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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.5直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•罗湖区校级模拟）在下列条件中：
① ；
② ；
③ ；
④ 中，能确定 是直角三角形的条件有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解析】① ，是直角三角形；
② ，是直角三角形；
③ ，则设 ， ， ，则 ，解得 ，
， ， ，
不是直角三角形；
④ ，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定 是直角三角形的条件有2个，
故选： ．
2．（2021春•罗湖区校级期末）使两个直角三角形全等的条件是
A．一锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两锐角对应相等【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解析】 、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
、正确，符合判定 或 ；
、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；
、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
故选： ．
3．（2021•苏州模拟）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 、 在边 上，
，若 ，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作 于 ，根据等腰三角形的性质求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，计算即
可．
【解析】作 于 ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．4．（2021秋•乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形 中，已知 ，点 是 的中点，
且 ， 交 的延长线于点 、交 于点 ，若 ， ，则 的长是
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】连接 ，由直角三角形的性质求出 ，根据中垂线的性质求出 ，求出 ，
则可得出 ．
【解析】连接 ，
， ，
，
，
，
，为 的中点，
，
，
，
，
又 ，
，
．
故选： ．
5．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为 的直角三角形，一个锐角为
的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】 ，
，
， ， ，
，
，
故选： ．
6．（2021秋•杏花岭区校级期中）已知 中， 、 、 分别为 、 、 的对边，则下列条件
中：① ；② ；③ ；④ ．
能判断 是直角三角形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．
【解析】① ， 是直角三角形；
② ， 是直角三角形；
③ ， 不是直角三角形；
④ ， 是等腰直角三角形．
故选： ．
7．（2021秋•招远市期中）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是
A．3 B．9 C．16 D．25
【分析】根据勾股定理求出 ，进而求出 ，得到答案．
【解析】由勾股定理得： ，
则 ，
阴影部分面积为9，
故选： ．
8．（2021•诸暨市模拟）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点 处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线 ， 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上
拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且 ， ，读出直尺与 的交点 的标度
就可以求出 的长度．当 ， 时，读得点 处的标度为
A． B． C． D．
【分析】利用待定系数法求出直线 和 的解析式，即可得出点 的坐标，从而得出答案．
【解析】设 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
平分 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，
解得 ，
，
上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上，
读得点 处的标度为 ，故选： ．
9．（2020秋•南宁期末）如图， 是边长为2的等边三角形，点 在 上，过点 作 ，垂
足为 ，延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，则 的长为
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【分析】过 作 的平行线交 于 ，通过 证明 ，得 ，再由 是等
边三角形，即可得出 ．
【解析】过 作 的平行线交 于 ，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
，
在 中和 中，
，，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选： ．
10．（2021秋•西平县期中）如图，等边 中， ，点 在边 上， ， ，垂
足分别为 、 ，设 ，若用含 的式子表示 的长，正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用等边三角形的性质可得 ， ，再利用含30度角的直角三角形
的性质进行计算即可．
【解析】 是等边三角形，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，，
，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•瑞安市期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果 那么
”的形式 如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半． ．
【分析】将命题的条件改成如果的内容，将命题的结论改为那么的内容可求解．
【解析】将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果一
个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半．
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半．
12．（2021秋•高淳区期中）如图，在 和 中， ， ，只需补充条件
，就可以根据“ ”得到 ．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．
【解析】补充条件： ．
在 和 中，
，
．
故答案为： ．
13．（2020•黑龙江）如图， 和 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添
加一个条件 答案不唯一 ，使 和 全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解析】 和 中，
，
，
，
添加 ，
在 和 中
，
，
故答案为： 答案不唯一．
14．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点，立柱 、 垂直于
横梁 ， ， ，则 长为 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】 ， ，
，
， ，
，
点 是斜梁 的中点，
，
故答案为： ．
15．（2021•商河县校级模拟）如图，在 中， ， ．则 的面积为4 ．
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 的度数，然后根据 角所对的
直角边等于斜边的一半求解即可．
【解析】过 作 交 的延长线于 ，
，
，
， 是 边上的高，
，
，
故答案为：4．
16．（2019 秋•勃利县期末）如图， 、 ，垂足分别为 、 ， ， ，
，点 为 边上一动点，当 2 时，形成的 与 全等．
【分析】当 时， ，由 可得 ，进而可得 ， ，再结
合 、 可得 ，可利用 判定 ．
【解析】当 时， ，
， ，
，
、 ，
，在 和 中 ，
，
故答案为：2．
17．（2021秋•鹿城区校级期中）如图， 中， ， 是斜边 的中点． 为 边上一
点，且满足 ．已知 ， ．则 的长为 ．
【分析】根据已知条件： ， 是斜边 的中点，想到连接 ，构造直角三角形斜边上的中线，
从而得出 ，所以 ，再利用已知条件证出 ，然后在 中，再构造斜
边上的高 ，可得证点 是 的中点，进而利用 ，求出 ，所以 ，
从而求出 ．
【解析】连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
， 是斜边 的中点，
，
，又 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
．
18．（2021秋•凌海市期中）如图，正方形 的边长为1，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直角
三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，
则 的值为 ．【分析】根据题意求出面积标记为 的等腰直角三角形的直角边长，得到 ，同理求出 ，根据规律解
答．
【解析】如图所示，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
正方形 的边长为1，
面积标记为 的等腰直角三角形的直角边长为 ，
则 ，
面积标记为 的等腰直角三角形的直角边长为 ，
则 ，
，，
则 的值为： ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•洮北区期末）如图，上午8时，一条船从 处测得灯塔 在北偏西 ，以15海里 时的
速度向正北航行，9时30分到达 处，测得灯塔 在北偏西 ，若船继续向正北方向航行，求轮船何时
到达灯塔 的正东方向 处．
【分析】根据三角形的外角的性质求出 ，得到 的长，根据直角三角形的性质求出 ，计算即
可．
【解析】 为 的外角， ， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
从 到 用的时间为 小时 分钟，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔 在正东方向．
20．（2020秋•宝应县期中）如图，在 中， ， ， 平分 ．
（1）求 的度数；（2）延长 至 ，使 ，求证： ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得结论；
（2）利用等腰三角形的判断和线段中垂线的性质可得答案．
【解析】证明：（1） ，
，
又 ，
， ，
平分 ，
；
（2） ，
，
， ，
，
．
21．（2019秋•扶沟县期中）如图，在直角三角形 中， ， ， ， ，
， 两点分别在线段 和过点 且垂直于 的射线 上运动，且点 不与点 ， 重合，那么当
点 运动到什么位置时，才能使 与 全等？
【分析】本题要分情况讨论：① ，此时 ，可据此求出 点的位置．② ，此时 ， 、 重合，不合题意．
【解析】根据三角形全等的判定方法 可知：
①当 运动到 时，
，
在 与 中， ，
，
即 ；
② ，此时 ， 、 重合，不合题意．
综上所述，当点 运动到线段 中点时， 与 全等．
22．（2020秋•富县期末）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘
的 端 点 与 之 间 的 距 离 为 ， 双 翼 的 边 缘 ， 且 与 闸 机 侧 立 面 夹 角
，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，则可得 和 的长，依据端点 与 之间的距
离为 ，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，在 中， ，
，
同理可得， ，
又 双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，
，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．
23．（2021春•思明区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角 ， 满足 ，那我们
称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若 是“近直角三角形”， ， ，则 2 0 度；
（2）如图，在 中， ， ， ．边 上是否存在点 ，使得 也是
“近直角三角形”？若存在，求出所有 点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1） 不可能是 或 ，当 时， ， ，不成立；故 ，
， ，则 ，答案为20；
（2）根据已知条件推出 ，根据相似三角形的性质列方程求得 ，即可求解．
【解析】（1） ，不可能是 或 ，
当 时， ， ，不成立；
故 ， ， ，则 ，
故答案为20；
（2）存在，理由：
①在边 上是否存在点 （异于点 ，使得 是“近直角三角形”，
， ， ，
，
是“近直角三角形”，
，
，
，
，
设 ，
根据角平分线定理可知，点 到线段 的距离也为 再
，
解得 ，
即 ．
如图，是“近直角三角形”，
，
，
易证 ，
，
，
，
综上所述， ，
24．（2019 春•安溪县期末）如图 1，直线 直线 ，垂足为 ， 是直角三角形，
，斜边 与直线 交于点 ．
（1）若 ，则 （填“ ”“ ”“ ” ；
（2）如图2，延长 交直线 于点 ，过 作 ，若 ， ，求
的度数（用含 的代数式表示）；
（3）如图3， 平分 ， 的平分线交 的延长线于点 ， ，当 绕 点旋转
时（斜边 与直线 始终相交于点 ，问 的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请
说明理由．
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得 ，可得 是等边三
角形，即可证明；
（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得 ；然后由角平分线表示 ，最后利用角的和可得结论；
（3）由角平分线的性质知 的度数，从而表示 的度数，根据角平分线得 的度
数，最后利用三角形的内角和定理可得结论．
【解析】（1） 是直角三角形，
， ，
，
是等边三角形，
故答案为： ；
（2） ， ，
，
，
，
；
（3） 的度数不变， ．理由如下：
设 ，则 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，的度数不变， ．
