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专题1.5 直角三角形（知识讲解）
【学习目标】
1.理角并掌握直角三角形的性质与判定；
2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。
【要点梳理】
要点一、直角三角形的定义
三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
特别说明：
如果直角三角形中，有一个锐角是45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角
都等于45°
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具
备.
特别说明：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三
角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角
三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点三、直角三角形的性质
（1）直角三角形中两锐角互余.
（2）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等
于30°.
（4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形.
（6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点四、直角三角形的判定
(1) 有两内角互余的三角形是直角三角形.(2) 在三角形中，若一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三
角形是直角三角形.
(3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为
斜边.
【典型例题】
类型一、直角三角形两锐角互余
1．如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED
＝70°，求∠BAC的度数．
【答案】80°
【分析】先根据AD是△ABC的边BC上的高得出 ，再由直角三角形性质
得出 ,根据BE平分∠ABC得出 ，进而得出 ,再
根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵ 是 的高．即 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线定理，熟知三角形内角和是180°
是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C．
求证：AD＝AB．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠C=90°；然后由已知条件
∠BAD=2∠C求得∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC；最后根据
△ADC的外角性质以及等量代换证得∠ABD=∠ADB，最后利用等角对等边即可证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°；
∵∠BAD=2∠C，
∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，
即∠B=∠C+∠DAC，
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴∠ABD=∠ADB
∴AD＝AB．
【点拨】本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互
余．
类型二、直角三角形的判定
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果 ，
试判断△ABC的形状．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据非负数的性质求得a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角
形ABC的形状．
解：△ABC是直角三角形．理由：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ 是以a为斜边的直角三角形；
【点拨】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键
是利用非负数的性质确定三个未知数的值．
举一反三：
【变式】在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，
判断各三角形是否为直角三角形．并指出哪一个角是直角．
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
【答案】（1）是， 是直角；（2）是， 是直角
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理求解即可．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°即∠B是直角；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°即∠C是直角．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理
的逆定理．
类型三、图形上的点与已知两点构成直角三角形
3．已知A( ， )，B(4， )，C(1，2)，判定 ABC的形状．
【答案】 ABC是等腰直角三角形，见解析
【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理
判断三条边的关系即可解题．解：利用两点的距离公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是
常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶
点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.
【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这
个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从
图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较
困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交
点就是点C的位置.
解：过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过
点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.

【点拨】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是
掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.类型四、在网格中判断直角三角形
4．如图，在正方形网格上有一个 ．
（1）发现 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）画 关于直线 的对称图形（不写画法）；
（3）若网格上的每个小正方形的边长为1，则 的面积为 ．
（4）在直线MN上找一点P，使PA＋PB最短．
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）8.5；（4）见解析
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理解答即可；
（2）先找出点 、 、 关于 的对称点 、 、 的位置，然后顺次连接 、
、 即可；
（3）利用 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可
得解；
（4）根据两点之间线段最短以及轴对称的性质连接 ，交MN于点P，则该点P即
为所求．
解：（1）由勾股定理可得： ， ，
，
， ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2） 关于直线 的对称图形如图所示；（3） 的面积 ，
，
；
（4）如图，点P即为所求．
【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，熟
练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图1，方格纸中的每一个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．
已知A、B、C都是格点．
（1）小明发现图1中∠ABC是直角，请填空补全他的思路：先利用勾股定理求出
△ABC的三条边长，可得AB＝BC＝ ，AC＝ ，根据勾股定理逆定理，可得∠ABC是直角
（2）请借助图2，用一种不同于小明的方法证明∠ABC是直角；
（3）以AC为一边，在△ABC的异侧作等腰直角三角形ACM，连接BM，则线段BM
的长为
【答案】（1） ， ；（2）见详解；（3） ．
【分析】（1）由勾股定理可求出AB、CB、AC的长度，可得出AB2+BC2=AC2，根据
勾股定理的逆定理，即可得出∠ABC是直角；
（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，可证明△ADB≌△BEC，得出
∠ABD=∠BCE，即可推出∠ABC是直角；
（3）先求出∠BAM=45°+45°=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．
解：（1）∵AB= ，
BC= ，
AC= ，
∴AB2+BC2=AC2，根据勾股定理的逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°；
故答案为： ， ；
（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，
由图可知：AD=BE，BD=CE，∠ADB=∠BEC=90°，
在△ADB和△BEC中，，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠ABD=∠BCE，
在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC=180°，
∴∠BCE+∠EBC=180°-∠BEC=90°，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
∵D，B，E三点共线，
∴∠ABD+∠EBC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-（∠ABD+∠EBC）=90°，
∴∠ABC是直角．
（3）根据题意，作出图形，如下图所示：
∵△ABC和△ACM都是等腰直角三角形，
∴∠BAM=45°+45°=90°，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，
余角的性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
类型五、利用勾股定理的逆定理求解
5．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝ x相交于
点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）证明直线y＝kx＋b与直线y＝ x互相垂直；
（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B坐标为（2，1），k=-2，b=5；（2）证明见解析；（3）存在，点
P坐标为（-5，0）或（ ，0）或（ ，0）．
【分析】（1）把点B横坐标代入y＝ x可求出点B坐标，把A、B两点坐标代入y＝
kx＋b可得关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得出k、b的值；
（2）根据O、A、B三点坐标，利用两点间距离公式可得OA、OB、AB的长，利用勾
股定理逆定理即可得结论；
（3）设点P坐标为（x，0），分PA=PB、AP=AB、BA=BP三种情况，根据两点间距
离公式分别求出x的值即可得答案．
解：（1）∵点B在直线y＝ x图象上，且横坐标为2，
∴当x=2时，y=1，
∴点B坐标为（2，1），
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝ x相交于点B，
∴ ，解得：k=-2，b=5．
（2）∵A（0，5），B（2，1），O（0，0），
∴OA2=25，AB2=（2-0）2+（1-4）2=20，OB2=（2-0）2+（1-0）2=5，
∴OA2=AB2+OB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠ABO=90°，
∴直线y＝kx＋b与直线y＝ x互相垂直．
（3）设点P坐标为（x，0），
∵A（0，5），B（2，1），
∴AB2=（2-0）2+（1-4）2=20，PA2=x2+52=x2+25，PB2=（x-2）2+1=x2-4x+5，
①当PA=PB时，x2+25=x2-4x+5，
解得：x=-5，
∴点P坐标为（-5，0）．
②当PA=AB时，x2+25=20，
∴x2=-5（舍去），
③当AB=PB时，x2-4x+5=20，
解得：x= ，x= ，
1 2
∴点P坐标为（ ，0）或（ ，0）．
综上所述：存在点P使△PAB为等腰三角形，点P坐标为（-5，0）或（ ，
0）或（ ，0）．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、利
用待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式及勾股定理逆定理的运用等，其中
（3）要注意分类求解，避免遗漏．
举一反三：
【变式】如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，
CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．【答案】（1）直角三角形；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，求出 ，根据勾股定理的逆定
理求出即可；
（2）分别求出 和 的面积，再相加即可．
解：（1） 是直角三角形，
理由是：由题意可知：在 中，由勾股定理得：
，
， ，
，
，
即 是直角三角形；
（2）
，
即四边形 的面积是 ．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是能求出
是直角三角形．
类型六、勾股定理的逆定理的实际应用6．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺
设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为
120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先在 中，利用勾股定理可得 的长，从而可得 的长，再
在 中，利用勾股定理可求出 的长，由此即可得出答案；
（2）先根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，且 ，再根据垂
线段最短即可得．
解：（1） 在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
答：供水点 到喷泉 需要铺设的管道总长为 ；
（2） ，
，
是直角三角形，且 ，
即 ，
由垂线段最短可知， 即为所求的最短距离，
答：喷泉 到小路 的最短距离为 ．【点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短等知识点，熟
练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
举一反三：
【变式】如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在
空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求空地ABCD的面积．
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）144m2；（2）17280元
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ABC中利用勾股定理可求得AC的长，由AC、
AD、CD的长度关系根据勾股定理的逆定理可得三角形ACD为一直角三角形，AD为斜边；
由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积加上Rt△ACD的面积解答即可；
（2）由（1）求出的面积，乘以120即可得到结果．
解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=6m，AB=8m，
∴ m，
∵AC2+CD2=102+242=676=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴S =S +S = ＝144，
四边形ABCD △ABC △ACD
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×120=17280（元），答：总共需投入17280元．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
类型七、勾股定理的逆定理拓展应用
7．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组： ， ， ； 第二组： ， ， ；
第三组： ， ， ； 第四组： ， ， ；
（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请
说明理由；
（3）如图， ， ， ，若 ， ， 为上列按已知方式排列顺序的
某一组数，且 ， ，求 的长．
【答案】（1） ， ， ；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出 ， ， ，在根据勾股定理计算即可；
解：（1）∵第一组： ， ， ；
第二组： ， ， ；
第三组： ， ， ；第四组： ， ， ；
，
∴第 组： ， ， ．
（2）直角三角形；
证明： 为正整数，
．
以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形．
（3） ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列： ， ， ，
即 ， ， ．
，
．
， ，
．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
举一反三：
【变式】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我
们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明 ；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小
明先将问题所给条件做了如下整理：如图， 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE
于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到
∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明
△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
