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专题1.5 矩形的性质与判定（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解矩形的概念；
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理；
3. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；
4. 能力要求：利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是
一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任
意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直
线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从
而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从
角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判
定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提
是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直
角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°
所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形性质的理解
1．已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB．(1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，
但要保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积．
【答案】(1)见分析 (2)△BEC的面积为7.5．
【分析】
（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求
出△BEC的面积．
(1)
解：如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；
(2)解：由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，
在△ABE中，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
故32+（x-1）2=x2，
解得x=5，
∴△BEC的面积为 ×5×3=7.5．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，
解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
【答案】B【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可．
解：A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平
行，故A不符合题意；
B．矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意；
C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；
D．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
【变式2】如图，在五边形ABCDE中， ， ， ，连接
CE，BD．若 且 ，则 的面积为______．
【答案】
【分析】作出BC边上的垂线DF和EG，DF无法直接计算，DF是 CDF的一条边，
而 EGC和 CDF已有边CE=CD，∠EGC=∠CFD=90°，若两三角形全等△便可求出DF的长．
△解：如下△图过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC延长线于F，
∵∠A=∠ABC=90°，EG⊥BC，
∴ABGE是矩形，BG=AE= ，
∴CG=BC－BG=6－ = ，
∵CE⊥CD，
∴∠ECG＋∠DCF=90°，∵∠ECG＋∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠DCF，
∵CE=DC，∠EGC=∠CFD，
∴△EGC≌ CFD（AAS），
△
∴DF=CG= ，
S BCD= ×6× = ，
△
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质和判定，三角形的面积计算，正确
作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键．
类型二、利用矩形的性质求角
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ，
，且∠ABC 90°．
（1）求证：四边=形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB 30°，AB 1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
= =
【答案】（1）见分析；（2）①60°，② .
【分析】
（1）根据AO CO，BO DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC 90°，可证
四边形ABCD是矩=形 = =
（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC 60°，AC=2，BC=
=
，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得
∠AOB=180°-2∠BAC
解：（1）∵AO CO，BO DO
= =∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC ADC，
∵∠ABC=9∠0°，
∴四边形=ABCD是矩形；
（2）∵∠ABC 90°，∠ACB 300，AB=1
= =
∴∠BAC 60°，AC=2，BC=
=
又∵矩形ABCD中，OA=OB
∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°
S =1× =
□ABCD
【点拨】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键.
【变式1】如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ，
那么 的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题.
解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
【答案】22.5°
解： 四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
类型三、利用矩形的性质求线段
3．如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积．【答案】（1）见详解；（2）4 -8
【分析】
（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进
而即可得到结论；
（2）由 以及勾股定理得AN=DM=4，AB= ，进而即可求解．
解：（1）∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ ，
∴ （AAS），
（2）∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若
OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接OD，先求出 ，然后利用勾股定理求解
即可．
解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴ ，
∴
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作
出辅助线是解题的关键．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S PAB=
△S ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．
矩形
【答案】
【分析】首先由S PAB= S ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的
矩形
△
直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距
离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
解：设 ABP中AB边上的高是h．
△
∵S PAB= S ABCD，
矩形
△
∴ AB•h= AB•AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对
称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
△
∴BE= ，
即PA+PB的最小值为 ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定
理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键．
类型四、利用矩形的性质求面积
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）矩形ABCD的面积为
【分析】
（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由
SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾
股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC= =6 ，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6 =36 ．
【点拨】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题
的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用．
【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交
AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到
S ADC=S ABC，S AMP=S AEP，S PFC=S PCN 最终得到S EBNP= S MPFD ,即
， 矩形 矩形
△ △ △
可得S PEB=S PFD，从而△得到阴影△的面积．△
解△：作PM△⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S ADC=S ABC，S AMP=S AEP，S PFC=S PCN
△ △ △
∴S△ EBNP△= S MP△FD ,
矩形 矩形又∵S PBE= S EBNP，S PFD= S MPFD，
矩形 矩形
△ △
∴S DFP=S PBE= ×2×8=8，
△ △
∴S =8+8=16，
阴
故选：C．
【点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明
S PEB=S PFD．
△ △
【变式2】如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若
DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________
【答案】15
解：因为EF⊥EC，所以∠FEC=90°，所以∠AEF+∠DEC=90°，因为
∠AEF+∠AFE=90°，所以∠AFE=∠DEC，因为∠A=∠D，EF=CE，所以△AEF≌△DCE，所
以AE=CD，AF=DE，设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2，所以2（x+x+2）=16,
解得x=3，所以AB×BC=3×（3+2）=15，故答案为15.
类型五、利用矩形的性质和判定证明
5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四
边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定
出结论．
解：∵DE//AC，CE//BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD= AC= BD
∴四边形OCED是菱形．
【变式1】如图，矩形 的对角线 与 交于点 ，过点 作 的垂线分别
交 、 于 、 两点，若 ， ，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质可求出∠EDO=30°，从而可求出∠DEO=60°，再根据矩
形的性质，推理得到OF=CF，最后在Rt BOF中利用勾股定理求得OF的长，即可得到
CF的长． △
解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，BF=2OF，
∴OF=CF，
又∵BO= BD= AC=2 ，
∴在Rt BOF中，BO2+OF2=(2OF)2，
△
∴(2 )2+OF2=4OF2，
∴OF=2，
∴CF=2，
故选：B．【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形的
性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
【变式2】如图，矩形ABCD中， ，点Q在对角线AC上，且 ，
连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_________．
【答案】
解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，
∴AC=5，
又∵AQ=AD=3，AD CP，
∴CQ=5-3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，
∴CP=CQ=2，
∴BP=3-2=1，
∴Rt△ABP中，AP=
故答案为：
类型六 直角三角形斜边上中线问题
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的
中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）在 CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN= AD，在Rt ABC中，因为
△ △
M是AC的中点，故BM= AC，即可得到结论；
（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=
AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故
∠BMN=90°，得到 ，再由MN=BM=1，得到BN的长．
解：（1）在 CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
△
∴MN∥AD，且MN= AD，
在Rt ABC中，∵M是AC的中点，
△
∴BM= AC，
又∵AC=AD，
∴MN=BM；
（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）知，BM= AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴ ，
而由（1）知，MN=BM= AC= ×2=1，
∴BN= ．
【变式1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到
DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，
利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，△然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD△＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选A．【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，平行四边形 中， 于 ，点 为边 中点，
， ，则 _________
【答案】
【分析】延长 、 交于点 ，连接FC，先依据全等的判定和性质得到 ，
依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 ，依据平行四边形的对
边相等及等量代换得到 ，依据三角形等边对等角得到 、
，依据三角形内角和得到 ，通过作差即得所求.
解：延长 、 交于点 ，连接FC，
∵平行四边形 中，
∴ ， , ,∴ ， ， ,
又∵点 为边 中点，得 ,
∴ ≌ (ASA)， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
∵ , , , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为： .
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.
类型七、矩形性质与判定定理的理解
7．如图， ，且 ， 是 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 、 ，写出 添加一个什么条件时，四边形 是矩形.并说明
理由.
【答案】（1）证明见分析；（2）添加 ，理由见分析.
【分析】
（1）证明 ，结合已知条件，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
即可得到结论；
（2）由矩形 的性质逆推出要添加的条件，再根据添加的条件证明四边形是矩形即可得到答案．
解：（1）∵ 是 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：添加 ，理由如下：
连接 、 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ， ，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.
解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形
是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互
平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.
【点拨】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是
矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；
4.对角线相等的平行四边形是矩形.【变式2】如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，
按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快
___s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【分析】设最快x秒，当BP=AQ时，四边形ABPQ成为矩形，设最快x秒，则4x=20
﹣2x．解方程可得.
解：设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
3x=20﹣2x．
解得x=4．
故答案为4
【点拨】本题考核知识点：平行四边形性质,矩形判定.解题关键点：熟记平行四边形性
质,矩形判定.
类型八、添加一个条件构成矩形
8．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是
AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为
时，四边形AMDN是菱形．
【答案】（1）见分析（2）①1；②2
【分析】
（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形
为矩形即∠DMA=90°，所以AM= AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角
形AMD是等边三角形即可．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM=1= AD，
∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE=AM=1，
∵∠DAM=60°，
∴ME=DE=AM，
∴∠ADM=∠EMD,∠AEM=60°，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∠DAM=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形．【变式1】已知 中，下列条件：① ；② ；③ ；④
平分 ，其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据矩形的判定进行分析即可．
解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分 ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题
的关键．
【变式2】如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一
个条件_____，使四边形ABCD为矩形．
【答案】∠B=90°
【分析】根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形
ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
解：∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到 CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA， △
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相
等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．类型九、证明四边形是矩形
9．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交
AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见分析；（2） ．
【分析】
（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，
得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO= ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与
性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
【变式1】如图，在△ABC中，点D在BC上， ，下列四个判断
中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
【答案】C
【分析】根据题意，分别利用平行四边形及矩形，菱形的判定定理依次判断即可得．
解：A选项，∵在△ABC中，点D在BC上， ，
∴ ，
∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；
B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；即B正确；
C选项，∵添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；
D选项，∵由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形，所以D正确．
故选C．
【点拨】题目主要考查平行四边形及矩形，菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理
是解题关键．
【变式2】如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，
折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边
形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．
【答案】①②④
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得
∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得
MN∥BC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证出四边
形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；②④正确；
没有条件证出∠B=90°，④错误；
故答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与
性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定
是解题的关键．
类型十、利用矩形的性质与判定求角度
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝
DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【答案】（1）见分析；（2）∠BDF＝18°．
【分析】
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，
即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得
到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
解：（1）∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理
进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【变式1】如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角
为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABC=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若DE：BE=3：1，则∠EAO=__________．
【答案】30°
解：根据∠DAE：∠BAE=3：1以及∠DAE+∠BAE=90°可得：∠DAE=67.5°，根据
AE⊥BD可得：∠ADE=22.5°，根据OA=OD可得：∠OAD=∠ADO=22.5°，则
∠EAO=∠DAE-∠DAO=67.5°-22.5°=45°.
类型十一、利用矩形的性质与判定求线段
11．如图，在 中， 于点E点，延长BC至F点使 ，连接
AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若 ， ， ，求AE的长.
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
解：（1）∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在
▱
ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积= AB•AF= BF•AE．
∴AE= ．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接
EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（
）
A．8 B．8 C．4 D．6
【答案】D
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质
可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列
式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求
出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2 ，
∴AC=2BC=4 ，
∴AB= ＝ ＝6，
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的
性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅
助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
【变式2】如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点 ， ，
垂足为点 ，且 平分 ，则 的长为_____.
【答案】 ．
【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证 ABE≌△AOE，可得
AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长． △
解：∵四边形 是矩形
∴ ，
∵ 平分∴ ，且 ， ，
∴ ≌ （ ）
∴ ，且
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩
形的性质是本题的关键．
类型十二、利用矩形的性质与判定求面积
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD
交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
【答案】（1）见分析；（2）135°；（3）
【分析】
（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；
（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出 DCE是等腰
直角三角形，进而得出 OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用△等腰三角形的
性质和三角形内角和定△理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求
解；
（3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可．
解：（1）∵AD BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，CD=CE，
∵∠BDE=15°，
∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，
∴∠BDC=60°，又OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；
（3）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵EC=CD=AB=2，
∴AC=BD=4，
∴BC= = ，∴BE=BC-CE= -2，
∴△BOE的面积= ．
【点拨】本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾
股定理是解题的关键．
【变式1】在矩形 中， 、 相交于点 ，若 的面积为2，则矩形
的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，
即可求出矩形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD
∴
∴矩形 的面积为
故选：C
【点拨】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的
面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.
【变式2】如图，矩形 以点 为圆心，以任意长为半径作弧分别交、 于 两点，再分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧交于点 ，
作射线 交 于点 ，若 ，则矩形 的面积等于__________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AP是
∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，AB＝ ，根据等腰三角形的性质求得AE＝
EC＝2，解直角三角形得到BC=3，于是得到结论．
解：由题可知AP是∠BAC的角平分线
∵∠BAC＝600
∴∠BAE＝∠EAC＝300
∴AE＝2 BE＝2.
∴AB＝
∴∠AEB＝600
又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA
∴∠EAC＝∠ECA＝300
∴AE＝EC＝2
∴BC＝3
∴S ＝3 ．
矩形ABCD
【点拨】此题考查尺规作图，矩形的性质，解题关键在于求得AB＝ .
