文档内容
y
22.2 二次函数与一元二次方程
1 4
O A B x
第1课时 二次函数与一元二次方程
●基础训练
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C 的坐标为_______;
=_________, =________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x 0 1 2
ax2 1
ax 3 3
2+bx+c
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存
在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2= x+3的解.
4.若二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?
向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?
5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下
表所示的对应关系.
速度V(km/h) 48 64 80 96 112 …
刹车距离s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 …
(1)请你以汽车刹车时
的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它
的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.s(m)
150
100
50
O 50 100 150 v(km/h)
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C
在直线y=x-2上.
(1 )求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
y
D C
O A B x
E
7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x= .
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与 x轴的两个交点中,必存在点 C,使得对 x轴上任意点 D都有
AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当
球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离
地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳
离地面多高?
y
3.05m
O
2.5m x
4m
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=
x2+5x+1000,Q=- +45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格
又是多少元?
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值
范围.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二
次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y 轴
交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐
y
标;若不存在,说明 理由.
C
●综合探究 A O B x
12.已知抛物线 L;y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它E的顶点 PE的' 坐标是
,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛
物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的
关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系
式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x,0),B(x,0)两点x>x>0,它的伴随抛物线与x 轴交于
1 2 2 1
C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：
1.(1)a=1;c=4 (2) 直 线 x= ,
(3)小; ;
(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1;>
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
y x=1
∴ ,∴ ,
3
2
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
1
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, O 1 2 x
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
y
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y= x+3 的图象,
B
A 3
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标 和2 x
6 O 2
就是方程x2= x+3的解.
4.:(1)∵y= x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴ , ,
∴y= .
(2)∵y= =
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2) 图 象 可 看 成 是 一 条 抛 物 线 这 个 函 数 可 看 作 二 次 函 数 .
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得 , 解得 .
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5, ∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.∵y=x-2,AD=BC=2,设 C点坐标为
(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设 经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三
点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴ , 解得
∴y= .
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y= , ∴顶点为 .
∵ , ∴顶点 在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x= .
∴ , 解得
∴y= .(2)证明:令y=0,得 =0, ∴
∵ A(0,3), 取 A 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 E,∴ E
(0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k= ,∴y= x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为 ,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又 ∵ BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD
,∴AC+BC0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x,x,且规定x<2,x> 2,
1 2 1 2
∴x-2<0,x-2>0.
1 2
y
∴ (x-2)(x-2)<0 ,∴ xx-
1 2 1 2
2(x+x)+4<0.
1 2
2
x O x
∵x,x 亦是方程2x2-kx-1=0的两个根, 1 2 x
1 2
∴x+x= ,x·x=- ,
1 2 1 2
∴ ,∴k> .
∴k的取值范围为k> .
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k> .∴k的取值范围为k> .
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m= 5时,得方程:x2-5x+4=0,
解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y= .
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标( ,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴ 点 E 关 于 抛 物 线 对 称 轴 的 对 称 点
E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3(3)∵伴随抛物线的顶点是
(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P ,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P 在此直线上,∴ , ∴k= .
∴伴随直线关系式为y= x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
1
∵x>x>0,∴x+ x= - >0,xx= >0,∴ab<0,ac>0.
2 1 1 2 1 2
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x= .
2
∴ ,∴CD=2 .
又AB=x-x= .
2 1
由AB=CD ,得 =2 ,
整 理 得 b2=8ac, 综 合 b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8
ac,得 a,b,c 满足的条件为 b2=8ac
且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
