文档内容
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
【过程与方法】
经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验
证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
【情感态度】
通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解
事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特
殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系及其应用.
【教学难点】
探索一元二次方程根与系数的关系.
一、情境导入，初步认识
问题 请完成下面的表格
观察表格中的结果，你有什么发现？
【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数
之间的关系，引入新课.
二、思考探究，获取新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数
之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:
(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x ,x ，则x +x = , x ·x = ;
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(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x ,x ，则x +x = , x ·x = .
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答案：（1）4，-7；（2）-3，-5.
思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x ,x ，你能说说x +x 和x ·x 的值吗？
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（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x ,x ,你知道x +x 和x ·x 与方程系数之
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间的关系吗？说说你的理由.
【教学说明】设置上述思考的两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础
上进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给
予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认知.
具体推导过程可参见教材.
【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x ,x ，则x +x =- ,x ·x = .
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这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项
与二次项系数的比.
思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式
Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
【教学说明】设置思考2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提
条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x ,x ，防止学生片面理解而导
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致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材16页例4.
分析：对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.
【试一试】教材第16页练习.例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
分析：设方程的另一根为x ，可通过求两根之和求出x 的值；再用两根之积求
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c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x 值.
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解：设方程另一根为x ，由x +3=1,∴x1=-2.又x ·3=-2×3=c,∴c=-6.
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例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x ,x ，求下列式子的值：
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（1）x 2+x 2; （2） .
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分析：将所求代数式分别化为只含有x +x 和x ·x 的式子后，用根与系数的关
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系，可求其值.
解:∵方程x2-5x-7=0的两根为x ,x ,∴x +x =5,x ·x =-7.
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(1)x 2+x 2=(x +x )2-2x ·x =52-2×(-7)=25+14=39;
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(2) =
【教学说明】例1是根与系数关系的直接应用问题，学生能够自主完成，对于
课本的练习老师可让学生稍作思考后解答；例2侧重于逆用根与系数关系，应注
意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，
这里将代数式转化为只含有x +x 及x ·x 的式子是解决问题的关键，应引导学生
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关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予
以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问
题也给予评析，进行反思.
例4已知x ，x 是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x 2·x 2-x -x =115，
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（1）求k的取值；（2）求x 2+x 2-8的值.
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分析：将x +x =6，x ·x =k，代入x 2·x 2-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-
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4ac来判断k的取值，这是本例的关键.
解：（1）由题意有x +x =6,x ·x =k.∴x 2·x 2-x -x =(x ·x )2-(x +x )=k2-
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6=115,∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)2-
4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意应舍去，故k的值为-11;
(2)由(1)知，x +x =6,x ·x =-11,
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∴x 2+x 2-8=(x +x )2-2x x -8=36+22-8=50.
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【教学说明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的
判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调.
四、运用新知，深化理解1.若x ,x 是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x +x = ,x ·x = ;
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2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;
3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;
4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.
【教学说明】设计这4个小题的目的在于让学生尽快掌握一元二次方程的根
与系数的关系，前3个题，较为简单，可让学生自主完成，最后一个稍微有一点难
度，只需将 + 化简即可.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈
你的看法.
【教学说明】让学生通过回顾与反思加深对知识的领悟，畅所欲言，共同提高.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用
系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解
决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.
2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从
猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数
学思想与化归思想.
3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答
题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，
同时也可以激发同学们学习的兴趣.
