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专题 13 一元一次方程的解法
考点一 一元一次方程的解法——合并同类项与移项 考点二 一元一次方程的解法——去括号
考点三 一元一次方程的解法——去分母 考点四 新定义的一元一次方程求解
考点五 一元一次方程中含字母参数问题
考点一 一元一次方程的解法——合并同类项与移项
例题：（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（1）
移项得：
合并得：
（2）
移项得：
合并得：
（3）移项得：
合并得：
系数化为1得：
（4）
移项得：
合并得：
系数化为1得： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程方法，解题的关键是要熟练掌握步骤．
【变式训练】
1．（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据等号两边同时加 来求解；
（2）根据等号两边同时减去 ，等号两边同时除以 来求解；
（3）根据等号两边同时减去 ，等号两边同时除以 来求解；
（4）根据等号两边同时加上 ，等号两边同时除以 来求解．
（1）
解：在 中，
等号两边同时加 得
，
解得 ；
（2）解：在 中，
等号两边同时减去 得
，
等号两边同时除以 ： ；
（3）
解：在 中，
等号两边同时减去 得
，
等号两边同时除以 得： ；
（4）
解：在 中，
等号两边同时加上 得
，
等号两边同时除以 得： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程解法，理解等式的基本性质是解答关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（2）先合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（3）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解；
（4）先移项并合并同类项，再把系数化为1，即可求解．（1）
解：合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）
解：合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3）
解：移项并合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（4）
解：移项并合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
考点二 一元一次方程的解法——去括号
例题：（2022·吉林长春·七年级期末）解方程： ．
【答案】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解答即可．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
【答案】【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项合并同类项得： ，
两边都除以4，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）解方程： ．
【答案】
【分析】根据等式的性质对方程进行去括号、合并同类项、系数化为1，解一元一次方程即可．
【详解】解：去括号得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤，能正确的去括号，移项是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级专题练习）解方程
【答案】x＝﹣8
【分析】根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1，求出方程的解即可．
【详解】解：
去括号得： x﹣1﹣3﹣x＝2，
移项，合并同类项得：﹣ x＝6，
系数化为1得：x＝﹣8．【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母
的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号是解题的关键．
考点三 一元一次方程的解法——去分母
例题：（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）解下列方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程等号两边同时乘以6，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，即可；
（2）方程等号两边同时乘以 12，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，即可．
（1）
解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
把x的系数化为1，得： ．
（2）
解：去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法，解答过程中，去括号时注意符号的变化．
【变式训练】
1．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）解方程： ．
【答案】【分析】方程两边同乘以6，去括号、移项，合并同类项即可求解．
【详解】解：方程两边同乘以6得， ，
去括号、移项得， ，
合并同类项得， ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法，解答时细心计算，避免粗心出错．
2．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），
去括号，得2-4x-10=5x+15，
移项合并，得-9x=23，
把x系数化为1，得 ．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化为1．
考点四 新定义解一元一次方程
例题：（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数 、 ，规定一种新的运算： ，
例如： ．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可．
（1）
解：根据题中的新定义得：（−2）※5＝−2−2×5＝−2−10＝−12；
（2）根据题中的新定义得：
2−2（x＋1）＝10，
去括号得：2−2x−2＝10，
移项合并得：−2x＝10，
系数化为1得：x＝−5．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算： ，例如，
．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
（1）根据题中的新定义得：
（2）根据题中的新定义得： ， ， ， ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解
（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键．
考点五 一元一次方程中含字母参数问题
例题：（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程 的解与关于 的方程
的解互为倒数，求 的值．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解是 ，把x=-3代入第二个方程得出 ，求出k的值即可．【详解】解方程 得： ，
∵方程 的解与关于 的方程 的解互为倒数，
∴关于 的方程 的解是 ，
把 代入方程 得： ，
解得 ．
【点睛】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一
次方程是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·日照市北京路中学七年级期末）当a=1，b=1时，关于x的方程 = b+x−2的解与
方程3m-2x=1-x的解互为相反数，求m的值．
【答案】m = -1
【分析】a=1，b=1时，代入关于x的方程 = b+x−2，求出解，由两个解互为相反数列出方程，解
方程即可得到m的值；
【详解】将a= 1， b= 1代入方程：
= b+x−2
∴
解得x = 4，
∵关于x的方程 = b+x−2的解与方程3m-2x=1-x的解互为相反数，
∴方程3m-2x=1-x的解为x=-4，
∴3m+8= 1+4，
解得m = -1．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法
是解本题的关键．
2．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程 的解与方程 的解相同，求m值．【答案】m的值是- ．
【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可．
【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x= ，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程 的解相同，
把x= 代入 ，
得： ，
∴m=- ．
故m的值是- ．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次
方程是解此题的关键．
一、选择题
1．（2021·河南·辉县市第一初级中学七年级期中）下列方程式中与 的解相同的是（ ）
A．3 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的解，将其代入到其他方程中，逐一进行判断即可．
【详解】解： ，解得： ；
当 时：
A． ，所以 不是3 的解，不符合题意；
B． ，所以 是3 的解，符合题意；C． ，所以 不是 的解，不符合题意；
D． ，所以 不是 的解，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的求出方程的解，是解题的关
键．
2．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期中）如果单项式 与 是同类项，
那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可求得m，n的值，继而可求
出答案．
【详解】解：由题意可知： ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项，解一元一次方程，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相
同字母的指数相同．
3．（2022·全国·九年级专题练习）某同学解方程3x－1=□x＋3时，把□处数字看错后解得x=－2，那么他
把□处看成了（ ）
A．4 B．－4 C．5 D．－5
【答案】C
【分析】设看错处为 ，把 代入方程，求解即可．
【详解】设看错处为 ，
则原式为 ，
把 代入，得
解得 ．
故答案为：C
【点睛】本题考查一元一次方程的求解运算，熟练掌握其定义及运算法则是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列去分母正确的是（ ）A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】C
【分析】利用等式的基本性质：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，再逐一分析即可．
【详解】解： ，
去分母得： 故A不符合题意；
，
去分母得； ，故B不符合题意；
，
去分母得： ，故C符合题意；
，
去分母得： ，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握“利用等式的基本性质去分母解一元一次方程”是解本题的
关键．
5．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校七年级期中）如图，按下面的程序计算，若开始输入的值x为正
整数，最后输出的结果为 ，则满足条件的x的不同值最多有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】根据题目中的程序进行逆运算即可得出答案．
【详解】解：若运算一次即输出 ，则 ， ；
若运算两次输出 ，则第一次输出 ，令 ， ；
若运算三次输出 ，则第一次输出 ，令 ， ；
若运算四次输出 ，则第一次输出3，令 ， ，因为x为正整数，不合题意；满足条件的x
的不同的值有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，程序计算，读懂题意，将程序进行逆运算是解本题的关键．
二、填空题
6．（2021·云南师范大学附属俊发城中学七年级期中）已知 与 是同类项，则
___________．
【答案】
【分析】根据同类项的概念求出 的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
解得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，
相同字母的指数相同．
7．（2022·安徽·凤阳县大庙中学七年级阶段练习）如果方程 与方程 的解互为相反数，
那么 ______．
【答案】
【分析】解方程 ，得到 ，根据题意可得方程 的解为 ，代入即可求解．
【详解】解方程 ，
解得： ，
因为方程 与方程 的解互为相反数，
所以方程 的解为 ，把 代入得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相反数的应用，解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）方程 去括号可得：__________________ ，方程
去分母可得：__________________
【答案】
【分析】根据去括号法则，即可得出答案；由于方程中两个分母的最小公倍数是6，所以方程两边同时乘
以6即可去掉分母，但2不要漏乘，即可得出答案．
【详解】解：
去括号得： ；
去分母得： ．
故答案为： ；
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程时，去括号，去分母的方法，解题的关键是去括号时，注意符号
问题；找出所有分母的最小公倍数．
9．（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）已知关于x的方程 的解是正整数，则整数k的
值为________．
【答案】0或1
【分析】先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
∵关于x的方程 的解是正整数，
∴ 的值为1或3，∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为：0或1．
【点睛】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数，正确求出 ，进而得到 的值为1
或3是解题的关键．
10．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）点A、B、P是数轴上不重合的三个点，点A表示的数
为 ，点B表示的数为1，若A、B、P三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为
“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点P表示的数为____．
【答案】 或 或5
【分析】依据“和谐三点”的定义，分点P在点A的左侧，在A、B之间，在点B的右侧三种情形解答即
可，数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差，大减小．
【详解】解：设点P表示的数为x，
∵点A表示的数为 ，点B表示的数为1，
∴ ，
当点P在点A的左侧时，
∵A、B、P三个点是“和谐三点”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在A，B之间时，
∵A、B、P三个点是“和谐三点”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在点B的右侧时，
∵A、B、P三个点是“和谐三点”，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
综上所述，符合“和谐三点”的点P表示的数为： 或 或5．
故答案为： 或 或5．
【点睛】本题主要考查了数轴，定义新概念等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，定
义的新概念的意义，分类讨论，解一元一次方程．
三、解答题
11．（2022·全国·七年级专题练习）解方程： ．
【答案】
【分析】首先去括号，继而移项、合并同类项，求解即可．
【详解】解：去括号，得： ，
移项，得：
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的求解，计算时按照运算法则去括号、合并同类项，计算注意仔细即可．
12．（2022·上海市民办嘉一联合中学期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，根据等式的性质，移项，合并同类项，系数化1，即可求解；
（2）先去分母，移项，合并同类项，系数化1，即可求解．
【详解】（1）解：原式去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ，
∴原方程的解是： ．
（2）解：原式两边同时乘以 去分母得， ，移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ，
∴原方程的解是： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质，去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化
1是解题的关键．
13．（安徽省皖东南初中三校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1即可求解；
（2）首先去分母，去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1即可求解．
【详解】（1）解： ，
去括号得： ，
移项的： ，
合并同类项得： ，
系数化成1得： ；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得：
合并同类项得： ，
系数化成1得： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法，在移项时注意要变号，去分母时容易出现符号的错误．解
题关键是掌握一元一次方程的解法．
14．（2022·湖北·武汉市武珞路中学七年级期中）解方程
(1) (2)(3) (4)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ；
（3）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ；
（4）解： ，去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，再合并同类项，从而可得答案；
（3）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案；
（4）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】（1）解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得：（2）
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
（3） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得：
（4） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤与方法”是解本题的关键．
16．（2021·北京市门头沟区斋堂中学七年级期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的
解题过程：
解方程：
解：方程两边同时乘以4，得： ……①
去分母，得： …………②去括号，得： ………………③
移项，得： ……………④
合并同类项，得： ……………………⑤
系数化1，得： ………………………⑥
上述小蒙的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．请帮小蒙改正错误，
写出完整的解题过程．
【答案】②；去分母没有加括号；见解析
【分析】检查小蒙同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可．
【详解】解：上述小蒙解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号；
正确解题过程为：
解：方程两边同时乘以4，得：
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得：
系数化1，得：
故答案为：②；去分母没有加括号；
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2022·福建·厦门双十中学七年级期中）观察下列方程：
① 的解是 ，
② 的解是 ，
③ 的解是 ，……
(1)根据观察得到的规律，直接写出其中解是 的方程，并检验．
(2)直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数）
【答案】(1) ，检验见解析
(2)第n个方程为 ，它的解为
【分析】（1）根据题目所给方程找到规律求解，并验证即可；（2）根据题目所给方程找到规律求解即可
【详解】（1）解：由题意得满足题意的方程为： ，
验证如下：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：观察可知方程右边分子为x，分母为 （n为序号）的2倍，方程右边的分数，分子为 ，
分母为2，而解为 ，
∴第n个方程为 ，它的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程 的
解为 ，则称该方程为“德强方程”．例如： 的解为 ，而 ，则该方程 就
是“德强方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于x的一元一次方程 是“德强方程”，则 __________．
(2)若关于x的一元一次方程 是“德强方程”，且它的解为 ，求a、b的值．
(3)若关于x的一元一次方程 和关于y的一元一次方程 都是“德强方程”，求代数
式 的值．
【答案】(1)-4
(2) ， ；
(3)10
【分析】（1）由 得， ，由关于x的一元一次方程 是“德强方程”得到 ，
即可求得答案；（2）先求得 ，由 得， ，关于x的一元一次方程 是“德
强方程”，得到 把 代入 即可求得a的值；
（3）由题意可得 ①， ②，①＋②得， ，再利用整体代入即可求解．
【详解】（1）解：由 得， ，
∵关于x的一元一次方程 是“德强方程”，
∴ ，
∴ ；
故答案为：-4
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得， ，
∵关于x的一元一次方程 是“德强方程”，
∴ ，
把 代入 得到，
，
得到 ，
∴ ， ；
（3）∵关于x的一元一次方程 和关于y的一元一次方程 都是“德强方程”，∴ ， ，
∴ ①， ②，
①＋②得， ，
∴
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，代数式的值，读懂题意，整体代入是求值的关键．
