文档文本内容
专题1.24 角平分线知识点分类专题训练（专项练习）
一、基础篇
知识点一：角平分线的性质定理
1．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则
△ABC的面积为______．
2．如图，已知 的周长是23， 分别平分 和 于D，且
的面积是_______．
知识点二：角平分线的判定定理
3．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则
∠DGF= _____________4．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD
＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝___________.
5．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5．在△ABC的内部找
一点P，使得P到△ACB的三边的距离相等，则这个距离是___________.
知识点三 ：平面直角坐标系中的角平分线
6．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使
OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的
坐标为( )，则a的值为________．
7．若点 在第二象限的角平分线上，则 _________．8．已知点 在x轴的负半轴上，则点P的坐标为________，点P关于第一、
三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为_________．
9．如图，点A、B分别在x轴、y轴上， ，分别以点A、B为圆心，以大于
长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为______．
10．如图,一次函数 的图像与 轴、 轴交于 、 两点,P为一次函数
的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和 轴同时相切,则∠BPO=_________.
11．在平面直角坐标系中，点A(−a，0)，点B(a，0)，其中a>0，点P为第二象限内一动点，
但始终保持PA=a，∠PAB的平分线与线段PB的垂直平分线交于点D，则点D的横坐标是
________．（用含a的式子表示）
知识点四：利用角平分线解决最值问题及函数关系
12．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结
DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是_______．13．如图， 是 的角平分线，点 是 上的动点，已知 ， ，
，则（1） ________；（2） 的最小值是________．
14．如图所示，在△ABC中，OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD为△OBC
的BC边上的高线，OD＝5，设△ABC的面积为y，△ABC的周长为x（x＞0），那么
△ABC的面积y与△ABC的周长x的关系式为 __________________．
二、巩固篇
知识点一：角平分线的性质及判定
15．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点D，则
________ ．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE、AF交
于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝_____．
17．如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 、 交于点 ，连接 ．下列结论：① ，
② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论是______（填序
号）．
18．如图，将一块 为 的直角三角板 和等腰直角三角板 叠合在一起，边
与 重合，斜边 ．当点 从点 出发沿着 方向滑动时，点 同时沿着
方向滑动．当点 从点 滑动到点 时，点 运动的路径长为______．知识点二：利用角平分线性质及判定解决最值问题
19．如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与
∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段
BF的最小值为 ______
20．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动
点．
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 _____；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最
小值为 _____．
21．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分
别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是___．知识点三：利用角平分线的性质及判定解决折叠问题
22．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的有
（____）
①DC′平分∠BDE；②BC长为 ；③△ 是等腰三角形；④△CED的周长等于
BC的长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折
叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连
接EH，则△EFH的面积是 _________
知识点四：利用角平分线的性质及判定解决作图问题
24．如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点
P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB＝6，则直
线AB与ON之间的距离是_____．
三、培优篇
知识点一：角平分线的性质及判定求解或证明
25．如图，点 为 的平分线上一点，过 任作一直线分别与 的两边交于 ，
两点， 为 中点，过 作 的垂线交于点 ， ，则 ____ ．
26．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点
O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其
中结论正确的是_____．
27．如图，△ABC的面积为30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射
线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是__________cm2
28．如图，在 中， 和 的角平分线相交于点O，过点О作 交AB
于E．交AC于F．过点 作 于D．下列4个结论．① ；②
，③点O到 各边的距离都相等，④设 ，若 ，
则 ．其中正确的结论有_______．（填写序号即可）
知识点二：直角坐标系中角平分线的性质及判定运用
29．如图，在直角坐标系上有两点 、 ， 是 轴上一点，若将 沿
折叠，点 恰好落在 轴上，则点 的坐标为__________．30．如图，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为
圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（3a，a+4），则a的
值为 ___．
知识点三：角平分线的性质及判定解决最值问题
31．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P
在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
32．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点
M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ___．知识点四：角平分线的性质及判定解决综合问题
33．已知：△ABC，DE垂直平分BC边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直
直线AB于F．若AF＝2，AB＝3，那么AC长是___．
34．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、
BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：
①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动
时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论的有_________（填序号）．
35．如图， 中， ， ，以 为圆心， 为半径作弧，交 于点
，分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，射线 交 于点
，若 ，则 的长为______；36．如图， 中， ， 的角平分线 与边 的垂直平分线 相交于
， 交 的延长线于点 ， 于 ，现有下列结论：① ；②
；③ 平分 ；④ ；其中正确的结论的序号是
__________．
37．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点
M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______．
38．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD
的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．二、解答题
39．如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象
限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生
变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
40．如图，在平面直角坐标系xoy中， 的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B
在x轴的正半轴上， 且 ， ，点C是直线OC上一点，且在第一
象限， ， 满足关系式 ．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，
直线l交边 或边AB于点Q，交OC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．
当 时，直线l恰好过点C．
①求直线OC的函数表达式；②当 时，请直接写出点P的坐标；
③当直线RQ与直线OC所组成的角被射线RA平分时，请直接写出t的值．
41．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足
，C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）如图1，写出a、b的值，证明△AOP≌△BOC；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作
DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：S ﹣S ＝4．
△BDM △ADN参考答案
1．10
【分析】作 ，根据角平分线的性质得到 ，在根据三角形的面积公式
计算即可；
解：作 ，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
2．46
【分析】连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，
可得OD=OE，OD=OF=4，再由 ，即可求解．
解：如图，连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵ 分别平分 和 ， ，
∴OD=OE，OD=OF=4，
∴
．
故答案为：46
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离
相等是解题的关键．
3．150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求
出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．
故答案为：150°．
【点拨】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
的性质，仔细分析图形是解题的关键．
4．125°
解：试题分析：根据题意可知OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据∠A=70°可得：
∠ABC+∠ACB=110°，则∠OBC+∠OCB=55°，则∠BOC=180°-55°=125°．
5．2【分析】连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，根据三角形的
面积公式计算即可．
解：连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
由题意得，PE=PD=PF，
S +S +S =S ，
△APC △APB △BPC △ACB
∴ AC·PE+ AB·PD+ BC·PF= AC·BC，
即 ×12·PD+ ×13•PD+ ×5•PD= ×5×12，
解得，PD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6．3
【分析】由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答
案．
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴ ，解得 ．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题的关键．
7．
【分析】第二象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解．
解：∵ 在第二象限角平分线上，
∴ ，
解得， ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；
二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．
8．
【分析】根据点 在x轴的负半轴上，可求出 ，从而得到点P的坐标，进而得到点P
关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标，即可求解
解：∵点 在x轴的负半轴上，
∴ ，解得： ，
∴
∴点P的坐标为 ；
∴点P关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标为
故答案为： ；
【点拨】本题主要考查了x轴上点的坐标特征，点关于第一、三象限坐标轴夹角的角平分线对称点的坐标的特征，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的
点的纵坐标为0．
9．2
【分析】根据作图可知 点在 的角平分线上，根据角平分线的性质可得 的横坐标
和纵坐标相等，进而可得 的值
解：根据题意， , 点在 的角平分线上，
的横坐标和纵坐标相等，
即
解得
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质，坐标与图形，理解角平分线的性
质是解题的关键．
10．30°或120°
解：试题解析：分两种情况：
（1）当∠ABO的平分线与 相交时，点P即为圆心.如图，
令y=0，则x=1，令x=0，则y= ，即AO=1，BO=
∴tan∠ABO=
∴∠ABO=30°∵BP为∠ABO的平分线
∴∠OBP=15°
又∠BOP=45°
∴∠BPO=180°-45°-15°=120°
（2）当∠ABO的外角平分线与 相交时，点P即为圆心.如图，
同理可求∠OBP=30°+75°=105°
∴∠BPO=180°-45°-105°=30°
11． a
【分析】先证明Rt△DEP≌Rt△DFB(HL)，推出PE=BF，再证明Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，推
出AE=AF，求得PE=BF= a，即可求解．
解：连接DP、DB，过点D作DE⊥AP交AP延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，
∵∠PAB的平分线与线段PB的垂直平分线交于点D，
∴DP=DB，DE=DF，∴Rt△DEP≌Rt△DFB(HL)，
∴PE=BF，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，
∴AE=AF，
∵点A(−a，0)，点B(a，0)，PA=a，
∴PA=AO=BO=a，
∵AE=AF，PE=BF，
∴a+PE=2a-BF，
∴PE=BF= a，
∴OF= a，
∵DF⊥AB于F，
∴点D的横坐标是 a．
故答案为： a．
【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角
平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．y=80-x（0<x<80）
【分析】先证明△BFA≌△BFE，由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BEA，∠DAE=∠DEA，
推出∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，推出∠DAE= y°，∠BEA=∠BAE=∠C+∠DAE=50°+ y°，
由∠ABC+2∠AEB=180°，最后代入x、y即可解答．解：AE⊥BD，
∴∠BFA=∠BFE=90°，
∵∠ABF=∠EBF，BF=BF，
∴△BFA≌△BFE（ASA），
∴BA=BE，AF=EF，∠BAE=∠BEA，
∴AE⊥BD，即BD是线段AE的垂直平分线
∴AD=DA
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，即∠DAE= y°
∴∠BAE =∠BEA =∠C+∠DAE=50°+ y°
∵∠ABC+2∠AEB=180°，
∴x+100°+y=180°，
∴y=80-x（0<x<80）．
故填y=80-x（0<x<80）．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判
定和性质、函数关系式等知识点，寻找全等三角形并灵活运用全等三角形的性质成为解答
本题的关键．
13．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度，然后根据 ，即可求出BE的长度；
（2）作E点关于BD的对称点G，根据两点之间线段最短得到AE+EF的最小值即AG的长
度，然后根据等边三角形的性质即可求出AG的长度．解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；
（2）如图所示，作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，
∵BD是 的平分线，
∴点G在线段BC上，
∴根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，
∴EF+AF=GF+AF≥AG，
∴当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度．
∴GC=BC-BG=4-2=2，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵AC=2，
∴ 是等边三角形，
∴AG=AC=2．∴ 的最小值是2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，角平分线的概念，将军饮马问
题等知识，解题的关键是根据题意求出BE的长度．
14． （x＞0）
【分析】连接 ，过点 作 于 ， 于 ，根据角平分线的性质可得
，根据题意求得面积，进而可得ABC的面积y与△ABC的周长x的关系
式．
解：如图，连接 ，过点 作 于 ， 于 ，
OB、OC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，OD为△OBC的BC边上的高线，
△ABC的周长为x（x＞0），
故答案为： （x＞0）
【点拨】本题考查了角平分线的性质，函数的关系式，掌握角平分线的性质是解题的关键．
15．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质定理得CD=DH，利用勾股定理求出AC，再根据三角形等面积法求得CD即可．
解：过点D作DH⊥AB与H，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DH⊥AB，
∴CD=DH，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
由勾股定理得： =3，
由 得： ，
解得：CD= ，
∴AD=AC﹣CD=3﹣ = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分
线的性质定理，利用等面积法求解是解答的关键．
16．2
【分析】作OD⊥AC于点D，OH⊥CB于点H，连接OC，根据角平分线性质，OM＝OD＝
OH，根据勾股定理得出BC＝6，OM、OD、OH分别是△AOB、△AOC、△BOC的高，根据等面积法 △AOB、△AOC、△BOC面积之和就是Rt△ABC的面积，列式计算得出OM
的值即可．
解：如图，作OD⊥AC于点D，OH⊥CB于点H，连接OC，
∵BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE、AF交于点O，
∴OM＝OD＝OH，
∵在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴ ，
∵OM、OD、OH分别是△AOB、△AOC、△BOC的高，
∴S ＋S ＋S ＝S ，即：
△AOB △AOC △BOC △ABC
，
，
∴OM＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了角平分线性质，用勾股定理解三角形，把整个三角形分解成3个等高
的小三角形，利用等面积法计算是解题关键．
17．①②④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出， 得出∠OAC＝∠OBD，由扇形内角和：∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，
①正确；由△AOC≌△BOD得出AC＝BD，②正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图
所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由
角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝
∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以
OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
解：设AC与OB交于G
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠OGA＝∠MGB，
∴∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
∵△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，故②，
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴S =S ，即AC·OG=BD·OH，
△OAC △OBD
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，
∴假设不正确， 不能平分
故③错误；
正确的序号有①②④．故答案为①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与
性质，反证法等知识；掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的
判定与性质，反证法等知识，证明三角形全等是解题的关键．
18．
【分析】由题意易得BC=5，则有 ，当点 从点 出发滑动到如图所示得到
，过点 作 于点N，作 于点M，进而根据题意可得点D在
射线CD上运动，然后可根据题意进行求解．
解：∵∠A=30°， ，∠ACB=90°，
∴ ，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴ ，∠ACD=∠DCB=45°，
当点 从点 出发滑动到如图所示得到 ，过点 作 于点N，作
于点M，
∴ ，
∵∠ACB=90°，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分∠ACB，
∴点D在射线CD上运动，且当 时，点D运动到最远距离，
∴最大值为 ，
∴当点 从点 滑动到点 时，点 运动的路径长为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定定理、含30°直角三角形的性质及等腰直角三角形
的性质，熟练掌握角平分线的判定定理、含30°直角三角形的性质及等腰直角三角形的性
质是解题的关键．
19．
【分析】作FC⊥OB于C，FD⊥OA于D，FE⊥AB于E，由角平分线的性质得出FD=FC，证
出点F在∠MON的平分线上，∠BOF=45°，在点A在运动过程中，当OF⊥BF时，BF最小，
△OBF为等腰直角三角形，即可得出BF= OB= ．解：作FC⊥OB于C，FD⊥OA于D，FE⊥AB于E，如图所示：
∵∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF交于点F，
∴FD=FE，FE=FC，
∴FD=FC，
∴点F在∠MON的平分线上，∠BOF=45°，
在点A在运动过程中，当OF⊥BF时，F为垂足，BF最小，
此时，△OBF为等腰直角三角形，BF= OB= ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理；由
角平分线的性质得出点F在∠MON的平分线上是解决问题的突破口．
20． ##
【分析】（1）作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF
最小值是DE′的长，进而勾股定理求解即可
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点 分别作 的垂线，垂直分别为
， 上取 ，连接 ，则 ，证明 即可得 点在线
段 上当 时 取得最小值，进而勾股定理即可求得 的长解：（1）如图1，
作点E关于AB的对称点E′，连接DE′于AB交于F（图中F′），则DE+DF最小值是DE′的
长，
在Rt△CDE′中，CD＝3，CE′＝3，
∴DE′＝ ＝3 ，
故答案是：3 ；
（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，过点 分别作 的垂线，垂直
分别为 ， 上取 ，连接 ，则
是等腰直角三角形是 的角平分线
是等腰直角三角
，
又
点在线段 上
当 时 取得最小值
是等腰直角三角形
∴故答案是： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅
助线是解题的关键．
21．4
【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
CE+EF的最小值C'F的长．
解：如图：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝8× ＝4，
∴CE+EF的最小值为4．故填：4．
【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角
形的性质等知识点，正确添加辅助线并灵活运用角平分线的性质成为解答本题的问题．
22．②③④
【解析】
∵∠BDC′=22.5°,∠C′DE=45°，
∴①错误；
根据折叠的性质知,△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°,C′E=CE=DE=AD=a，
CD=DC′= a，
∴AC=a+ a,BC= AC=( +2)a，
∴②正确；
∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠DBC=22.5°,∠DC′C=∠DBC′+∠BDC′，
∴∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，故③正确；
∴△CED的周长=CE+DE+CD=CE+C′E+BC′=BC，
故④正确．
故答案为②③④
23． ##
【分析】利用长方形的性质与折叠先求解 如图，过 作 于 利用
平分 证明 从而求解 再利用三角形的面积公式可得答案.
解： 长方形ABCD，折叠，
设 则
即
如图，过 作 于 而 平分经检验符合题意；
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质
定理的应用，熟练的运用以上知识解题的关键.
24．
【分析】过 作 于 ，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到
，再根据含 角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到直线 与
之间的距离．
解：如图所示，过B作BE⊥ON于E，由题可得OP平分∠MON，
∴∠DOA＝∠BOA，
∵AB∥DO，
∴∠DOA＝∠BAO，
∴∠BOA＝∠BAO，
∴BO＝BA＝6，
∵∠NOM＝60°，∠BEO＝90°，
∴∠OBE＝30°，
∴OE= OB＝3，
∴BE= ，
即直线AB与ON之间的距离为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了角平分线，平行线以及 的直角三角形的性质，熟练掌握相关的
性质定理是求解本题的关键．
25． ．
【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段
垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC
＝∠EDF＝50°，由四边形内角和定理即可得出答案．
解：如图：过 作 于 ， 于 ，
则 ，
平分 ，
，
为 中点， ，
，
在 和 中， ，
，
，
．
，
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应
用，能正确作出辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
26．①②④
【分析】根据全等三角形的判定可得 ，再利用全等三角形的性质即可判断①；
②由全等三角形的性质可得 ，再由，证得 即可判断
② ；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和 ，
证得 ，即AO平分 即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分 即
可判断③．
解：∵ 和 都是等腰三角形， ，
∴ ， ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BE⊥CD，故②正确；
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴OA平分 ，
∵BE⊥CD，
∴ ，
∴ ，故④正确；
根据现有条件无法证明OA平分 ，故③错误，
正确选项为①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】题目主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形
内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．
27．15
【分析】延长CD交AB于E，依据△ACD≌△AED，即可得到CD＝ED，进而得到S ＝
△BCD
S ，S ＝S ，据此可得S ＝S ＋S ＝ S ．
△BED △ACD △AED △ABD △AED △BED △ABC
解：如图所示，延长CD交AB于E，
由作图可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
又∵CD⊥AP，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝ED，
∴S ＝S ，S ＝S ，
△BCD △BED △ACD △AED
∴S ＝S +S ＝ S ＝ ×30＝15（cm2），
△ABD △AED △BED △ABC
故答案为：15．
【点拨】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形
中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性
质定理是解题的关键．
28．①②③
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三
角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°＋ ∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定
义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE＋CF故①正确；由角平分线定理与三角
形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE＋AF＝n，则S ＝ mn，故④错误．
△AEF
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°− ∠A，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝90°＋ ∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
故③正确
∴S ＝S ＋S ＝ AE•OM＋ AF•OD＝ OD•（AE＋AF）＝ mn，故④错误；
△AEF △AOE △AOF
综上可知其中正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【点拨】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．三角形的角平分线的性质，
此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
29．（0， ）或（0，-6）．
【分析】设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB=AC，而AB
的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM=BM，在直角
△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．
解：设点B落在x轴的C点处，如图所示，当点M在x轴上方，
∵A（-3，0），B（0，4），
∵将△ABM沿AM折叠，
∴AB=AC，
又OA=3，OB=4，
∴AB=5=AC，
∴点C的坐标为：（2，0）．
设M点坐标为（0，b），
则CM=BM=4-b，
∵CM2=CO2+OM2，
∴b= ，
∴M（0， ），
如图所示，当点M在x轴下方，设OM=m
由折叠知，AC=AB=5，CM=BM，BM=OB+OM=4+m，
∴OC=8，CM=4+m，
根据勾股定理得，64+m2=（4+m）2，
∴m=6，
∴M（0，-6）
故答案为：（0， ）或（0，-6）．
【点拨】本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，角平分线的性质，等面积法，应用勾
股定理构造方程是解题的关键.
30．2
【分析】由 再分别以点A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P
，则 在 的角平分线上，可得 到两坐标轴的距离相等，再列方程求解即可.
解： 再分别以点A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P ，
在 的角平分线上，到两坐标轴的距离相等，
而 在第一象限，点P的坐标为（3a，a+4），
故答案为2.
【点拨】本题考查的是点到坐标轴的距离，角平分线的尺规作图，角平分线的性质，掌握
“点到坐标轴的距离与点的坐标的关系”是解题的关键.
31．18
【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知
PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从
而求解即可．
解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，
∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵△PMB周长=PM+PB+BM，
∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，
∴满足PC+PB最小即可，
显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，
∴△PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，
∵ ， ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
解得：AB=14，
∵AM=AC=6，
∴BM=14-6=8，
∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分
线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
32．
【分析】先作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，
再根据角平分线的性质得出 ，从而得出 ，再求出 的长即可．解：如图所示，过点 作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ⊥ 交
于点
∵ 平分 ， ⊥ ， ⊥
∴
∴
∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，以及角平分线的性质，解决此题的关键是找到
最小时动点 ， 的位置．
33．7
【分析】过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC，先证明△FAE≌△NAE得到EF＝EN，AF＝
AN，再证明Rt△EFB≌Rt△ENC，得到FB＝NC，即可求解.
解：过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC．
∵EA平分∠FAC，
∴∠EAF＝∠EAN，∵EF⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EFA＝∠ENA＝90°，
在△FAE和△NAE中，
，
∴△FAE≌△NAE（AAS），
∴EF＝EN，AF＝AN，
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
在Rt△EFB和Rt△ENC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△ENC（HL），
∴FB＝NC，
∴AC＝AN+NC＝AF+BF＝2AF+AB＝4+3＝7，
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的
性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.34．①③④
【分析】根据AM∥BN，可以得到∠ACB=∠CBN（可以判断①），∠PDB=∠DBN，根据角
平分线的性质得到 ， ，从而得到
∠PBD=∠PDB，
58°，可以判断②，根据
∠APB=∠ADB+∠PBD，得到∠APB=2∠ADB，可以判断④，根据∠ACB＝∠ABD，
∠ACB+∠ABC+∠A=180°，可以得到∠ABD+∠ABC+∠A=180°，即可得到
∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°，从而可以判断③ .
解：：∵AM∥BN，∠A=64°
∴∠ACB=∠CBN，故①正确，∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=116°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴ ， ，
∴ 58°，故②错误
∵∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABD+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABD+∠ABC=116°，
∴∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°，
∴∠ABC=29°，故③正确，
∵AM∥BN，
∴∠PDB=∠DBN，又∵
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠APB=∠ADB+∠PBD，
∴∠APB=2∠ADB，
∴∠APB：∠ADB=2:1，故④正确
故答案为：①③④ .
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外
角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
35．
【分析】先根据直角三角形的性质和得到AB=2BC、∠ABC=60°，再根据角平分线的作法
可得∠1=∠2=30°，进而得到∠1=∠A=30°，即BF=AF=4,然后再根据三角形的性质求得
FC，最后运用勾股定理解答即可．
解：∵ ， ，
∴AB=2BC,∠ABC=60°
∵作图可知BC平分∠ABC，BC=BD
∴∠1=∠2=30°
∴∠1=∠A=30°
∴BF=AF=4∵ ， ，
∴BF=2FC，即FC=2
∴BC=
∴BD=BC= ．
．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分的作法、等腰三角形的性质以及勾股
定理的灵活应用，掌握含30°直角三角形的性质成为解答本题的关键．
36．①②④
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知
ED＝ AD，DF＝ DF，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从
而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证
明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝ AD．
同理：DF＝ AD．
∴DE＋DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB＋AC＝AE−BE＋AF＋FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB＋AC＝2AE．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线
的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
37．
【分析】根据三角形内角与外角的关系可得
由角平分线的性质可得
根据三角形内角和定理可得
易得∠M的度数．
解：在 中， 是 的外角
∴
由三角形内角和定理可得
∵
∴
∵ 平分
∴由三角形内角与外角的关系可得
∵
∴
又∵
∴
∴
【点拨】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
38．40°
【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：
EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，
∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.
解：如图，
过E作EF AB于F，EG AD于G，EH BC于H，
∵BE平分∠ABD
∴EH=EF
∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°
∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG
∴EG=EH
∴ED平分∠CDG
∴∠HED=∠DEG
设∠DEG=y，∠GEB=x，
∵∠EFA=∠EGA=90°
∴∠GEA=∠FEA=40°
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF
∴∠FEB=∠HEB
∴2y+x=80-x,
2y+2x=80
y+x=40
即∠DEB＝40°.
故答案为：40°.
【点拨】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.
39．
（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析
（3）∠BAC=60°，理由见解析【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合
∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论．
(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得
AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，
从而求∠BAC的度数．
（1）
证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
（3）
解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”
的数学思想方法，综合性较强．
40．（1）（3，3）；（2）①直线OC的函数表达式为 ；②点P坐标为（ ，0）
或（ ，0）；③t的值为 ，或
【分析】（1）过A作AD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质得出OD=OA=3，即可得到A坐标为（3，3），；
（2）①由 ，且 ，可得OC= ，在 中，利用勾股定理
求得BC的值，即可得到点C坐标，设出直线OC的函数表达式为y=kx，把（6，2）代入
求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；②先求出直线AB的解析式，由题意点得P
（t，0），Q（t，t）或（t， ），R（t， ），列出方程，即可求得点P坐标；③先
求出点H的坐标为（ ， ），再根据面积法求出 ，最后分两种情况讨论即可.
解：（1）过A作AD⊥x轴于点D，
∵OB=6，OA=AB，∠OAB=90°，
∴AD平分∠OAB，且OD=BD=3，
∴∠OAD=∠AOD=45°，
∴OD=DA=3，
∴A坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）；
（2）①∵ ，且 ，
∴OC= ，当 时，点P坐标为（6，0），
∵直线l恰好过点C，
，
，
，
点C坐标为（6，2），
设直线OC的函数表达式为y=kx，把（6，2）代入，
得：6k=2，
解得 ，
故直线OC的函数表达式为 ；
②设直线OC与直线AB交于点H，直线AB的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为 ，∵点P的横坐标为t，点R在直线 上，
∴点P（t，0），Q（t，t）或（t， ），R（t， ），
∵线段QR的长度为m，
∴ 或
当 时， 或
解得： 或 或
故点P坐标为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）；
③∵直线AB的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴点H的坐标为（ ， ），
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，过点A作AM⊥直线l，AN⊥直线OC，如图：
或
则：AM= ，
∵直线RQ与直线OC所组成的角被射线RA平分，
AM=AN，
即 = ，
解得 或 ，
故t的值为 或 ．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的性质、求一次函数函数解析式、角平分线的性质、点
到直线的距离、勾股定理的应用.作出相应的图形，分类讨论是解答此题的关键.
41．（1）a＝4，b＝﹣4，见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）先依据非负数的性质求得 、 的值从而可得到 ，然后再
， ，最后，依据 可证明 ；
（2）要证 ，只需证明 平分 ，过 分别作 于 点，作
于 点，只需证到 ，只需证明 即可；
（3）连接 ，易证 ，从而有 ，由此可得
．解：（1）解： ，
， ，
， ，
则 ．
即 ， ，
，
．
在 与 中，
，
；
（2）证明：过 分别作 于 点，作 于 点．
在四边形 中， ，
．
，
，
在 与 中，，
，
．
， ，
平分 ，
；
（3）证明：如图：连接 ．
， ， 为 的中点，
， ， ，
， ，
．
即 ，
．
在 与 中，，
，
．
．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性
质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程
中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
