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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.7三角函数的应用—坡度坡角问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•南关区校级二模）一辆汽车在坡角为 的坡面上行驶3000米，则它上升的高度为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】根据正弦的定义计算即可．
【解析】由题意得： ， 米，
在 中， ， ，
（米 ，
故选： ．
2．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由 减至 ，已知原楼梯长为5米，调
整后的楼梯会加长 （参考数据： ， ， ．
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【分析】根据正弦的定义求出 ，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】在 中， 米， ，
则 （米 ，
在 中， ，
（米 ，
则调整后的楼梯会加长： （米 ，
故选： ．
3．（2021•安徽模拟）在如图所示的山坡上沿水平方向每前进 ，高度就升高 ，那么山坡的坡度
（即 为
A． B． C． D．
【分析】坡度是坡面的铅直高度 和水平宽度 的比，
【解析】由题意，坡度 ，
故选： ．
4．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间
的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为 ， ，A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【分析】由锐角三角函数可以求得 的长即可．
【解析】在 中， ， 米，
，
（米 ，
故选： ．
5．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知 米， 与地面 的夹角为 ，则两梯脚之间的
距离 为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出 ，再利用锐角三角函数关系得出 的长，即可得出答
案．
【解析】过点 作 于点 ，
米， ，
，
，
（米 ，
（米 ．
故选： ．6．（2021•拱墅区二模）图1是某公园的一个滑梯，图 2是其示意图．滑梯的高 为 ，坡角 为
，由于滑梯坡角过大存在安全隐患，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过
加长滑梯的水平距离 ，使得坡角 满足 ，则 加长的距离可以是
（参考数据： ，
A． B． C． D．
【分析】分别求出当坡角为 、 时 加长的距离，进而得出答案．
【解析】如图，在 ， ， ，
，
当坡角为 时，有 ，
，
当坡角为 时，有 ，
，
当坡角满足 ，
加长的距离 的取值范围为 ，
故选： ．7．（2021•松北区三模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架 米长的梯子 斜靠在右侧墙壁上，
测得梯子与地面的夹角为 ，此时梯子顶端 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向
右移动一段距离到达 处，此时测得梯子 与地面的夹角为 ，则胡同左侧的通道拓宽了
A． 米 B．3米 C． 米 D． 米
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出 、 ，根据正切的定义求出 ，结合图形计算得到答
案．
【解析】在 中， ，
（米 ，
在 中， ，
（米 ，
米，
故选： ．
8．（2021•邯郸模拟）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线 ， 与地面 的夹角分别为 和 ，该大灯照亮地面的宽度 的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为
（参考数据： ， ， ，
A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米
【分析】过点 作 于点 ，由锐角三角函数的定义得出 ， ，再由
，得 ，即可得出答案．
【解析】过点 作 于点 ，如图所示：
在 与 中， ，
，
， ，
，
，
解得： ，
即该大灯距地面的高度2.5米，
故选： ．
9．（2021•新兴县一模）如图是一水库大坝横断面的一部分，坝高 ，迎水斜坡 ，斜坡
的坡角为 ，则 的值为A． B． C． D．
【分析】直接利用勾股定理得出 ，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解析】过点 作 ，垂足为 ，
坝高 ，迎水斜坡 ，
，
则 的值为： ．
故选： ．
10．（2021•济南二模）春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀
约好友一起在江边垂钓，如图，河堤 的坡度为 ， 长为5.2米，钓竿 与水平线的夹角是 ，
其长为6米，若钓竿 与钓鱼线 的夹角也是 ，则浮漂 与河堤下端 之间的距离约为
（参考数据：A．2.33米 B．2.35米 C．2.36米 D．2.42米
【分析】延长 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，利用正切的概念求出 、 、 ，
再证 为等边三角形，求出 ，即可求解．
【解析】如图，延长 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，
的坡比为 ，
，
设 ， ，
在 中，由勾股定理知， ．
解得： ，
（米 ， （米 ，
由题意得： 米， ， ，
， ，
（米 ， （米 ，
，
是等边三角形，
米，
（米 ，
即浮漂 与河堤下端 之间的距离约为2.35米，
故选： ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•虹口区月考）已知一斜坡的坡角 ，那么该斜坡的坡度为 ．
【分析】由于斜坡的坡角为 ，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度 ．
【解析】 斜坡的坡角为 ，
这个斜坡的坡度 ．
故答案为： ．
12．（2021•南浔区模拟）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山
坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为 9.2 ．（结果精确
到 ，参考数据： ， ，
【分析】过点 作水平面的平行线 ，过点 作 于 ，根据余弦的定义计算即可．
【解析】过点 作水平面的平行线 ，过点 作 于 ，
由题意得： ， ，
则 （米 ，
故答案为：9.2．
13．（2021•岳麓区校级模拟）如图，某商店营业大厅自动扶梯 的倾斜角为 ， 的长为 ，则大厅两层之间高度为 6.2 ．（结果保留一位小数）（参考数据： ， ，
【分析】根据正弦的定义计算即可．
【解析】在 中， ， ， ，
则 ，
故答案为：6.2．
14．（2021•垦利区一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众
步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 米，坡
度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡度为 ．则斜坡
的长为 米 ．（结果保留根号）
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 的长，进而得到 的长，再根据锐角三角函数可以得到
的长，然后由勾股定理即可求得 的长即可．
【解析】 ， 米，坡度为 ，
，
，米，
（米 ，
，斜坡 的坡度为 ，
，
即 ，
解得： （米 ，
（米 ，
故答案为： 米．
15．（2021•绍兴模拟）如图，有一个小山坡 ，坡比 ．已知小山坡的水平距离 ，则小山
坡的高度 是 ．
【分析】直接利用坡度的定义进而得出 ，求出答案即可．
【解析】 的坡度为 ，过 点作 ，垂足为点 ，大厅水平距离 的长为 ，
，
则 ．
故答案为： ．
16．（2021•沈河区二模）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 ，
若在坡度为 的山坡上种树，也要求株距为 ，那么相邻两棵树间的坡面距离为 ．【分析】先利用坡度求得垂直距离，再由勾股定理求得坡面距离即可．
【解析】过 作 于 ，如图所示：
由题意得：水平距离 为 ， 的坡度为 ，
铅直高度 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即相邻两棵树间的坡面距离为 ，
故答案为： ．
17．（2021•中山市模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时， ，已知木
箱高 ，斜坡角为 ，则木箱端点 距地面 的高度 为 ．
【分析】根据正弦的定义求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，进而得到 的长，求出 ，结合
图形计算，得到答案．
【解析】设 、 交于点 ，
，
，，
在 中， ，
，
解得， ，
，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
18．（2020•吴中区二模）如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 靠墙摆放，高
， 宽 ， 小 强 身 高 ， 下 半 身 ， 洗 漱 时 下 半 身 与 地 面 成
，身体前倾成 ，脚与洗漱台距 （点 ， ， ， 在同一
直线上）．小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退 11 ．
， ， ，结果精确到个位）【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，延长 交
于 ，则四边形 与四边形 都为矩形，证明 是等腰直角三角形，得出
，求出 ， ， ，即可得出结果．
【解析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，延长 交
于 ，如图所示：
则四边形 与四边形 都为矩形，
，
， ，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， 为 中点，
，
，
， ，
， ，
他应向前约 ，
故答案为：11．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•河南模拟）如图， 是土坡 左侧的一个斜坡，坡度为 ，村委会在坡底 处建另一个
高为3米的平台，并将斜坡 改为 ，坡比 ，求土坡 的高度．（精确到0.1米，参考数据：
， ， ．
【分析】过点 作 于 ，根据坡度的概念得到 ，根据正切的定义列方程，解方程得到答
案．
【解析】过点 作 于 ，
设 米，
， ，
四边形 为矩形，
米， ，
斜坡 的坡比 ，
米，
米，
在 中， ，即 ，
解得： ，则 （米 ，
答：土坡 的高度约为10.0米．
20．（2021•洛阳二模）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图① ，完全开启后，把手 与
水平线的夹角为 ，此时把手端点 、出水口点 和落水点 在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如
图②，其相关数据为 ， ， ， ，求 的长（结果精确到 ，
参考数据： ， ， ，
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据正弦的定义求出 ，根据余弦的定
义求出 ，再根据正切的定义求出 ，计算即可．
【解析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图所示，
则四边形 为正方形，
， ，
在 中， ， ，
， ，
， ，
，，
，
答： 的长约为 ．
21．（2021秋•任城区校级月考）水坝的横截面是梯形 ，现测得坝顶 ，坡面 的坡度 为
，坡面 的坡角 为 ，坝高 ， 求：
（1）坝底 的长（精确到 ；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶 不变的情况下降低 的坡度（如图），使新坡面 的坡
度 为 ，原水坝底部正前方 处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【分析】（1）过 作 于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩形，得 ，
，由坡度的定义得 ，再由坡面 的坡角 为 ，坝高 ，易得 的长，
即可求解；（2）由坡面 的坡度 为 求出 的长，易得 的值，进而与 比较即可．
【解析】（1）如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
则四边形 是矩形，
， ，
在 中，坡度 ，
，
在 中， ， ，
，
，
；
即坝底 的长约为 ；
（2）此加固工程对古树没有影响，理由如下：
由题意得， ，
，
，
， ，
，
此加固工程对古树没有影响．
22．（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 与底板的边缘线
所在水平线的夹角为 时，感觉最舒适（如图① ．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下
面垫入散热架，如图③，点 、 、 在同一直线上， ， ， ．（1）求 的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 与水平线的夹角仍保持 ，求点 到 的距
离．（结果保留根号）
【分析】（1）解 即可求出 的长；
（2）求出 ，在 △ 中求出 ，进而求出 ．
【解析】（1）如图③，在 中， ， ．
；
（2）如图④，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
由题意得， ，
当显示屏的边缘线 与水平线的夹角仍保持 ，可得，
，
，
在 △ 中， ，
又 ，
，
即：点 到 的距离为 ．23．（2021•河南模拟）如图（1）是一辆竖直放在水平地面上的电动滑板车，图（2）是其截面示意图．
已知车杆 ，前、后车轮的圆心分别为点 ， ，且半径均为 ，点 ， ， 在同一条直线
上，点 ， ， 在同一水平线上．若 ， ， ，求把手 到地面的距
离．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ，
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出 、 即可．
【解析】如图，过点 作 ，垂足为 ，交地面于点 ，则 ，
， ，
， ，
在 中， ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
答：把手 到地面的距离约为 ．24．（2021•黄冈模拟）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中
斜坡的倾斜角为 ，一楼到地下停车场地面的垂直高度 ，一楼到地平线的距离 ．
（1）为保证斜坡的倾斜角为 ，应在地面上距点 多远的 处开始斜坡的施工？（结果精确到
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为 ，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？
并说明理由．（参考数据： ， ，
【分析】（1）根据题意可得 ，再根据锐角三角函数即可求出结果；
（2）如图，过点 作 于点 ，根据锐角三角函数求出 的长，再进行比较即可得结论．
【解析】（1）由题意可知： ，
在 中， ，
答：应在地面上距点 约 远的 处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点 作 于点 ，则 ，
在 中， ，
，
能保证货车顺利进入地下停车场．
