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专题 1.6 等腰直角三角形斜边中点旋转模型
1．如图，在 中， ， ，直角 的顶点是 的中点，两边
， 分别交 ， 于点 ， ．以下结论错误的是
A．
B．
C．三角形 是等腰直角三角形
D．
2．如图，在 中， ， ，若点 为 的中点，过点 作
，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则下列结论中：
① 是等腰直角三角形；
② 的周长有最小值；
③四边形 的面积为定值8；
④ 的面积有最小值；
⑤ 的面积有最大值．
正确的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，在等腰 中， ， ， 是 边上的中点，点 、 分别
在 、 边上运动（不与端点重合），且保持 ，连接 、 、 ，在此运动变化的过程中，下列结论：① 是等腰直角三角形；②四边形 的面积是
12；③ ．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
4．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点 是 中点，两
边 ， 分别交 ， 于点 ， ，给出以下四个结论：
① ；② ；③ 是等腰直角三角形；④当 在 内绕顶
点 旋转时（点 不与 ， 重合）， ．上述结论中始终正确有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知：如图所示 中， ， ， 是 中点， 、 分别是
、 边上的两动点，无论 、 如何运动，始终保持 ．求证： 是
等腰直角三角形．
6．如图，在 中， ，点 为 中点，点 为线段 上一点，
， 交 于点 ，试给出线段 、 、 之间的数量关系并证明．7．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， 、 分别是 、
边上的点，且 ，若 ， ，求线段 的长．
8．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ． 分别是 、
边上的点，且 ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
9．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ， 分别是 ，
边上的点，且 ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．10．如图， 、 是等腰 的斜边 上的两动点， ， 且
．
求证：（1） ；
（2） ．
11．已知：在 中， ， ，点 为 边上一动点（与点 不重
合），连接 ，以 始边作 ．
（1）如图1，当 ，且 时，试说明 和 的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当 ，且点 在边 上时，求证： ．
12．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等腰 ，且
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一
点．求证：
（1） ；
（2） ．
14．如图， 是等腰直角三角形， ， 为斜边 的中点， ， 分别为
， 边上的点，且 ．若 ， ．求 的长．
15．如图， 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， 、 分别是
、 边上的点，且 ．
（1）请说明： ；
（2）请说明： ；
（3）若 ， ，求 的面积（直接写结果）．16．如图，在 中， ， ， ，垂足为 ，过点 作
，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求
① 的长；
②四边形 的面积．
17．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一
点，求证：
（1） ；
（2） ．
18．如图所示： 是等腰直角三角形， ， 是斜边 的中点， ， 分
别是 ， 上的动点，且 ，
（1）求证： ；（2）若 ， ，求线段 的长；
（3）若 ， ，三角形 的面积为 ，写出 与 的关系．
