文档内容
专题1.23 线段垂直平分线知识点分类专题训练（专项练习）
一、填空题
（一）、基础篇
知识点一：线段垂直平分线的性质
1．如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、
AC于点E、F，则∠EDF＝_____度．
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的
中点，BE＝AC．∠BAC＝75°，则∠B的度数为_______．
知识点二：线段垂直平分线的判定
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC
上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE=____（用含a、b
的代数式表示）．4．如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝
∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是_____．
知识点三：平面直角坐标系中的垂直平分线和对称问题
5．平面直角坐标系中有 、 两点，且线段 被 轴垂直平分，若 坐标为 ，则
坐标为______．
6．如果直线 是线段 的垂直平分线，则点 关于直线 对称．（____）
知识点四 ：垂直平分线解决最值问题
7．如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分线，
是直线上的一动点，则 的周长的最小值为________．
8．如图，在 中， ， ， 面积为12， 于点 ，直线
垂直平分 交 于点 ，交 于点 ， 为直线 上一动点，则 周长的最小值
为_______．知识点五：垂直平分线解决折叠问题知识点
9．如图，等腰 中， ， ， 的平分线与 的垂直平分线交
于点O，点C沿 折叠与点O重合，则 的度数是_______．
10．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，点 D 是 BC 上一点，BD 的垂直平分线交 AB
于点E，将△ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好与点 E 重合，则∠B 等于_______°；
知识点六：垂直平分线中的作图问题
11．如图，小明在以 为顶角的等腰三角形 中用圆规和直尺作图，作出过点 的射
线交 于点 ，然后又作出一条直线与 交于点 ，连接 ，若 的面积为4，
则 的面积为________．
12．如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 和点
再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交
于点 ．若 ， ，则 的长度是______．（二）、巩固篇
知识点一：线段垂直平分线的性质
13．如图，∠ ， 是 ， 垂直平分线的交点，则 的度数是________ ．
14．如图， 中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，
连接OA、OC，已知 ，则 ______．
知识点二：线段垂直平分线的判定
15．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于
点E，连接BE．若∠ACB＝28°，∠EBC＝25°，则∠EBD的度数为 _____°．16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足，
现给出以下四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③AD垂直平分EF；④∠BDE＝
∠CDF．其中正确结论的个数是_____．
知识点三：平面直角坐标系中的垂直平分线
17．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ．在第一象限内找一点横坐
标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是 的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标
为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A（0，2），交x轴于点
B，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上且在第一象限一动点．
若 是等腰三角形，点P的坐标是______________．知识点四 ：垂直平分线解决最值问题
19．如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上，且 ，点 的坐标为
点 为 的中点， 的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，点 为线段
上的一动点，当 的周长最小时，点 的坐标为______．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是∠ACB的平分线CD上的一动点，
，△ABC的面积为 ，则PA＋PE的最小值为______．
知识点五：垂直平分线解决折叠问题
21．如图，等边 ABC的边长为6，点D是AB上一动点，过点D作DE AC交BC于E，
将 BDE沿着DE翻折得到 ，连接 ，则 的最小值为________．22．如图， ABC中，∠C＝72°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，将
ABE沿BE翻折得到 ，若 ，则∠ABC＝___．
知识点六：垂直平分线中的作图问题
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤尺规作图：（1）分别以B、C为圆心，BC
的长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中：
①△BCD是等边三角形；②AD垂直平分BC；③DC⊥AC；④∠BAD＝∠CAD；⑤S
四边形
＝AD•BC．其中一定正确的结论是：___（填序号）．
ABDC
24．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，两弧交于点M
和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝ AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
（三）、培优篇
知识点一：线段垂直平分线的性质
5．已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图像上一点，若只存在
唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是______．
知识点二：线段垂直平分线的判定
26．如图，在△ 中， ， 分别是 ， 上的点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分
别是 ， ，若 ， ，那么下面四个结论：① ；② // ；
③△ ≌△ ；④ ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.
知识点三：线段垂直平分线在直角坐标系中的应用27．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线 ： 与x轴、y轴分别交于
A、B两点，与直线 ： 交于点C，在平面直角坐标系中有一动点D，当
时， 周长的最小值为__________．
知识点四：线段垂直平分线的最值问题
28．如图，在四边形 中， ， ， ， 面积为18， 的
垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，若点 和点 分别是线段 和 边上的
动点，则 的最小值为______．
知识点五：用线段垂直平分线解决旋转问题
29．如图，AOB120°，MPN 60°， OP平分AOB，点 M、N 分别在射线 OA，
OB 上（都不与点 O 重合），∠MPN 绕着点 P 转动， OP 与 MN 交于点 G，
OP10，当 MN取得最小值时， OGN 的面积为_____知识点五：用线段垂直平分线解决动点问题
30．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段
BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若
点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________
知识点六：用线段垂直平分线解决对称问题
31．如图，在 中，点C为直角顶点， ，O为斜边 的中点，将
绕着点O沿逆时针方向旋转 至 ，运动过程中，当 恰为轴对称图形
时， 的度数为______．
知识点七：用线段垂直平分线解决折叠问题
32．如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点
与点 恰好重合，则 为________度．
知识点八：用线段垂直平分线解决作图问题
33．如图，在 中， ，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径
作弧，两弧分别交于点D和点E，作直线DE，交AC于点F，若 ， ，则
的长为_______．
二、解答题
34．如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于
E.求证：AB+AC=2AE.
35．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在
中， ， ，则 ．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作 边上的中线 ，得到结论：① 为等边三角形；② 与
之间的数量关系为_________．
（2）如图（2）， 是 的中线，点D是边 上任意一点，连接 ，作等边
，且点P在 的内部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你
的猜想并加以证明．
（3）当点D为边 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段 与 之间
存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
36．如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（4，0），AB的垂直平分线交y轴与点
D，连接BD，M（a，1）为第一象限内的点
（1）则D（____， ____），并求直线BD的解析式；
（2）当 时，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求E点的坐标.参考答案
1．68
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，FD＝FC，则∠EDB＝∠B，∠FDC＝
∠C，从而可以得到∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，再由∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），
∠A＝180°﹣（∠B+∠C），即可得到∠EDF＝∠A＝68°．
解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，
∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，
∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），
∴∠EDF＝∠A＝68°．
故答案为：68．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．35°
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可得 ，，根据三角形的内角和定理，外角性质建立二元次一次方程组，解方程组
求解即可
解：如图，连接
AB的垂直平分线EF交BC于点E，
BE＝AC．
又D为线段CE的中点
,
设 ，
则
∠BAC＝75°，
①
②联立①② ，解得
即∠B的度数为
故答案为：
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，三线合一，三角形外角性质，三角形内角和定理，
解二元一次方程组，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．2a+b
【分析】延长EB至 G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明
∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则DE=CG，即可求解．
解：如图，延长EB至G，使BE=BG，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG=AE，∠GAB=∠BAE= ∠DAC，
∵2∠BAE=∠GAE，
∴∠GAE=∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，∴∠GAC=∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴DE=CG，
∵BE=a，CE=b，
∴DE=CG=CE+GE=CE+2BE=2a+b，
故答案为：2a+b．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍
角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法．
4．①③④．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质．
5．
【分析】根据垂直平分的性质知P、Q关于y轴对称，利用轴对称的特点即可求得点Q的
坐标．
解：∵线段PQ被 轴垂直平分，
∴点P(2，3)与点Q关于y轴对称，
∵关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点Q的坐标为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及关于y轴对称的点的坐标特征，解决本题
的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐
标都互为相反数．
6．对
【分析】根据垂直平分线性质，即可得到点 关于直线 对称．
解：如果直线 是线段 的垂直平分线，则点 关于直线 对称；
故答案为：对.
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线性质.
7．
【分析】连接BP，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，得BP＝CP，即当AB与m的
交点为P时，AP＋BP最小．解：连接BP，
∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴AP＋PC＝AP＋BP，
∴当AB与m的交点为P时，AP＋BP最小，
∴△APC的周长的最小值为AB＋AC＝8＋5＝13，
故答案为：13．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，以及轴对称−最短路线问题等知识，明确两
点之间，线段最短是解题的关键．
8．7
【分析】连接PA，利用三角形面积公式求出AD的长，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，
推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD AD，推出PA+PD 4，继而推出PA+PD的最小值为4，
由此解题即可．
解：如图，连接PA垂直平分
的最小值为4，
的周长最小值为：4+3=7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，
是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．100°
【分析】连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出
∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
解：如图，连接OB，
由题意得∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC ∠ABO=65° 25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180° ∠COE ∠OCB=180° 40° 40°=100°；
故答案为：100°．
【点拨】该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻
折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
10．20
【分析】根据折叠的性质得出∠C=∠AED，再利用线段垂直平分线的性质得出BE=DE，进
而得出∠B=∠EDB，进而得出∠C=2∠B，利用三角形内角和解答即可．
解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴∠C=∠AED，
∵BD的垂直平分线交AB于点E，
∴BE=DE，∴∠B=∠EDB，
∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=∠B+2∠B+120°=180°，
解得：∠B=20°，
故答案为20
【点拨】本题考查了折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，
是基础题，熟记性质是解题的关键．
11．1
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积解决问题即可．
解：由作图可知， 平分 ，
，
，
，
由作图可知， ，
．
故答案为：1．
【点拨】本题考查作图 复杂作图，等腰三角形的性质的性质等知识，解题的关键是理解
三角形的中线平分三角形的面积．
12．
【分析】根据基本作图过程知CE⊥AB，利用勾股定理求解即可．
解：由基本作图知CE⊥AB，
∵AE=2，BE=1，∴AB=2+1=3，即AC=AB=3，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE= = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查基本尺规作图-作垂线、勾股定理，熟练掌握基本作图是解答的关键．
13．160
【分析】首先需要根据条件作出辅助线OA，根据垂直平分线得性质：线段垂直平分线上任
意一点到该线段两端点的距离相等，可以构造等腰三角形，即可进行角度转换求解，解得
和 的度数为 ，最终根据三角形的内角和求得 的度数为 ．
解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【点拨】本题重点考查的是线段垂直平分线的性质的运用，利用性质进行构造等腰三角形，
并进行求解是解本题的关键．
14．50°
【分析】如图所示，连接OB，由OE，OD分别是BC，AB的垂直平分线，得到
OB=OA=OC，∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，由三角形内角和定理得到
∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，再由∠OBA+∠OBC=∠ABC=40°，即可得
到答案．
解：如图所示，连接OB，
∵OE，OD分别是BC，AB的垂直平分线，
∴OB=OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OAC+∠OCA=180°，
∵∠OBA+∠OBC=∠ABC=40°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=80°，
∴∠OAC+∠OCA=100°，
∴∠OAC=∠OCA=50°，故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角
和定理，熟知角平分线的性质是解题的关键．
15．53
【分析】过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而
可得结果．
解：解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C，
∵AE是∠CAB平分线，
∴EM＝EN，
∵E是CB的垂直平分线上的点，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC＝25°，
在Rt△ECM和Rt△EBN中，
，∴Rt△ECM≌Rt△EBN（HL），
∴∠EBN＝∠ECM＝∠ACB+∠ECB＝28°+25°＝53°．
故答案为：53．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，
掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
16．4
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项
进行分析即可得答案．
解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
又∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DA＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠EDA＝∠FDA
∴AD垂直平分EF，
故②③正确，
∴∠DEF＝∠DFE，
故①正确，
∵∠BED＝∠DFC＝90°，∴∠BDE＝∠CDF．
故④正确．
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的
综合运用．
17．（4，5）或（6，1）或（6,3）
【分析】连接MA，MB，根据线段垂直平分线的性质结合勾股定理可求出
．设C点坐标为 ，则 ，即
，最后根据C点在第一象限内，且横、纵坐标都为整数，即可确
定a，b的值，即得出答案．
解：如图，连接MA，MB，
根据图可知 ．
∵点M是△ABC的三边垂直平分线的交点，
∴ ．
设C点坐标为 ．
根据题意可知 ，且 都为整数．
∴ ，即 ，且 ，
．
∵ ，∴ 或 或 或 ，
解得： 或 （舍）或 或 ．
∴C点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)．
故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，两点的距离公式．理解题意，结合
线段垂直平分线的性质，分析出 是解答本题的关键．
18． ， ， ，
【分析】利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：① ，② ，③
，依据题意画出图形，利用勾股定理和轴对称的性质解答即可得出结论．
解： 交 轴于点 ，
．
．
令 ，则 ，
．
．直线 垂直平分 交 于点 ，交 轴于点 ，
，点 的横坐标为1．
．
① 时，如图，
过点 作 交 轴于点 ，则 ，
，
．
．
，
．
．同理， ．
②当 时，如图，
点 在 的垂直平分线上，
点 的纵坐标为1，
．
③当 时，则 ，如图，
，
．
综上，若 是等腰三角形，点 的坐标是 或 或 或 ．故答案为： 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三
角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的
关键．
19．( ， )
【分析】连接BP，BD，利用轴对称的性质得到当点B，P，D三点共线时，△APD的周长
取得最小值，推出点C在线段AB的垂直平分线上，分别求得直线BD、EP的解析式，解
方程组即可求解．
解：如图所示，连接BP，BD，
点P为线段AB的垂直平分线上一点，则 AP=BP，
OA=6，点A在轴正半轴上，点D为OA的中点，
则OD=AD=3，
∴A点坐标为(6，0)，D点坐标为(3，0)，
则△APD的周长=AP+PD+AD=BP+PD+3>BD+3，即当点B，P，D三点共线时，△APD的
周长取得最小值，
设直线BD解析式为y=kx+b，将点B(2，4)，D(3，0)代入得：
，解得 ，所以直线BD的解析式为 ；
∵B(2，4)，A(6，0)，
∴AB= ，
过点B作BF⊥OA于点F，
∴BF=4，AF= ，
∴BF= AF，即点F在线段AB的垂直平分线上，
∵AB的垂直平分线交x轴于点C，
∴点C与点F重合，即点C在线段AB的垂直平分线上，
∴点C的坐标为(2，0)，∵点B为AB的中点，
则E点坐标为(4，2)，
同理求得所以直线EP的解析式为 ，
联立： ，得 ，
故P点坐标为( ， ) ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式线段垂直平分线的判定和性质以及
一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．
20．6
【分析】 是∠ACB的平分线，作点 关于直线 的对称点 在 上，连接 ，与
直线 的交点即为点 的位置，求出 即可．
解：∵ 是∠ACB的平分线，
∴作点 关于直线 的对称点 在 上，连接 ，
与直线 的交点即为点 的位置，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴PA＋PE= ,∵ ，
∴ ， ,
∴点 是 的中点，
∵AB＝AC，
∴ ，
∵△ABC的面积为 ，
∴ ,
∴ ,
∴PA＋PE的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识点，根据
题意得出 是解本题的关键．
21．3
【分析】先找出B'点变化的规律，可发现B'在∠ABC的角平分线上运动，故AB'取最小值
时，B'点在AC中点上．
解：如图，
∵DE∥AC，△ABC是等边三角形，
∴△BDE是等边三角形，折叠后的△B′DE也是等边三角形，过B作DE的垂直平分线，
∵BD＝BE，B′D＝B′E，
∴BB′都在DE 的垂直平分线上，
∵AB′最小，即A到DE的垂直平分线的距离最小，此时AB′⊥BB′，
∴AB′= AC= ×6＝3，
即AB′的最小值是3．故答案为：3．
【点拨】本题主要考查等边三角形和垂直平分线的性质，掌握和理解等边三角形性质是本
题关键．
22．
【分析】证明 ，推出 ，即可求出 ，由此可得
答案．
解： ，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
由翻折的性质可知， ， ，
，
，
∵ ，
，∵∠C＝72°，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查翻折变换，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、三角形内角和定理
等知识，解题的关键是证明 ，求出 ．
23．①②④
【分析】根据作图方法可得 ，进而可得 等边三角形，再利用垂直平分
线的判定方法可得 垂直平分 ，利用等腰三角形的性质可得 ，利用面
积公式可计算四边形 的面积，根据 不一定等于 ，即 不一定等于 ，
即可判断出是否 ．
解：根据作图方法可得 ，
，
点 在 的垂直平分线上，
，
点 在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，故结论②正确；
为 中点，是 的中线，
，
，故结论④正确；
，
是等边三角形，故结论①正确；
四边形 的面积 ，故选项⑤错误，
不一定等于 ，即 不一定等于 ，
不一定成立，故选项③错误，
故答案是：①②④．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰
三角形三线合一．
24．6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝ AC＝2，
∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6．
故答案为6．【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题
的关键．
25．
【分析】作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．根据题意结合垂直平分线的性
质可判断出当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴
之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使 为等腰三角形．再
根据点A的坐标，即可求出直线CD的斜率，即可得出k的取值范围．
解：如图，作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．
由垂直平分线的性质可知，当点B在OA的垂直平分线上时，即满足 为等腰三角形，
但此时在该正比例函数上还有一点B可使 为等腰三角形，如图， 和 都
为等腰三角形，此时不符合只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，
故要想只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，并在x>0的条件下，只能B点不在OA
的垂直平分线上，即该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）
和y轴之间．设OA的函数解析式为： ，则
解得： ．
设CD的函数解析式为： ，
∵CD在OA的垂直平分线上，
∴ ，即 ，
解得： ．
∵该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，一次函数和正比例函数的图像
和性质，根据题意理解当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直
线）和y轴之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使 为等腰三角形是解答本题的关键．
26．①，②
【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据
等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即
可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明 ．
解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得
出点在角平分线上是解题的关键.
27． ．
【分析】根据题意D点在OB的垂直平分线l上，直线l为y=4，作C关于直线l的对称点
C′，则C′（-8，16），连接AC′，交直线l于D点，此时△ACD周长最小，△ACD周长的
最小值为AC′+AC，根据勾股定理求得AC′、AC的长，即可求得结果．
解：∵直线AB：y=2x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，8），
∵DO=DB，
∴D点在OB的垂直平分线l上，直线l为y=4，
由 解得
∴C（-8，-8），
作C关于直线l的对称点C′则C′（-8，16），连接AC′，交直线l于D点，此时△ACD周
长最小，△ACD周长的最小值为AC′+AC，
∵ ，，
∴△ACD周长的最小为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了两条直线相交问题及垂直平分线的判定，轴对称-最短路线问题，求得
D的位置是解题的关键．
28．6
【分析】连接AQ，过点D作 于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得：
，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是
时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．
解：连接AQ，过点D作 于H．
∵ 面积为18，BC=6，
∴ ，
∴ ，
∵MN垂直平分线段AB，
∴ ，
∴ ，
∴当AQ的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，当 时，AQ的值最小，∵ ，
∴AQ=DH=6，
∴ 的最小值为6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的
性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．
29．
【分析】作 ，可证明 ，推出 ， 为等边三
角形，可得出当 与PE重合，MP与MF重合时，PM、PN有最小值即MN取得最小值，
画出示意图，此时， ，再结合已知条件求解即可．
解：作 ，如下图，∵OP平分AOB，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 为等边三角形，
∴当 与PE重合，MP与MF重合时，PM、PN有最小值，即MN取得最小值，
此时，OP垂直平分MN，
∵ ，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、等边三角形的
判定，根据已知条件推出当 OP垂直平分MN时，MN取得最小值是解此题的关键．30．2.25或3
【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘
米，BP=CP= BC= ×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若
△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出 ，解得：v=3．
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP= BC= ×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有 ，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意
一点，到线段两端点的距离相等．
31．52°或76°或64°
【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，
得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=26°，于是得到
θ=2×26°=52°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×38°=76°，
当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到
∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=64°．
解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=26°，
∴θ=2×26°=52°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=26°，
∴∠CBH=64°，
∴∠OBH=38°，
∴θ=2×38°=76°；
当PB=PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=26°，
∴θ=∠BOG=64°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为52°或76°或64°，
故答案为：52°或76°或64°．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综
合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决
问题的关键．
32．108
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求
出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等
边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三
角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可
得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得
解．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为108．
【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂
直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
33．2
【分析】由作图可知DE垂直平分AB，连接BF，可证BF=AF，利用等腰三角形的性质可
求∠BFC=30°，进而可求BC．
解：连接BF，由作图可知DE垂直平分AB，
∴BF=AF=4，
∴∠A=∠FBA=15°，
∴∠BFC=30°，
∵ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，解题关
键是理解作图含义，连接辅助线，构造等腰三角形和含30度角的直角三角形．
34．详见解析
【分析】延长AE到M，使ME=AE，连接CM，求出AC=CM，求出DM=MC，即可得出
答案．
解：延长AE到M，使ME=AE，连接CM，
则AM=2AE，
∵CE⊥AE，∴AC=CM，
∴∠M=∠CAD=∠DAB，
∴AB∥MC，
∴∠B=∠MCD，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC，
即AB+AC=2AE.
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判
定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，有一定的难度．
35．（1） ；（2） ，证明详见解析；（3）
【分析】（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似．
解：（1） ，
，
，
为 边上的中线，
，
是等边三角形，
．
（2） ．
证明：如图，连接 ，
都是等边三角形，
，
，
，
，
．
，．
，
；
（3）当点D为边 延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证 ．
【点拨】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关
键．
36．（0,3），BD的解析式为 ；（2）a=6；（3）E（0， ）
【解析】
试题分析：（1）设OD=x，则AD=8-x，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD=8-x，在
Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；直线BD的解析式为y=kx+b，由待定系
数法即可得出答案；
（2）由题意得出△DBC与△DBM是等高的三角形得出直线BD与直线CM平行，求出直
线CM的解析式为y=- x+ ；把M（a，1）代入求出a=6即可；
（3）由勾股定理求出AB，得出AC=2 ，由勾股定理求出CD= = ，分三种
情况：①DC=DE时；②CE=CD时；③EC=ED时；分别求出点E的坐标即可．
试题解析：(1)∵A(0,8),B(4,0)，
∴OA=8，OB=4，
设OD=x，则AD=8−x，
∵AB的垂直平分线交y轴于点D，
∴BD=AD=8−x，
在Rt△BOD中,由勾股定理得：x2+42=(8−x)2，解得：x=3，
∴D(0,3)；
故答案为0，3；
设BD的解析式为y=kx+b
把B（4，0）D（0，3）代入y=kx+b得：
解得
则y= ，
(2) ∵S =S 时
△DBC △DBM
∴△DBC与△DBM是等高的三角形
∴直线BD与直线CM平行
设CM的解析式为y=
又∵C(2，4)
∴CM的解析式为y=
又∵M（a，1）且在第一象限
∴a=6 .
(3) 由勾股定理得，AB= ，∵点C为边AB的中点，
∴AC= AB= ×4 =2 ，AD=5
∴CD=
设E(0，x)，则DE=∣x-3 ∣,D（0，x）
①DC=DE时，
∴ =∣x-3 ∣
∴x= 或x=
∴E（0， ）或（0， ）；
②CE=CD时，过C作CF⊥AO交AO于F，
∴F为DE的中点，且F (0，4)∴EF=DF=1
∴x-4=1
∴x=5
E（0，5）
③ EC=ED时，过E作EQ⊥CD于Q，
则EQ∥AB，
∴Q为CD的中点，
∴E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴8−x=x−3，
解得：x= ，
E(0， )；
综上所述：当△CDE为等腰三角形时，E点的坐标为(0， +3)或(0，− +3)或(0，5)或
(0， ).
点睛：本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性
质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积关系等知识，综合性强，有一定难度.
