在 和 中，
， ，
∴ ；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵ ， , ，
∴ ,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt DAH和Rt DAK中，
△ △
，
∴Rt DAH≌Rt DAK（HL）
∴AK△＝AH＝a−△2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数
平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．
25．等腰 中， ，点 、点 分别是 轴、 轴上的两个动点，直角边 交
轴于点 ，斜边 交 轴于点 ．
（1）如图1，若 ，求 点的坐标．（2）如图2，当等腰 运动到使点 恰为 中点时，连接 ，求证：
（3）如图3， 为 轴上一点，连接 以 为直角边向右作等腰 ，其中 、
连接 ，若 ，求五边形 的面积·
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF＝OA＝1，AF＝OB＝2，求
得OF的值，就可以求出C的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG＝AD＝CD，
∠DCE＝∠GCE＝45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；
（3）作 轴， 轴，分别交 轴于点 ，点 ，同 得
，可得 ，设 ，则
，求出 的面积，根据图像可得 的面积 的面积 的面积
的面积 的面积，根据 不平行 ，求出四边形 的面积，即可
得出答案．
【详解】（1）解：过点 作 轴于点 如图1所示：
，．
是等腰直角三角形，
在 和 中
；
（2）证明：过点 作 交 轴于点 ，如图2所示：
在 和 中在 和 中
；
（3）作 轴， 轴，分别交 轴于点 ，点 ，如图所示：
同 得
设 ，则
的面积
的面积 的面积 的面积 的面积 的面积
不平行
四边形 的面积
五边形 的面积 的面积 的面积 的面积+四边形 的面积
．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角
形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
