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专题 1.5 证明题综合
1．如图，在 中， 垂直平分线段 ，过点 作 交 于 ，延长 、
交于点 ．求证：
（1） 平分 ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 所在的直线垂直平分线段 ，
，
，
，
，
，
即 平分 ；
（2） 所在的直线垂直平分线段 ，
，
，
是 的一个外角，
，
，
，
．
2．如图， 中， ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长．【解答】解：（1） ， ， 垂直平分 ，
，
， ，
．
（2）在直角三角形 中，
，
，
， ， 垂直平分 ，
， ，
，
的周长 ．
3．如图，在 中， ， ， 为 中点，点 在线段 上，
交 于点 ， ．
（1）求 度数；
（2）求 的周长．
【解答】解：（1） ，
是等腰三角形，
又 ，，
又 为 的中点，
平分 ，
，
故 度数为 ；
（2） ，
，
又 ，
，
，
的周长 ，
， ，
的周长 ．
故 的周长为22．
4．已知：如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 的 的平行线
分别交 于 ，交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
【解答】解：（1） 平分 ，
，
，
，
，
，
同理， ，
，
即 ；（2） ， ，
，
的周长 ．
5．如图，在 中， 平分 ，点 是 上一点，连接 交 于点 ，连
接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
．6．如图，在 中， 于点 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点
，连接 ，且 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 的周长为 ， ，求 的长．
【解答】解：（1） ， ， 垂直平分 ，
，
，
，
，
；
（2） 周长 ， ，
，
，
即 ，
，
．
7．如图，在四边形 中， 于 ．
（1）从① ，② ，③ 平分 ，选择两个作为条件，剩
下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件： 平分 ， ，
结论 ；
（2）在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的面积．【解答】解：（1）②③ ①
理由：如图1中，在 上取一点 ，使得 ，
在 和 中，
，
， ，
， ，
，
，
，
故答案为： 平分 ， ， ．
本题也可以由①② ③．
理由：如图2中，过点 作 交 的延长线于点 ．，
，
，
，
，
， ，
，
，
平分 ．
（2）由（1）如图1中可知， ，
．
8．已知 ，以 为边在第二象限作等边 ．
（1）求点 的横坐标；
（2）如下图，点 、 分别为 、 边上的动点，以 为边在 轴上方作等边
，连结 ，当 时，求 的度数．
【解答】解：（1）如图，过 作 于点 ，为等边三角形，点 ，
， ，
，
，
点 的横坐标为 ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，
，
，
为等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，在 和 中，
，
，
，
，
．
9．如图，在 中， ， 为 延长线上一点，且 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若 ， ， 为 中点，求 的长．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）过点 作 ，垂足为 ，， ，
，
为 中点，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
， ，
．
10．如图， 是 的角平分线， 、 分别是 和 的高．
（1）试说明 垂直平分 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【解答】解：（1） 是 的角平分线， ， ，
，在 和 中，
，
，
，
而 ，
垂直平分 ；
（2） ，
，
， ，
，
．
11．如图，在 中， ，点 在 上运动，点 在 上， 始终保持与
相等， 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若 ， ， ，求线段 的长．
【解答】解：（1） ，
理由如下： ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
；
（2）连接 ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
解得： ，则 ．
12．如图，在四边形 中， 与 相交于点 ， ， ，
．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数；
（3） 时，求证： ．
【解答】（1）证明： ，，
是 和 的外角， ，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
是 的外角， ，
，
，
，
；
（3）解：延长 到 ，使 ，连接 ，
， ，
，
，
，
在 和 中
，
，
， ，
由（1）得 ，，
，
13．如图①，在 中， 和 的平分线交于点 ， ．
（1）如图①，若 ，求 的度数．
（2）如图②，连接 ，求证： 平分 ．
（3）如图③，若射线 与 的外角平分线交于点 ，求证 ．
【解答】（1）解： ，
，
和 的平分线交于点 ，
， ，
，
；
（2）证明：过点 作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，和 的平分线交于点 ， ， ， ，
， ，
，
平分 ；
（3）证明： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
．
