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专题1.24 角平分线知识点分类专题训练（专项练习）
一、基础篇
知识点一：角平分线的性质定理
1．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则
△ABC的面积为______．
2．如图，已知 的周长是23， 分别平分 和 于D，且
的面积是_______．
知识点二：角平分线的判定定理
3．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则
∠DGF= _____________4．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD
＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝___________.
5．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5．在△ABC的内部找
一点P，使得P到△ACB的三边的距离相等，则这个距离是___________.
知识点三 ：平面直角坐标系中的角平分线
6．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使
OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的
坐标为( )，则a的值为________．
7．若点 在第二象限的角平分线上，则 _________．8．已知点 在x轴的负半轴上，则点P的坐标为________，点P关于第一、
三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为_________．
9．如图，点A、B分别在x轴、y轴上， ，分别以点A、B为圆心，以大于
长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为______．
10．如图,一次函数 的图像与 轴、 轴交于 、 两点,P为一次函数
的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和 轴同时相切,则∠BPO=_________.
11．在平面直角坐标系中，点A(−a，0)，点B(a，0)，其中a>0，点P为第二象限内一动点，
但始终保持PA=a，∠PAB的平分线与线段PB的垂直平分线交于点D，则点D的横坐标是
________．（用含a的式子表示）
知识点四：利用角平分线解决最值问题及函数关系
12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结
DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是_______．13．如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ，
，则（1） ________；（2） 的最小值是________．
14．如图所示，在△ABC中，OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD为△OBC
的BC边上的高线，OD＝5，设△ABC的面积为y，△ABC的周长为x（x＞0），那么
△ABC的面积y与△ABC的周长x的关系式为 __________________．
二、巩固篇
知识点一：角平分线的性质及判定
15．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点D，则
________ ．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE、AF交
于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝_____．
17．如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 、 交于点 ，连接 ．下列结论：① ，
② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论是______（填序
号）．
18．如图，将一块 为 的直角三角板 和等腰直角三角板 叠合在一起，边
与 重合，斜边 ．当点 从点 出发沿着 方向滑动时，点 同时沿着
方向滑动．当点 从点 滑动到点 时，点 运动的路径长为______．知识点二：利用角平分线性质及判定解决最值问题
19．如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与
∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段
BF的最小值为 ______
20．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动
点．
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 _____；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最
小值为 _____．
21．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分
别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是___．知识点三：利用角平分线的性质及判定解决折叠问题
22．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的有
（____）
①DC′平分∠BDE；②BC长为 ；③△ 是等腰三角形；④△CED的周长等于
BC的长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折
叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连
接EH，则△EFH的面积是 _________
知识点四：利用角平分线的性质及判定解决作图问题
24．如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点
P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB＝6，则直
线AB与ON之间的距离是_____．
三、培优篇
知识点一：角平分线的性质及判定求解或证明
25．如图，点 为 的平分线上一点，过 任作一直线分别与 的两边交于 ，
两点， 为 中点，过 作 的垂线交于点 ， ，则 ____ ．
26．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点
O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其
中结论正确的是_____．
27．如图，△ABC的面积为30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射
线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是__________cm2
28．如图，在 中， 和 的角平分线相交于点O，过点О作 交AB
于E．交AC于F．过点 作 于D．下列4个结论．① ；②
，③点O到 各边的距离都相等，④设 ，若 ，
则 ．其中正确的结论有_______．（填写序号即可）
知识点二：直角坐标系中角平分线的性质及判定运用
29．如图，在直角坐标系上有两点 、 ， 是 轴上一点，若将 沿
折叠，点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为__________．30．如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为
圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（3a，a+4），则a的
值为 ___．
知识点三：角平分线的性质及判定解决最值问题
31．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P
在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
32．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点
M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ___．知识点四：角平分线的性质及判定解决综合问题
33．已知：△ABC，DE垂直平分BC边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直
直线AB于F．若AF＝2，AB＝3，那么AC长是___．
34．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、
BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：
①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动
时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论的有_________（填序号）．
35．如图， 中， ， ，以 为圆心， 为半径作弧，交 于点
，分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，射线 交 于点
，若 ，则 的长为______；36．如图， 中， ， 的角平分线 与边 的垂直平分线 相交于
， 交 的延长线于点 ， 于 ，现有下列结论：① ；②
；③ 平分 ；④ ；其中正确的结论的序号是
__________．
37．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点
M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______．
38．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD
的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．二、解答题
39．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象
限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生
变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
40．如图，在平面直角坐标系xoy中， 的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B
在x轴的正半轴上， 且 ， ，点C是直线OC上一点，且在第一
象限， ， 满足关系式 ．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，
直线l交边 或边AB于点Q，交OC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．
当 时，直线l恰好过点C．
①求直线OC的函数表达式；②当 时，请直接写出点P的坐标；
③当直线RQ与直线OC所组成的角被射线RA平分时，请直接写出t的值．
41．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足
，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作
DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S ﹣S ＝4．
△BDM △ADN参考答案
1．10
【分析】作 ，根据角平分线的性质得到 ，在根据三角形的面积公式
计算即可；
解：作 ，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
2．46
【分析】连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，
可得OD=OE，OD=OF=4，再由 ，即可求解．
解：如图，连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵ 分别平分 和 ， ，
∴OD=OE，OD=OF=4，
∴
．
故答案为：46
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离
相等是解题的关键．
3．150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求
出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．
故答案为：150°．
【点拨】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
的性质，仔细分析图形是解题的关键．
4．125°
解：试题分析：根据题意可知OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据∠A=70°可得：
∠ABC+∠ACB=110°，则∠OBC+∠OCB=55°，则∠BOC=180°-55°=125°．
5．2【分析】连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，根据三角形的
面积公式计算即可．
解：连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
由题意得，PE=PD=PF，
S +S +S =S ，
△APC △APB △BPC △ACB
∴ AC·PE+ AB·PD+ BC·PF= AC·BC，
即 ×12·PD+ ×13•PD+ ×5•PD= ×5×12，
解得，PD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6．3
【分析】由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答
案．
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴ ，解得 ．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题的关键．
7．
【分析】第二象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解．
解：∵ 在第二象限角平分线上，
∴ ，
解得， ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；
二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．
8．
【分析】根据点 在x轴的负半轴上，可求出 ，从而得到点P的坐标，进而得到点P
关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标，即可求解
解：∵点 在x轴的负半轴上，
∴ ，解得： ，
∴
∴点P的坐标为 ；
∴点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为
故答案为： ；
【点拨】本题主要考查了x轴上点的坐标特征，点关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标的特征，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的
点的纵坐标为0．
9．2
【分析】根据作图可知 点在 的角平分线上，根据角平分线的性质可得 的横坐标
和纵坐标相等，进而可得 的值
解：根据题意， , 点在 的角平分线上，
的横坐标和纵坐标相等，
即
解得
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质，坐标与图形，理解角平分线的性
质是解题的关键．
10．30°或120°
解：试题解析：分两种情况：
（1）当∠ABO的平分线与 相交时，点P即为圆心.如图，
令y=0，则x=1，令x=0，则y= ，即AO=1，BO=
∴tan∠ABO=
∴∠ABO=30°∵BP为∠ABO的平分线
∴∠OBP=15°
又∠BOP=45°
∴∠BPO=180°-45°-15°=120°
（2）当∠ABO的外角平分线与 相交时，点P即为圆心.如图，
同理可求∠OBP=30°+75°=105°
∴∠BPO=180°-45°-105°=30°
11． a
【分析】先证明Rt△DEP≌Rt△DFB(HL)，推出PE=BF，再证明Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，推
出AE=AF，求得PE=BF= a，即可求解．
解：连接DP、DB，过点D作DE⊥AP交AP延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，
∵∠PAB的平分线与线段PB的垂直平分线交于点D，
∴DP=DB，DE=DF，∴Rt△DEP≌Rt△DFB(HL)，
∴PE=BF，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，
∴AE=AF，
∵点A(−a，0)，点B(a，0)，PA=a，
∴PA=AO=BO=a，
∵AE=AF，PE=BF，
∴a+PE=2a-BF，
∴PE=BF= a，
∴OF= a，
∵DF⊥AB于F，
∴点D的横坐标是 a．
故答案为： a．
【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角
平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．y=80-x（0
