文档内容
专题 1.6 等腰直角三角形斜边中点旋转模型
1．如图，在 中， ， ，直角 的顶点是 的中点，两边
， 分别交 ， 于点 ， ．以下结论错误的是
A．
B．
C．三角形 是等腰直角三角形
D．
【解答】解：如图， ， 分别交 ， 于点 ， ，
点 为 边上的任意一点，
与 不一定相等，
故 错误；
， ，
，
为 中点，
， ，
， ，
，
，
，
故 正确；
在 和 中，，
，
，
是等腰直角三角形，
故 正确；
，
，
，
，
故 正确，
故选： ．
2．如图，在 中， ， ，若点 为 的中点，过点 作
，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则下列结论中：
① 是等腰直角三角形；
② 的周长有最小值；
③四边形 的面积为定值8；
④ 的面积有最小值；
⑤ 的面积有最大值．
正确的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解： 是等腰直角三角形， 为 的中点，， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，故①正确；
当 时， 最小，则 的周长、面积有最小值，故②④正确；
，
四边形 的面积为 的面积，
，
的面积为 ，
的面积为4，
四边形 的面积为定值4，故③错误；
当 的面积有最小时，此时 的面积最大，故⑤正确，
正确的有①②④⑤，共4个，
故选： ．
3．如图，在等腰 中， ， ， 是 边上的中点，点 、 分别
在 、 边上运动（不与端点重合），且保持 ，连接 、 、 ，在此
运动变化的过程中，下列结论：① 是等腰直角三角形；②四边形 的面积是
12；③ ．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【解答】解：①连接 ，， ，
，
是 边上的中点，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即 ，
是等腰直角三角形，所以此结论正确；
② ，
四边形 的面积 ，故②错误；
③ ，
，
，
，
，
，故③正确，
故选： ．
4．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点 是 中点，两
边 ， 分别交 ， 于点 ， ，给出以下四个结论：
① ；② ；③ 是等腰直角三角形；④当 在 内绕顶点 旋转时（点 不与 ， 重合）， ．上述结论中始终正确有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ， ，直角 的顶点 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，即结论①正确；
是等腰直角三角形， 是 的中点，
，
又 不一定是 的中位线，
，故结论②错误；
，
，
又 ，
是等腰直角三角形，故结论③正确；
，
，
，故结论④正确；
综上，当 在 内绕顶点 旋转时（点 不与 ， 重合），始终正确的有3个结论．
故选： ．
二．解答题（共14小题）
5．已知：如图所示 中， ， ， 是 中点， 、 分别是
、 边上的两动点，无论 、 如何运动，始终保持 ．求证： 是
等腰直角三角形．
【解答】证明：连接 ，
是 中点， 中， ， ，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，即 ，
是等腰直角三角形．
6．如图，在 中， ，点 为 中点，点 为线段 上一点，
， 交 于点 ，试给出线段 、 、 之间的数量关系并证明．【解答】证明：
延长 到 ，使 ，连接 ， ，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
， ，
．
7．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， 、 分别是 、
边上的点，且 ，若 ， ，求线段 的长．【解答】解：连接 ，
是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点，
， ，
，
，
又 ，
．
在 与 中，
，
．
． ，
，
．
在 中， ，
，
，．
8．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ． 分别是 、
边上的点，且 ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【解答】解：连接 ，
在 中， ， 为 边的中线，
， ， ，
又 ， ，
，
在 与 中，
，
．
；
（2）
，
，，
．
9．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ， 分别是 ，
边上的点，且 ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
【解答】证明：（1）连接 ，
等腰直角三角形 ，
，
为 的中点，
， ， 平分 ，
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中
，，
．
（2） ，
，
，
，
，
，
即 ．
10．如图， 、 是等腰 的斜边 上的两动点， ， 且
．
求证：（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
；
（2）由（1）知， ，
， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
．
11．已知：在 中， ， ，点 为 边上一动点（与点 不重
合），连接 ，以 始边作 ．
（1）如图1，当 ，且 时，试说明 和 的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当 ，且点 在边 上时，求证： ．
【解答】解：（1） 与 位置关系是 ，数量关系是 ．理由： ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
且 ．
，
，即 ；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ．连接 ，
则 ，
， ， ．
， ．
，
在 和 中，
，
．
，
又 ，
，即 ；
12．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等腰 ，且
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1） 和 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2） 是等腰直角三角形，
，
由（1）得 ，
，
，
．
13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一
点．求证：（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 和 都是等腰直角三角形， ，
， ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．14．如图， 是等腰直角三角形， ， 为斜边 的中点， ， 分别为
， 边上的点，且 ．若 ， ．求 的长．
【解答】解：如图，连接 ．
， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， 、 分别是
、 边上的点，且 ．（1）请说明： ；
（2）请说明： ；
（3）若 ， ，求 的面积（直接写结果）．
【解答】（1）证明：连接 ，
等腰直角三角形 ，
，
为 的中点，
， ， 平分 ，
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
．
（2）证明： ，，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
即 ．
（3）解： ，
，
根据勾股定理 ，
的面积是 ．
答： 的面积是25．
16．如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，过点 作
，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求
① 的长；
②四边形 的面积．【解答】（1）证明： 是 中点，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：① ，
；
同理可证： ，
，
， ，
，
在 中， ；
② ，
，
， ，，
，
， ， ，
四 边 形 的 面 积
．
17．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一
点，求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2） 是等腰直角三角形，度．
，
，
．
由（1）知 ，
，即 ．
18．如图所示： 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ， 分
别是 ， 上的动点，且 ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长；
（3）若 ， ，三角形 的面积为 ，写出 与 的关系．
【解答】解：（1）如图，连接 ，
是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点，
， ， ，
又 ，
，
，
；（2） ，
，
又 ，
，
中， ；
（3） ，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
， ，
中， ，
即 ，
，
三角形 的面积 ．
