文档内容
2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.6三角函数的应用—方向角问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•福建模拟）某轮船由西向东航行，在 处测得小岛 的方位是北偏东 ，继续航行7海里后，
在 处测得小岛 的方位是北偏东 ，则此时轮船与小岛 的距离 是
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
【分析】先过 作 的垂线 ，在直角 中可以求得 的度数是 ，即可证明 是等腰
三角形，即可求解．
【解析】如图，过 作 于点 ，
，
且 ， ，
，
（海里）．
解法二：由题意， ， ，，
，
（海里）．
故选： ．
2．（2021•广东模拟）如图，已知公路 上 ， 两点之间的距离为 ，已知 在 的南偏西 的方
向上， 在 的南偏西 方向上，则点 到公路 的距离为
A． B． C． D．
【分析】作 直线 于点 ，由已知证得 ， ，由等腰三角形的判定得
到 ，在 中，根据 计算可求得 ．
【解析】如图，过点 作 直线 于点 ，
，
， ， ，
， ，
，
，
，
在 中，
，
，
故选： ．
3．（2021•越秀区二模）如图，小明在 处看到西北方向上有一凉亭 ，北偏东 的方向上有一棵大树，已知凉亭 在大树 的正西方向，若 米，则 、 两点相距 米．
A． B．
C． D．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点 作 的垂线交 于 ， 是直角三角形 和
的公共直角边，要先求出 的值然后再求 ， 的值，进而得出 的长．
【解析】过点 作 的垂线交 于 ，
点在 点的正东方向上，
， ，
在 中， ，
（米 ，
（米 ，
在 中， ，
（米 ．
故选： ．
4．（2021•南关区一模）如图，在 岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到 处时，发现
岛在北偏东 的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算 到 的距离 ．下列算法正确的是
A． B． C． D．
【分析】先求出 的度数，再通过解直角三角形求解．
【解析】由题意可得 轴，
，
，
即 ，
．
故选： ．
5．（2021•长安区二模）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点 ， 分别为两岸上一点，且点 在
点 正北方向，由点 向正东方向走 米到达点 ，此时测得点 在点 的北偏西 方向上，则河宽
的长为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】连接 ， ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】连接 ， ，
由题意得， ， ， 米，
，
，
故选： ．
6．（2020秋•郯城县期末）如图，有一轮船在 处测得南偏东 方向上有一小岛 ，轮船沿正南方向航
行至 处，测得小岛 在南偏东 方向上，按原方向再航行10海里至 处，测得小岛 在正东方向上，
则 ， 之间的距离是
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．10海里
【 分 析 】 由 题 意 得 ： ， ， 海 里 ， 解 求 得 ， 那 么
．
【解析】由题意得： ， ， 海里，
在 中，
，（海里），
海里．
故选： ．
7．（2021•滦州市一模）如图，嘉淇一家驾车从 地出发，沿着北偏东 的方向行驶，到达 地后沿着
南偏东 的方向行驶来到 地，且 地恰好位于 地正东方向上，则下列说法正确的是
A． 地在 地的北偏西 方向上
B． 地在 地的南偏西 方向上
C．
D．
【分析】根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．
【解析】如图所示：
由题意可知， ， ，
，即 在 处的北偏西 ，故 错误；
，
，
即 在 处的北偏西 ，故 错误；
，
即公路 和 的夹角是 ，故 错误．
，
，
，故 正确；
故选： ．8．（2020•唐山二模）一渔船在海岛 南偏东 方向的 处遇险，测得海岛 与 的距离为 海里，
渔船将险情报告给位于 处的救援船后，沿北偏西 方向向海岛 靠近，同时，从 处出发的救援船沿
南偏西 方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为
A． 海里 小时 B．15海里 小时 C． 里 小时 D．30海里 小时
【分析】易得 是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．
【解析】 ， ，
，
海里，
（海里），
救援船航行的速度为： （海里 小时）．
故选： ．
9．（2020秋•宛城区期末）如图，一艘船向东航行，上午8时到达 处，测得一灯塔 在船的北偏东
方向，且与船相距 海里；上午11时到达 处，测得灯塔在船的正北方向，则这艘船航行的速度为A．45海里 时 B．15海里 时 C． 海里 时 D． 海里 时
【分析】由题意得 ， ， 海里，再由含 角的直角三角形的性质得
（海里）， （海里），然后由路程除以时间求解即可．
【解析】连接 ，如图所示：
由题意得： ， ， 海里，
（海里）， （海里），
这艘船航行的速度为 （海里 时），
故选： ．
10．（2021•深圳模拟）如图，一艘军舰在 处测得小岛 位于南偏东 方向，向正东航行40海里后到
达 处，此时测得小岛 位于南偏西 方向，则小岛 离观测点 与 的距离分别是A． 海里， 海里 B． 海里， 海里
C． 海里， 海里 D． 海里， 海里
【分析】过点 作 于 ，在 上取一点 ，使 ，则 ，
， 先 证 ， 再 证 ， ，
，设 海里，则 海里，由 得出方程，解方
程，即可解决问题．
【解析】过点 作 于 ，在 上取一点 ，使 ，
则 ， ，
，
，
，
，
， ， ，
设 海里，则 海里， 海里，
，
，
解得： ，
海里， 海里，
（海里），
故选： ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，一艘船从 向北偏东 的方向行驶10千米到达 处，再从 处向正西方向行驶20千米到达
处，这时这艘船与 的距离为 千米．
【分析】由含 角的直角三角形的性质求出 、 的长，即可解决问题．
【解析】如图，
，
，
， 千米，
（千米）， （千米），
（千米），
（千米），
故答案为： ．
12．（2021•宁波模拟）如图，海面上 ， 两岛分别位于 岛的正东和正北方向， 岛与 岛之间的距
离约为36海里， 岛在 岛的南偏东 方向，则 ， 两岛之间的距离约为 33.5 海里（结果精确
到0.1海里，参考数据： ， ， ．【分析】在 中，利用正切函数的定义可得 ，将数值代入计算即可求解．
【解析】由题意得， 海里， ．
在 中， ，
海里．
故 、 两岛之间的距离约为33.5海里．
故答案为：33.5．
13．（2021•通城县模拟）如图，海中有个小岛 ，一艘轮船由西向东航行，在点 处测得小岛 位于它
的东北方向，此时轮船与小岛相距18海里，继续航行至点 处，测得小岛 在它的北偏西 方向，此时
轮船与小岛的距离 为 海里．
【分析】如图，过点 作 于点 ，根据题意可得， ， ，
海里，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离 ．
【解析】如图，过点 作 于点 ，
根据题意可知：
， ， 海里，
在 中， （海里），
在 中， ，（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离 为 海里．
故答案为： ．
14．（2021春•鄂州期末）如图，一个机器人从 地沿着西南方向先前进了 米到达 地，观察到原点
地在它的南偏东 的方向上，则 、 两地的距离等于 米．
【分析】过点 作 于 ，由等腰直角三角形的性质得 （米 ，再由含 角
的直角三角形的性质得 （米 ，即可求解．
【解析】如图，过点 作 于 ，
在 中， 米， ，
（米 ．
在 中， ，
（米 ，
米，
故答案为： ．15．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔 北偏西 方向，距离观测塔 的 处，它沿正
南方向航行一段时间后，到达位于观测塔 南偏西 方向的 处，这时， 处与观测塔 相距 12 8
．（结果保留整数，参考数据： ， ， ， ，
，
【分析】在 中，根据三角函数的定义求出 ，在 中，根据三角函数的定义即可求出 ．
【解析】由已知得， ， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
答：这时， 处距离观测塔 约有 ，
故答案为：128．
16．（2020•海陵区校级三模）如图，轮船在 处观测灯塔 位于北偏西 方向上，轮船从 处以每小时
20海里的速度沿南偏西 方向匀速航行，1小时后到达码头 处，此时，观测灯塔 位于北偏西 方向上，则灯塔 与码头 的距离是 海里．
【分析】作 于点 ，根据题意分别求出 的度数和 的长，根据正弦的定义、等腰直角三
角形的性质计算，得到答案．
【解析】作 于点 ，
由题意得， ， ，
则 ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
则 ，
故答案为： ．
17．（2020秋•李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 出发，沿北偏东 方向走了到达 点，然后再沿北偏西 方向走了 到达目的地 ．此时 ， 两点之间的距离为 500
．
【分析】先证 ，再由勾股定理求解即可．
【解析】如图，由题意得： ， ， ， ， ，
，
，
，
即 ， 两点之间的距离为 ，
故答案为：500．
18．（2021•海安市模拟）如图，某海监船以30海里 小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西
向东航行至 处时，测得岛屿 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达 处，测得岛屿 在其北偏
西 方向，保持航向不变又航行2小时到达 处，此时海监船与岛屿 之间的距离（即 的长）为
海里．【分析】先证明 ，推出 ，可得 ，求出 即可解决问题．
【解析】在 中， ，
，
由题意得 ，
，
，
，
，
，
， （海里），
（海里），
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•大连二模）如图，一艘海轮船位于灯塔 北偏东 方向，与灯塔距离为 的 处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 南偏东 方向的 处，求此时轮船所在 处与灯塔 的距
离．（参考数据： ， ， ， ，结果取整数）
【分析】过点 作 于 点，则在 中易得 的长，再在直角 中求出 ．【解析】过点 作 于 点，
由题意知， ， ， ，
， ，
中， ，
，
中， ，
，
答：轮船所在 处与灯塔 的距离约为 ．
20．（2021•诸城市三模）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头 和 相距54海里，现有一货轮从码
头 出发沿正北方向航行9海里到达点 处，测得灯塔 在点 的北偏西 方向上，已知灯塔 在码头
的北偏东 方向，求此时货轮与灯塔 的距离．
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，设 ，解直角三角形即可
得到答案．
【解析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ；
设 ．
在 中， ，， ，
由题意可得，四边形 为矩形，
海里， ，
在 中， ， ，
，
海里，
．
解得， ，
，
此时货轮与灯塔 的距离为 海里．
21．（2021•封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法 《中华人民共和国长江保护法》正
式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工
作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律．已知渔政执法船
某一时刻在长江流域巡航时，从 出发以30千米 时的速度向正南方向行驶，在 处观测到码头 位于船
的南偏东 ，2小时候到达 处，这时观察到码头 位于船的北偏东 方向，若此时渔政执法船返回码
头 ，需要多少时间？（结果精确到0.1， ， ， ， ．【分析】过 作 于 ，设 ，解直角三角形即可得到结论．
【解析】过 作 于 ，
由题意得， （千米 时）， ， ，
设 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
解得： ，
（千米），
（小时），
答：渔政执法船返回码头 ，需要1.2小时．
22．（2021•绥中县一模）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地 和人工智能科技
馆 参观学习．如图，学校在点 处， 位于学校的北偏东 方向， 位于学校南偏东 方向， 在的南偏西 方向 处．学生分两组同时从学校出发，第一组乘客车去 地，第二组乘公交
车前往 地，客车的速度是 ，公交车的速度是 ，哪组同学先到达目的地？请说明理由．
【 分 析 】 作 于 ． 设 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 ， 得 到
，求得 ，解直角三角形即可得到答案．
【解析】第二组先到，
理由：作 于 ．
设 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，，
， ，
第一组用时： ；第二组用时： ，
，
第二组先到达目的地．
23．（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行．当甲船位于 处
时，乙船位于甲船的南偏西 方向的 处，且乙船从 处沿北偏东 方向匀速直线航行．经过20分钟
后，甲船由 处航行到 处，乙船航行到甲船位置（即 处）的南偏西 方向的 处，此时两船相距
海里，求乙船每小时航行多少海里．【分析】根据甲船的速度和行驶时间求出 ，可得△ 是等边三角形，作 于 ，根据题
意求出 ， ，根据正弦的定义求出 ，计算即可．
【解析】 甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达 ，
（海里），
（海里），
，又 ，
△ 是等边三角形；
如图，过点 作 于 ，
根据题意可知： ， ，
．
△ 是等边三角形，
， （海里），
．
在△ 中， （海里）， ， ，（海里），
（海里），
则乙船每小时航行： （海里）．
24．（2021•河南模拟）如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为 ，该巡逻舰上
午 在 处发现北偏西 方向的 处船甲正在由南向北匀速航行， 后，巡逻舰航行到 处，发
现船甲在其北偏西 方向且距其 的 处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到
．参考数据： ， ，
【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】如图，延长 、 相交于点 ，则 ，
在 中， ， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，，
甲船的速度为 ，
答：船甲的速度为 ．
