文档内容
专题1.21 特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】菱形将军饮马问题
1．如图，在菱形 中， ， ，点E是对角线 上一个动点（不
与A，C重合），点F是边 上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动
点，则AP的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
3．如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知
道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．21
4．如图，在菱形 中，对角线 ， ，点 分别是 的中点，
点 在 上运动，在运动过程中，存在 的最小值，则这个最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点二】矩形将军饮马问题
5．如图，在 中， ，点 是 上的一个动点，过
点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值为
（ ）
A． B．13 C． D．
6．如图， ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且
BD=DE，F是线△段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
7．如图， ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在
边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（
）A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
8．如图，在Rt ABC中， ， ， ，两顶点A，B分别在平面
直角坐标系的y轴，x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最
大值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【知识点三】正方形将军饮马问题
9．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE为正三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上取一点P，使 最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，
连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）A． B． C． D． ＋1
11．如图，已知正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ．若
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方形 的边长为4，点 、 分别为 、 的中点，点 是对角
线 上的动点，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
二、填空题
【知识点一】菱形将军饮马问题
13．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将 ABD沿射线BD的方向平
△移得到 A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为_____．
△
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4 ，BD＝4，
点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为______________．
15．如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的
动点，连接 ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 的最小值为
________．
16．如图，直角三角形 中， ， ， 为斜边 上一动点． ，
，则线段 长的最小值为________．
【知识点二】矩形将军饮马问题
17．如图，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF=30°，则EF+ CF的最小值是_____．
18．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落
在点 位置，连接C ．若AB＝3，BC＝6，则线段C 长度的最小值为
________________．
19．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上的
个动点，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，则 长的最小值
为______．
20．如图，在矩形 中， ， ， 为 中点， 为 上一动点，则
的最小值为______．
【知识点三】正方形将军饮马问题21．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点， ，
AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过
点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则 的最小值为______．
22．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，
在平面内有一个正方形，边长为4，中心为O，在正方形外有一点P，OP=4，当正方形绕
着点O旋转时，则点P到正方形的最长距离的最小值为____________．
23．如图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作
BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是______．
24．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，
PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____．三、解答题
25．如图，在边长为2的菱形 中， ， 是 边的中点， 是 边
上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，求点 到 距离的最小值．
26．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点
F，且已知AB=8，BC=4
（1）判断△ACF的形状，并说明理由；
（2）求△ACF的面积；
（3）点P为AC上一动点，则PE+PF最小值为_________________．27．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴
正半轴上，点B在y轴正半轴上．
(1)求点P的坐标．
(2)当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．参考答案
1．B
【分析】
在菱形 中，点B关于AB对称点为点D，过点D作AB的垂线交于点F，交AC
于点E，这时 最小为DF，根据三角函数得， 即可算出答案．
解：
如图所示，连接DE，DF
ABCD是菱形，
， ，
，
，
，
，
当 时，DF最小，
这时
，
，即 的最小值为 ．
故选：B．
【点拨】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到 的最小
值为菱形ABCD中AB边上的高．
2．B
【分析】
由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的
长，由菱形的面积公式可求解．
解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD＝4，
∴BC＝ ，
∵S ＝ ×AC×BD＝BC×AP，
菱形ABCD
∴AP＝ ＝4.8，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题
关键．
3．C
【分析】
画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，
解得：x＝ ，
∴4x＝ ，
即菱形的最大周长为 cm．
故选：C．
【点拨】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长
最大，然后根据图形列方程．
4．C
【分析】
先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为
PE＋PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，
∴AB＝ ＝5，
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE＋PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD＝AB，
∴AE＝AE′，
∵F是BC的中点，
∴E′F＝AB＝5．
故选C．【点拨】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答
此题的关键．
5．C
【分析】
先证四边形AMDN是矩形，连接AD，则MN=AD，当AD最短时，MN取最小值．
解：如图，连接AD，
在 中， ，
，
于点 ， 于点N，
，
四边形MDNA是矩形，
，
当 时，AD最短，
，
，
∴线段 的最小值为 ，
故选： ．【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线AD是解
本题的关键．
6．B
【分析】
过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，当DF⊥FH时，DF取得最小值，
据此求解即可．
解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图：
∵BD=DE，EF=FC，
∴BG=GE，EH=HC，
当DF⊥FH时，DF取得最小值，
此时，四边形DGHF为矩形，
∴DF=GH= BE+ EC= BC=2．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
7．B
【分析】
根据三角形斜边中线的性质求得 ， ，由当 、 、 在
同一直线上时， 取最小值，即可求得 的最小值．
解： 中， ， ， ，
，
，点 、 分别是 、 的中点，
， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最小值，
的最小值为： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确 、 、
在同一直线上时， 取最小值是解题的关键．
8．B
【分析】
取AB的中点P，连接OP、CP，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得
，再由勾股定理，可得CP=10，再由三角形的三边关系，即可求解．
解：如图，取AB的中点P，连接OP、CP，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，由勾股定理得：
，
∵ ，
∴当O、P、C三点共线时，OC最大，最大值为18．故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
9．B
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，BE与AC的交点即为点P的特殊位置，此
时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可
求出AB的长，从而得出结果．
解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB= ．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB= ．
∴ 的最小值为 ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点是确定点P的位置．注意充
分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可，
灵活运用对称性解决此类问题的关键．
10．A
【分析】
根据正方形是轴对称图形， 所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当 在同一直线上时， 的值最小为 的长，进而
根据勾股定理求得 的值．
解：连接BD，
∵正方形是轴对称图形， 所在的直线是正方形的一条对称轴，
∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP＝DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC＝BC＝2，
∵E是BC的中点，
∴EC＝1，
在Rt△DEC中，
DE＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对
称轴是解题的关键．
11．B
【分析】
连接 作 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，证明 ，可
得 ，根据 ，勾股定理即可求得 ，即
的最小值．
解：如图，连接 作 关于 的对称点 ，则 ，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
的最小值为 的长，
，
，
中
，
，
的最小值为
故选B
【点拨】本题考查了正方形的性质，线段和最值问题，添加辅助线将 转化为
是解题的关键．
12．C
【分析】
作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，根据轴对称性质及两点之间，线段
最短，得到四边形 的周长最小，即 最小，再利用三角形三边关系解题即可．解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
故点 与点 重合时，
四边形 的周长最小，
即 最小，
和 关于 对称，
则
连接 ，同样 ，
而 ，即
所以当 与 重合时，
四边形 周长最小，即为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】
根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，
A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值
＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D
关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求
得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．
解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为
A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝ AD＝ ，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
如图，过点D作DH⊥EC于H，
∴ ， ，
∴ ,
∴CE＝2CH＝ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，
含30度角的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
14．
【分析】
连接DE，依据菱形的性质即可计算得到DE的长，再根据线段的性质，即可得到
PD+PE的最小值为DE的长．
解：如图，连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=4 ，BD=4，
∴AO= AC=2 ，BO= BD=2，AC⊥BD，
∴AB= ，
∴AB=AD=BD，即 ABD是等边三角形，
点E是AB的中点△，
，
∴DE= ，
∵DP+PE≥DE，
∴PD+PE的最小值为DE的长，
即PD+PE的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】此题考查了轴对称，最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，关键是
掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短．15．
【分析】
连结AF，利用中位线的性质GH= AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在
BC，当AF⊥BC时，AF最小，利用菱形性质求出 ，由 确定 ABF为等腰
△
直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得： 求出AF即可．
解：连结AF，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴GH∥AF，且GH= AF，
要使GH最小，只要AF最小，
由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，
在菱形 中， ，
∴ ，
在Rt ABF中， ，
∴△A△BF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
GH = AF= ．
最小
故答案为： ．【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股
定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F在BC上，
AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解
题关键．
16．
【分析】
先连接PC, 判定四边形ECFP是矩形, 得到EF=PC, 再根据当PC最小时, EF也最小,
根据垂线段最短, 可得当CP⊥AB时, PC最小, 最后根据面积法, 求得CP的长即可得到线段
EF长的最小值.
解：连接PC,
PE⊥BC, PF⊥CA, ∠PEC=∠PFC=∠C= ,
四边形ECFP是矩形,
EF=PC,
当PC最小时, EF也最小,
垂线段最短,
当CP⊥AB时,PC最小,
AC=1, BC=2,
AB= ,又 当CP⊥AB时
,PC= = = .
线段EF长的最小值为 .
故答案为 .
【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质及垂线段最短.
17．3a
【分析】
作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知 CF=FH，得GH的长是EF+ CF
的最小值，从而得结论．
解：过F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD∥BC，
∴GH⊥AD，∠CHF=90°，
∵∠BCF=30°，
∴FH= CF，
∵点E是边AD上一点，
∴EF+ CF=EF+FH，
即EF+ CF的最小值是GH，
∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，
∴四边形DGHC是矩形，
∴GH=CD=AB=3a，即EF+ CF的最小值是3a；
故答案为：3a．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等
知识，解题关键是确定EF+ CF的最小值是GH．
18．3 ﹣3
【分析】
连接AC，当A、 、C共线时，C 的值最小，进而解答即可．
解：如图，连接AC．
∵折叠，
∴AB＝A ＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝ ，
∵C ≥AC﹣A ，
∴当A、 、C共线时，C 的值最小为：3 ﹣3，
故答案为：3 ﹣3．
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型．
19．
【分析】
由矩形的性质可知EF＝OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知
当OP⊥AB时，满足条件，求得A、B两点的坐标，即可求得EF的最小值．解：在一次函数 中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝ ，
∴A（0，4），B（ ，0）．
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（ ，0），
∴OA＝4，O B＝ ，
由勾股定理得：AB＝ ，
∵ AB•OP＝ OA•OB，
∴OP＝ ．
故答案为：
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，熟知矩形的性质
和一次函数与坐标轴交点特征，熟练进行计算是解答此题的关键．
20．
【分析】
作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时 的值
最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可
解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时
的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM
∵ ， 为 中点，
∴BE=CE=2，∴BM=6；
在矩形 中， ，∴∠B=90°，
∴ ；
故答案为：
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出
辅助线是解题的关键．
21．
【分析】
根据题意 ，进而证明 ，可得
,勾股定理求解即可．
解：如图，作 ， ，连接MH．
PN⊥AC，AE平分∠BAC，
，
，
即为所求，
四边形 是正方形正方形，，
又 ，
，
，
，
，
，
，
AE平分∠BAC，
，
在 与 中，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得
的最小值是 的长是解题的关键．
22． ##
【分析】
由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD的顶点时，点P到正方形的最长距离
取得最小值，最小值为PA．
解：如图，OP过顶点A时，点O与这个图上所有点的连线中，OA最大，此时点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA，
∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴∠OAB=∠OBA=45°，OA⊥CB，
∴OA=OB= ，
∵OP=4，
∴最小值为PA=4- ；
故答案为：4- ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，理解点到图形的距离是解题的关键．
23． ##
【分析】
取AB的中点G，以G为圆心，AB为直径作圆G，当D、E、G共线时，此时DE取得
最小值．
解：∵BE⊥AF于E，即∠AEB=90°，取AB的中点G，
∴点E的运动轨迹为以AB为直径，G为圆心的圆弧．
当D、E、G三点共线时，DE取得最小值，如图，
∵AB=AD=2，
∴AG=EG=1，∴DG= ，
∴DE= ．即线段DE的最小值是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定DE
取最小值的位置．
24．2
【分析】
由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四
边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2 ．
解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC于点P，
∵正方形ABCD边长为4，
∴BP＝ BD＝ ×4 ＝2 ，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形，
∴FE＝BP，
∴EF的最小值为BP的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键．
25．
【分析】
解：由折叠知 ，
又∵ 是 的中点，∴ ，故点 在以点 为圆心 长为半径的 上，如解图，过点 作 于
点 ，在菱形 中， ， ，
∴ 是等边三角形
∵ 是 的中点，
∴点 与点 重合，
∴ ，
故点 A'到 距离的最小值为 ．
26．（1）△ACF是等腰三角形，理由见分析；（2）10；（3）
【分析】
（1）根据折叠的性质可得：∠1=∠2，再由矩形的性质，可得∠2=∠3，从而得到
∠1=∠3，即可求解；
（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求
解；
（3）连接PB，根据折叠的性质可得△ECP≌△BCP，从而得到PE=PB，进而得到当点
F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解．
解：（1）△ACF是等腰三角形，理由如下：
如图，由折叠可知，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，
∴AD=BC=4，CD=AB=8，∠D=90°，
设FD=x，则AF=CF=8-x，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得x=3 ，即DF=3，
∴CF=8-3=5，
∴ ；
（3）如图，连接PB，
根据折叠得：CE=CB，∠ECP=∠BCP，
∵CP=CP，
∴△ECP≌△BCP，
∴PE=PB，
∴PE+PF=PE+PB，
∴当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，
由（2）知：CF=5，
∵BC=4，∠BCF=90°，
∴ ，即PE+PF最小值为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠
的性质是解题的关键．
27．(1)P（2，2）；(2)①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8．
【分析】
（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m
即可．
（2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明
△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得结论；
②根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解．
(1)解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，
∴3m-1=-2m+4，
∴m=1，
∴P（2，2）；
(2)①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，
∴PM=PN，
∴四边形OMPN是正方形，
∵P（2，2），
∴PM=PN=OM=ON=2，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
在 PMB和 PNA中，
△ △
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM=AN，
∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．
②连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴OA2+OB2=AB2．
∵∠BPA=90°，
∴AB2=PA2+PB2=2PA2，
∴OA2+OB2=2PA2，
当PA最小时，OA2+OB2也最小．
根据垂线段最短原理，PA最小值为2．
∴OA2+OB2的最小值为8．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
