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专题1.21 等腰三角形知识点分类专题训练（专项练习）
一、单选题
知识点一：等边对等角
1．如图，在 中，AD是角平分线，且 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A．45° B．50° C．52° D．58°
2．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，
∠A＝62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．58° B．59° C．62° D．76°
3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当
BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）A．26° B．32° C．36° D．38°
4．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点
C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE＋
∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点二：三线合一
5．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF
分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰三角形；
③EF＝AP；④S ＝ S ；当∠EPF在△ABC内绕P旋转时(点E不与A、B重
四边形AEPF △ABC
合)，则上述结论始终正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．已知如图，等腰 中， 于点 ，点 是 延长线
上一点，点 是线段 上一点， 下面的结论：① ；②
是等边三角形；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
知识点三：格点中的等腰三角形
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是
图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
知识点四：等腰三角形存在性问题
8．平面直角坐标系中，已知 ， ．若在 轴上取点 ，使 为等腰三角形，
则满足条件的点 的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC
与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为
（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论：①AD平分∠BAC；
②AD⊥BC；③AD＝BD；④∠B＝∠CAD，其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点四：等腰三角形基本性质应用
11．如图， ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点
F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为（ ）
A．2.5 B．3.5 C． D．4
12．如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK
的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
A． B． C． D．
知识点五：等腰三角形动点问题
13．如图1，在 中， 于点 ．动点 从 点出发，沿
折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 的面积为 与
的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
14．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶点 的坐标分别为 ，点
是 的中点，点 在 上运动，当 时，点 的坐标是( )B． C． D．
知识点六：等腰三角形折叠问题
15．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A
逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接
AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4 ﹣4；③连接EF，EC，FC，
若△FEC是等腰三角形，则AE＝4 ﹣4，其中正确的个数有（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
16．如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重
合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG=1，则△ABC
的周长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
知识点一：等边对等角
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿DF折叠，点A落在BC边上的点E处，
且DE⊥BC于E，若∠A＝56°，则∠AFD的度数为________．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．若AD＝2，则
BC＝________．
知识点二：三线合一
19．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点N是BA延长线上一点，点M是线段AD上一点，MN=MC，下列结论中正确的结论序号是_____________．
①∠ACM=∠ANM；②∠ANM+∠NCB=90°；③NC=NM；④AM+AN=AB．
知识点三：直角坐标系中的等腰三角形
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，
点 ，点Q在x轴的负半轴上，且 分别以 、 为腰，点C为直角顶点
在第一、第二象限作等腰 、等腰 ，连接 交y轴于P点，则 的值
为________．
知识点四：等腰三角形性质应用
21．如图， 与 中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分线；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论
是：____（填写所有正确结论的序号）．22．如图， 中， 为 上一点， ， 相交于 ， ，
平分 ， ，则 ______．
知识点五：等腰三角形的存在性
23．平面直角坐标系内，已知点A(2，－2)，O为坐标原点，点P是y轴上的一个动点，如
果以点P、A、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数为________.
24．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、
B、C为顶点的等腰三角形有____个.
25．如图，在平面直角坐标系中， ，点 ， 的坐标分别是 ， ，则
点 的坐标是______．知识点六：等腰三角形的动点问题
26．已知△ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上
的动点，则CP+EP的最小值为_______．
27．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与
BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点
O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，
给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定
值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确是：_______________．（填序号）
28．如图，已知 ， 于点E， ，若 ，则 的面
积为______．29．如图①，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且 轴．直线 从原
点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被 截得的线段长度n与直线在x轴
上平移的距离m的函数图象如图②所示，那么 的面积为__________．
30．在平面直角坐标系中， AOB是等边三角形，点 的坐标为(2，0)，将 AOB绕原点逆
时针旋转 ，则点 的坐标为_______．
知识点七：等腰三角形的折叠问题
31．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平
分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结
论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：______
32．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点P是对角线AC上的一个动点（不与
A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，AB于点E，F，将△AEF沿EF折叠，点
A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为_______．
33．如图，在矩形ABCD中， ， ，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上
的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点 落在BC上，连接 ， ，当 是以
为腰的等腰三角形时，DE的长为______．
34．如图，在矩形 中， ， ， 是 上一个动点， 是 上一个动
点（点 不与点 重合）．连接 把 沿 折叠，使点 的对应点 总落在边
上．若 是以 为腰的等腰三角形，则 的长为_____________________．二、解答题
知识点一：坐标系中的等腰三角形
35．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标物上，点B坐标为 ．将正方形ABCO绕
点A顺时针旋转角度 ，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延
长线交线段BC于点P．连AP、AG．
（1）求证： ≌ ；
（2）求 的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当 时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在 中，30°内角对应的直
角边等于斜边的一半）．
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰
三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，且
，正比例函数 交直线 于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ．
（1）求直线 的函数表达式和点 的坐标；
（2）在 轴负半轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条
件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
37．综合与探究
如图所示，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点 ， ，且a，b满足 ， 轴于点B， 轴于点D．
（1）直接写出 _____________， _____________；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）若 ，在x轴上是否存在点F，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，
请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得
有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三
角形△ACD，连接BD，OD．
①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；
②当OD最小时，求△ACD的边长．39．如图，Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P是从A点出发的动点，沿若
A-B-C-A在三边上运动一周，速度为每秒2cm．设P点的运动时间为t秒．
（1）当t＝6.5秒时，求出CP的长．
（2）是否存在t的值，使得时间为t秒时 ABP的面积，与时间为（t+2）秒时 ACP的面
积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t＝ 时， ACP为等腰三角形（直接给出答案）．
40．如图，一次函数y＝﹣ x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直
线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求OC的长度；
（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．41．已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与
x轴正方向的夹角为150°．
（1）试判定 ABO的形状；
△
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：
AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边 BEG，延长GA交x轴
于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论． △
知识点二：利用等腰三角形性质求函数关系式
42．已知：如图，在 ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ °．（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．
43．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD
＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
知识点三：等腰三角形中动点问题
44．已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．
点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于
点M．
（1）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，
①求证：△ABQ≌△CAP；
②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理
由；若不变，求出它的度数；
（2）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．45．如图1，两个相同的等边三角形一边重合得到四边形ABCD， ．点P从点A
出发以 的速度在三角形的边上沿 方向到点D运动，点Q从点C出发以
速度沿CB到点B运动．点P的运动时间是 ，两个点同时出发，到终点停止运动．
（1）当 时， 的周长为______cm；
（2）当 为直角三角形时， ______s；
（3）如图2， 为等边三角形时， 与 是否全等？如果全等证明其结论，
并求出此时t的值，如果不全等请说明理由．
46．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC
上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接
DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，
沿△ABC的三边运动．
①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上；
②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；
如果不能，请说明理由．参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C
和∠B即可．
【详解】
解：∵AD是角平分线， ，
∴∠DCA= =30°，
∵AD=AC，
∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，
∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握
等腰三角形的性质是解答的关键．
2．B
【解析】
【分析】
先求解 再证明 结合三角形的内角和定理可
得： ，再利用平角的定义可得：，从而可得答案.
【详解】
解： ∠A＝62°，
BD＝BF，CF＝CE，
，
故选B
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，掌握“等边对等
角”是解题的关键.
3．B
【解析】
【分析】
据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然
后求出∠BAC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内
角互补表示出∠OBC，于是得到结论．【详解】
∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝64°，
在△ABC中，∠ABC＝ （180°﹣64°）＝58°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABO＋58°＝90°，
∴∠ABO＝32°．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形、三角形内角和、等腰三角形、平行线的知识；解题的关
键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
4．D
【解析】
【分析】
由题意易得△BAD≌△CAE，由全等三角形的性质即可判断①②均正确，根据②即可判断③
正确，由周角及两个直角可判断④正确．
【详解】
∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE
即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE
故①正确；
∵AB=AC，∠BAC=90゜
∴∠ABC=∠ACB=45゜
∴∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45゜
故②正确；
∵∠DCB+∠DBC=∠ACE+∠ACB+∠DBC=45゜+45゜=90゜
∴∠BDC=90゜
即BD⊥CE
故③正确；
∵∠BAE+∠DAC+∠BAC+∠CAE=360゜
∴∠BAE+∠DAC =360゜-(∠BAC+∠CAE)=360゜-(90゜+90゜)=180゜
故④正确；
所以这四个全正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明
△BAD≌△CAE．
5．C
【解析】【分析】
由等腰直角三角形的性质及∠EPF=90º，可证明△APE≌△CPF，由全等三角形的性质可得
①②④正确；若EF＝AP，则可得EF为△ABC的中位线，这是不一定的，故③错误．
【详解】
∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角
∴∠APE＝∠CPF
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC中点
∴AP＝CP
∴∠PAF＝∠FCP
又由题意知∠EAP＝∠PAF
∴∠EAP＝∠FCP
在△APE与△CPF中
∴△APE≌△CPF(ASA)
∴AE＝CF，PE＝PF，S AEP＝S CFP
△ △
由PE=PF，则△EPF是等腰直角三角形
由S AEP＝S CFP，则S AEPF＝S△AEP+S△APF=S△CFP+S△APF=S APC＝ S ABC
四边形
△ △ △ △
故①②④正确
∵AP＝ BC若EF＝AP＝ BC，则EF是△ABC的中位线，这不能保证结论始终正确
故③错误
故选C
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定、性质的综合运用，
关键是证明三角形全等，即证△APE≌△CPF．
6．A
【解析】
【分析】
①连接BO，根据等腰三角形的性质可知AD垂直平分BC，从而得出BO=CO，又OP=OC,
得到BO=OP，再根据等腰三角形的性质可得出结果；
②证明∠POC=60°，结合OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③在AC上截取AE=PA，连接PE，先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，
AC=AE+CE=AO+AP；
④根据∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是
∠ABD的角平分线，可作判断．
【详解】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确；
②∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中， ，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，故③正确；
④由①中可得，∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故④不正确；
故①②③正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的
判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得
到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出所有符合实际条
件的图形，分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
8．C
【解析】
【分析】
分三种情况：当AB=AC时，当BA=BC时，当AC=AB时，根据等腰三角形两边相等的性
质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC时，点C与点O重合；
当BA=BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有两个交点；
当AC=AB时，作线段AB的垂直平分线，与x轴有一个交点，
共有4个点C，
故选：C．．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角
形的性质并利用其作图是解题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的
面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对
称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ABC= BC•AD= ×4×AD=12，
△解得：AD=6（cm），
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+2=8（cm）．
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此
题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
结合题意，根据等腰三角形三线合一性质，得 、AD⊥BC，根据直角三角形
斜边上中线的性质，得AD＝BD不正确，从而完成求解．
【详解】
∵AB＝AC，D是BC的中点
∴ ，
∴AD平分∠BAC，即①正确；
又∵AB＝AC，D是BC的中点
∴AD⊥BC，即②正确；
当且仅当 时，AD＝BD
∴③不正确；
∵AD⊥BC∴
∵
∴ ，即④不正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形
斜边上中线、等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解．
11．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质推出∠BAD=∠CAD，证明 ，得到∠G=∠GEA，
推出AG=AE，过点A作AH⊥GE于E，求出EH即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ ，
∴∠G=∠CAD，∠GEA=∠BAD，
∴∠G=∠GEA，
∴AG=AE，
过点A作AH⊥GE于E，则AD=FH，GH=EH= EG＝1.5，
∴AD=EH+EF=1.5+2=3.5，
故选：B．【点拨】此题考查等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，熟记等腰三角形三线合一
的性质是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明
△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积=S CMF+S CEM= S BCM求出答案．
△ △ △
【详解】
解：连接MC，
∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，
∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，
∴∠EMF-∠CME=∠BCM-∠CME，即∠CMF=∠BME，
∴△CMF≌△BME，
∴S CMF=S BME，
△ △∴四边形CEMF的面积=S CMF+S CEM=S BME+ S CEM= S BCM= S ABC= ，
△ △ △ △ △ △
故选：C．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的
判定定理是解题的关键．
13．B
【解析】
【分析】
从图象可知， ，点M运动到点 B位置时， ΔAMD的面积达到最大值
y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的
长．
【详解】
解：根据函数图象可知，点M的运动路程 ，点 M运动到点B的位置时，
ΔAMD的面积y达到最大值3，即ΔABD的面积为3．
∵∴
∴ ．
∴ ，即： ，
，即： ．
∵ ，
∴ ．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等
知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的
恒等变形是解题的关键．
14．A
【解析】
【分析】
由点 是 的中点，可得出点D的坐标，当 ，由等腰三角形的性质即可得出点
P的坐标
【详解】
解：过点P作PM⊥OD于点M，∵长方形 的顶点 的坐标分别为 ，点 是 的中点，
∴点D（5,0）
∵ ，PM⊥OD，
∴OM＝DM
即点M（2.5,0）
∴点P（2.5,4），
故选：A
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形
“三线合一”的性质是解题的关键．
15．A
【解析】
【分析】
①正确，如图1中，连接AM，延长DE交BF于J，想办法证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可；
②正确，如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，在MD上取一点J，
使得ME=MJ，连接EJ，设AE=EM=MJ=x，则EJ=JD= x，构建方程即可解决问题；
③正确，如图3中，连接EC，CF，当EF=CE时，设AE=AF=m，利用勾股定理构建方程
即可解决问题．【详解】
解：①如下图，连接AM，延长DE交BF于J，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAE=∠BAF=90°，
由题意可得AE=AF，
∴△BAF≌△DAE(SAS)，
∴∠ABF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED=∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ=90°，
∴∠BJE=90°，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA=EM，DM=DA，
∴DE垂直平分线段AM，
∴BF∥AM，故①正确；
②如下图，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，
在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，则由题意可得∠M=90°，
∴∠MEJ=∠MJE=45°，
∴∠JED=∠JDE=22.5°，
∴EJ=JD，
设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD= x，
则有x+ x =4，
∴x=4 ﹣4，
∴AE=4 ﹣4，故②正确；
③如下图，连接CF，当EF=CE时，设AE=AF=m，
则在△BCE中，有2m²=4²+(4-m)2，
∴m=4 ﹣4或-4 ﹣4 (舍弃)，
∴AE=4 ﹣4，故③正确；
故选A．
【点拨】本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考选择题中的压轴题．
16．B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质知： ,根据 DGM和
△
DMF均是等腰三角形，DG=1用勾股定理求算出相应的边，再算周长．
△
【详解】
解：∵ ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得
到矩形△DEFG
∴
又∵△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG=1
∴
又∵四边形DEFG是矩形∴
∴
∴△ABC的周长为：
故答案选：B．
【点拨】本题考查折叠性质、勾股定理．利用折叠的基本性质转化相关的线段是解题关键．
17．48°##48度
【解析】
【分析】
先求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用直角三角形的性质得出∠BDE的度数，根据由翻折
的性质可得： ，最后利用三角形的内角和定理得出结论．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠A＝56°
∴ ，
∵DE⊥BC，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-56°-76°=48°，
故答案为：48°．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质及三角形的内
角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质．
18．6
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和 角所对直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴ ，
∵AD⊥AC，
∴ ，
∴ ， ，
∵AD＝2，
∴ ，
由题可知 ，
∴ ，
∴ ；
故答案是6．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
19．①②③④
【解析】
【分析】连接 ，证明 可得 ，结合已知条件即可判断①正确，
证明 是等边三角形即可判断③正确，根据 即可判
断②正确，证明 ，进而可得 即可判断④正确．
【详解】
如图，连接 ，
AB=AC， AD⊥BC，∠BAC=120°，
,
垂直平分 ，
点M是线段AD上一点，
在 与 中故①正确
， ，
如图，设 交于点 ，
，点N是BA延长线上一点，
， ，
，
是等边三角形故②正确；
是等边三角形
故③正确；
在 上截取 ，如图，
是等边三角形
，
又
即
又
即
故④正确；
故正确的有①②③④故答案为：①②③④
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的性质与
判定，掌握以上知识是解题的关键．
20．9
【解析】
【分析】
先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后
根据点C（0，3），S CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出
△
CP=PH= CH=6，即可求得CP=3+6=9．
【详解】
解：如图，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN=180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN=180°，
∴∠ACQ+∠MCN=360°-180°=180°，
∴∠CNH=∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN=∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH=AQ，HN=QC，
∵QC=MC，
∴HN=CM，
∵点C（0，3），S CQA=18，
△
∴ ×AQ×CO=18，即 ×AQ×3=18，
∴AQ=12，
∴CH=12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH=∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP=PH= CH=6，
又∵CO=3，
∴OP=3+6=9，
故答案为：9．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角
形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对
应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三
角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
21．①③④
【解析】
【分析】
①先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据等腰三角形的性质即可得；
②先根据三角形全等的性质可得 ，从而可得 ，然后假设
，根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，由此可得假设不成立；
③由②已证 ，根据角平分线的定义即可得；④先根据三角形的外角性质可
得 ，再根据角的和差可得 ，由此即可得．
【详解】
在 和 中， ，
，，
，则结论①正确；
，
是 的平分线，则结论③正确；
由三角形的外角性质得： ，
又 ，
，则结论④正确；
假设 ，
在 和 中， ，
，
，即AF是 的角平分线，
AF不一定是 的角平分线，
假设不一定成立，则结论②错误；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性
质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
22．
【解析】
【分析】
根据对顶角的性质得 ，根据等边对等角和平行四边形的性质得到，，因此 内角和为 ，根据三角形内角和定理
即可求解．
【详解】
∵
∴ ， ，
又∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∵四边形ABCD为
∴
∴
∵ ，且
∴
∴ 的内角和为 ，即
∴
∴
故答案为 ．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和
定理，本题的关键是应用等量代换判断出 ．23．4
【解析】
【分析】
作出平面直角坐标系，然后分OP=AP、OA=OP、OA=AP三种情况确定出点P的个数即可．
【详解】
当OP=AP时有1个点，
当OA=OP时，有2个点，
当OA=AP时，有1个点，
所以，符合条件的点的个数共有1+2+1=4．
故答案为4
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更形
象直观，难点在于分情况讨论．
24．3.
【解析】
【分析】
首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可
求得答案．
【详解】如图，
则符合要求的有：C ，C ，C 共3个点；
1 2 3
故答案为3．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类讨论的数学思想．
25．
【解析】
【分析】
如图，过 作 于 证明 轴，则 轴， 再利用等腰三
角形的性质求解 利用勾股定理求解 从而可得答案.
【详解】
解：如图，过 作 于轴，则 轴，
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，掌握“坐标与
线段长度的关系”是解本题的关键.
26．
【解析】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于P，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD
为对称，得到BP=CP，根据垂线段最短得出CP+EE=BP+EP=BE≥BM，根据数据线的面积
公式即可得到结论．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于P，
∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP=CP，
根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE≥BM，
∵AC=BC=5，
∵S = BC•AD= AC•BM=12，
ABC
△
∴BM=AD= ，
即EP+CP的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等腰三角形和轴对称的
性质是本题的关键．
27．①②③
【解析】
【分析】连接 ，先证 ，利用全等三角形的性质可得出 ，进而可得出
，结论①正确；由三角形的内角和定理、结合 ，
可得 ，结论②正确；由 可得出
，结合图形可得出 ，结论③
正确．
【详解】
解：如图，连接 ，
为等腰直角三角形，点 为 的中点，
， ， ．
， ，
．
在 和 中， ，
，
，
，则结论①正确；
， ，
，
，则结论②正确；，
，
，则结论③正确；
综上，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形等知识点，熟练掌握
三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
28．
【解析】
【分析】
过点B作BF⊥AC与点F，由等腰三角形的三线合一可以得到AF=CF，利用角角边判定
，由全等三角形性质得到 ，从而求得AC，利用面积公式求
解即可．
【详解】
解：过点B作BF⊥AC与点F，如下图：
∵AB=BC∴△ABC是等腰三角形
又∵BF⊥AC
∴F为AC的中点
∴AF=FC
∵AD⊥BC，AC⊥CD
∴ ，
∴ ,
∴
在 和 中：
∴
∴
又∵AF=FC，AC=AF+FC
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形判定以及性质，用数形结合思想解题是本题的关键所在．
29．2
【解析】
【分析】
过点 作 于 ，设 经过 点时，与 的交点为 ，根据函数图像，找到经
过 点和经过 点的函数值分别求得 ，由 与 轴的夹角为45°，根据勾股定理
求得 ，根据等腰三角的性质求得 ，进而求得三角形的面积．
【详解】
如图①，过点 作 于
由图②可知，当直线 平移经过点 时， ；
随着 平移， 的值增大；
如图，当 经过 点时，与 的交点为 ，如图
此时 ，则 ，， 与 轴的夹角为45°，
为等腰直角三角形，
即
是等腰三角形
，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，从函数图像上
获取信息，及掌握 与 轴的夹角为45°是解题的关键．
30．
【解析】
【分析】
过点 作 D⊥y轴于D，根据等边三角形的三线合一的性质求出OD=1，利用勾股定理求
出 D即可得到点 的坐标．
【详解】解：由旋转可得△ O≌△ABO，
过点 作 D⊥y轴于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴OD=D = =1，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，直角坐
标系中点的坐标的表示，正确掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
31．①
【解析】
【分析】
根据题意先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等
腰三角形的性质即可得出 ，进而再判断②③即可．
【详解】
解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①正确；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②错误；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③错误.
故答案为：①．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和180°以及翻折变换及其应用，解题的
关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析判断．
32． 或 ## 或
【解析】
【分析】
分两种情形①CA'=CB，②A'C=A'B，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：在菱形ABCD中，连接DB交AC于点O，
则AC=2AO
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AB=2，
∴
∴∴AC= ，
①当CA'=BC=2时，AA'=AC-CA'= ，
∵将 AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，
△
∴AP= AA'= ．
②当A'C=A'B时，
∵∠BAC=∠ACB=30°，
∴∠A'CB=∠A'BC=30°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABA'=90°，
∵
∴ ，即
∴
∴
∴AA'= ，
∴AP= AA'= ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会分类讨论，不能漏解．33． 或
【解析】
【分析】
设 ，则 ，由折叠的性质得： ，由矩形的性质得出
， ， ，分两种情况： 当 时，由勾股定理
得： ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 当
时，作 于G，则 ，在 中，由勾股
定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：设 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
四边形ABCD是矩形，
， ， ，
分两种情况：
当 时，
由勾股定理得： ，
在 再，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；当 时，作 于G，如图所示：
则 ，
在 再，由勾股定理得： ，
解得： ，即 ；
综上所述，当 是以 为腰的等腰三角形时，DE的长为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；
熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
34． 或
【解析】
【分析】
由于只知道 为腰的等腰三角形，所以要讨论另外两条边分别为腰的情况，可设已知腰
为 ,再根据折叠的性质对应边相等，用 的代数式表示出其它边，再构造出一个关于 的
直角三角形，运用勾股定理即可求出 和 的长度．
【详解】过点 作 于点 设
当 时，如图1，
在 中，由勾股定理，得 ，
解得， (舍去)
当 时，如图2， .
在 中，由勾股定理，得 .
解得综上所述， 的长为 或
故答案为 或
【点拨】本题考查了等腰三角形，直角三角形等知识点，解题的关键是根据折叠的性质，
构造出一个含有未知数的直角三角形，利用勾股定理列出等式求解．
35．（1）证明见解析；（2） ， ；（3） ；（4）
或 ，
【解析】
【分析】
（1）由 ， ，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
判断出 即可．
（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出 ，再结合 ，
可得 ， ；然后根据 ，求出
的度数；最后判断出线段 、 、 之间的数量关系即可．
（3）首先根据 ，判断出 ；然后根据 ，
，判断出当 时， ，而
，求出 ；最后确定出 、 两点坐标，即可判
断出直线 的解析式．
（4）根据题意，分两种情况：①当点 在 轴的负半轴上时；②当点 在 的延长线
上时；根据以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，求出 点坐标是多少即可．
【详解】
（1）证明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，∴ ≌ （HL）．
（2）在Rt△ADP和Rt△ABP中，
（HL），
则 ；
，
；
又 ，
，
，
，
；
，
，
，
，
．
（3）解： ，
，又 ， ， ，
，
又 ，
，
又 ，
，
；
∴在 中， ，
∴
解得
点坐标为 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
点坐标为： ， ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，直线 的解析式为 ．
（4）①如图1，当点 在 轴的负半轴上时，
，点 坐标为 ，
点 坐标为 ．
②如图2，当点 在 的延长线上时，
由（3），可得 ，
与 的交点 ，满足 ，
点的横坐标是0， 点横坐标为 ，的横坐标是 ，纵坐标是3，
点 坐标为 ， ．
综上，可得点 坐标为 或 ， ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三
角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过解含30度角的直角三
角形求出OG、PC的长度；（2）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．
36．（1）直线AB的解析式为 ； ；（2）当点 为 或 时，
为等腰三角形，理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据点A的坐标及 ，可确定点 ，设直线AB的解析式为：
，将A、B两点代入求解即可确定函数解析式；将两个一次函数解析式联
立解方程组即可确定点P的坐标；
（ ）设 且 ，由 ， 坐标可得线段 ， ， 的长度，然后根据等腰
2
三角形进行分类：①当 时，②当 时，③当 时，分别进行求解即
可得．
【详解】
解：（1） ，
∵
，
∴，
∵
，
∴
，
∴
设直线AB的解析式为： ，
将A、B两点代入可得：
，
解得： ，
直线AB的解析式为 ；
∴
将两个一次函数解析式联立可得：
，
解得： ，
；
∴
（2）设 且 ，由 ， 可得： ， ， ，
为等腰三角形，需分情况讨论：
①当 时，
可得 ，
解得： 或 （舍去）；
②当 时，
可得： ，
方程无解；
③当 时，
可得： ，
解得： ，
综上可得：当点 为 或 时， 为等腰三角形．
【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式、一次函数交点与方程组的关
系、等腰三角形的性质、坐标系中两点之间的距离等，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
37．（1）2，6；（2）见解析；（3）存在， ， ，
【解析】
【分析】
（1）由 化为 ，由平方的非负性得，求出 、 即可；
（2）过 作 交BD于H，证明 ，由全等的性质即可得出答案；
（3）设 ，分情况讨论： ， ，由等腰三角形的性质求出m即可．
【详解】
（1） 化为 ，
∴ ，
解得： ， ，
故答案为：2，6；
（2）如图2中，过 作 交BD于H，
∵ 轴， 轴，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P为AC中点；
（3）存在，设 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ， ，
当 时，过点C作 交于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平方的非负性，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的定义，添加
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
38．（1）B的坐标为 ；（2）①见解析， ；②△ACD的边长为
【解析】【详解】
（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．
②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点
D在x轴上．
【解答】
解：（1）∵ 有意义
∴ ，
∴n＝4，
∴等边△OAB的边长为4，
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，
∵∠BOC＝30°，
∴ ，
∴ ，点B的坐标为 ．
（2）①△ACD如图所画：
∵△AOB与△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，
∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．
②∵∠ABD＝120°，
∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，
∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
在Rt△AOD中，根据勾股定理 ，
∴等边△ACD的边长为 ．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
39．（1）5cm；（2）t＝5.5；（3）3或5.4或6或6.5．
【解析】
【分析】
（1）先根据速度×时间求出点P的路程，由勾股定理求出BC的长，进而求出CP的长；
（2）由等面积法求得AD的长，要是t秒时 ABP的面积与时间为（t+2）秒时 ACP的面
积相等可以判断出点P在BC 上，分别表示出 ABP、 ACP的面积，列出关于t的方程，
解除方程即可；
（3）分别讨论点P在AB、BC、上存在的所有情况即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵P点速度为每秒2cm．
∴运动时间为t＝6.5秒时，点P的路程为：2×6.5＝13cm．
∵Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，
∴ cm，
∴AB+BC＝8+10＝18cm，
∴CP＝18－13＝5cm．
（2）当t＝5.5秒时，使得时间为t秒时 ABP的面积，与时间为（t+2）秒时 ACP的面积
相等，理由如下：
过点A作AD⊥BC于点D，∴ ，
即6×8＝10AD，解得AD＝ cm，
使得时间为t秒时 ABP的面积，与时间为（t+2）秒时 ACP的面积相等，
∴点P在BC上
∴4≤t≤7，
∴ ，
即 ，
，
解得：t＝5.5秒
（3）①当点P在AB上时，如图，要使 ACP为等腰三角形，
∴AC＝AP，即2t＝6，解得：t＝3，
1
②当点P在BC上时，
当AC＝AP时，如图
AC＝AP＝6，AD＝4.8，
2
∴DP＝DC＝ ，
2
∴AB+BP＝AB+BC－PC＝18－3.6－3.6＝10.8cm，
2 2
∴2t＝10.8，
解得:t＝5.4，
当AC＝CP时，
此时AC＝CP ＝6cm，
3∴BP＝10－6＝4cm，
3
∴AB+BP＝8+4＝12cm，
3
∴2t＝12，
解得：t＝6，
当PC＝PA时，过点P 作PG⊥AC于点G，
4 4
∴AB//P4G，AG＝CG，
∴点P 为BC的中点，
4
此时AB+BP＝8+5＝13cm，
4
即2t＝13，
解得：t＝6.5，
综上所述：点t＝3或5.4或6或6.5时， ACP为等腰三角形，
故答案为：3或5.4或6或6.5．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线段的性质等知识，熟练
掌握等腰三角形的判定解题的关键．
40．（1） ， ；（2） ；（3） 或 或 或 ．
【解析】
【分析】（1）求出当 时 的值可得点 的坐标，求出当 时 的值可得点 的坐标；
（2）先根据点 的坐标可得 的长，再根据折叠的性质可得 ，设 ，
从而可得 的长，然后在 中，利用勾股定理即可得；
（3）设点 的坐标为 ，根据等腰三角形的定义分① ，② ，③
三种情况，再利用两点之间的距离公式建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）对应一次函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
故答案为： ， ；
（2） ，
，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 的长度为 ；
（3）设点 的坐标为 ，
则 ，，
，
根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，解得 ，
此时点 的坐标为 或 （与点 重合，不符题意，舍去）；
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，解得 或 ，
此时点 的坐标为 或 ；
③当 时， 是等腰三角形，
则 ，解得 ，
此时点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数、折叠的性质、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题
（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
41．（1） 为等边三角形，证明见详解；（2）证明见详解；（3） ，证明
见详解．
【解析】
【分析】（1）根据OB与x轴正半轴夹角为150°，可得 ，根据等边三角形的判定即可
证明 是等边三角形；
（2）在AC上截取 ，可得 ，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间
的数量关系可得 ，由全等三角形的判定及性质可得 为等边三角形，再由
各线段之间的数量关系即可证明；
（3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得 ，再利用全等三角形的
判定与性质及各角之间的等量关系可得 ，再由 角所对的直角边是斜边的一
半即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形；
（2）如图所示：在AC上截取 ，可得 ，即 ，
∵ 为等边三角形， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵D为CO的中点，∴BD平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由为：
∵ 与 都为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 为 的外角，且 ，
∴ ，
在 中， ，
则 ．
【点拨】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，外角和定理，
角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键．
42．（1）15，40；（2）y＝ x，见解析
【解析】
【分析】
（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD
即可列出方程，从而求解．
（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝
∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从
而求解．
【详解】
解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，
∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝m+n，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝2m，∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，
∴∠EDC的度数是15°；
若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．
故答案是：15；40；
（2）y与x之间的关系式为y＝ x，
证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B+x＝∠B+y+y，
∴2y＝x，
∴y＝ x．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，
灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．
43．（1）30°；（2）y＝ ；（3）12﹣4 或8
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角
形的性质求出∠A；
（2）作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的函数解析式；
（3）分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
△
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝ AB＝6，∴EF＝|6﹣x|，
在Rt AFD中，∠A＝30°，
△
∴DF＝ AF＝2 ，
在Rt DEF中， ，
△
即 ，
解得：y＝ ；
（3）在Rt AFD中，∠A＝30°，DF＝2 ，
△
∴AD＝BD＝4 ，
当BE＝BD＝4 时，AE＝12﹣4 ；
当BE＝DE时，12﹣x＝ ，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当 BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4 或8．
△
【点拨】本题考查了角的平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，灵
活运用分类思想是解题的关键．
44．（1）①见详解；② ；（2）【解析】
【分析】
（1）①根据等边三角形的性质，利用 证明 即可；②先判定 ，
根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ；
（2）先判定 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而得到
．
【详解】
解：（1）①证明：如图1， 是等边三角形，
， ，
又 点 、 运动速度相同，
，
在 与 中，
，
；
②点 、 在 、 边上运动的过程中， 不变．
理由： ，
，
是 的外角，
，，
；
（2）如图2，点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， ，
理由：同理可得， ，
，
是 的外角，
，
，
即若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动， 的度数为 ．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对
应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
45．（1）6；（2）1.5或4.5；（3）△ABQ≌△ACP，此时t=4s．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到△PQC是等边三角形，由此即可求解；
（2）分两种情况讨论，利用30度角的直角三角形的性质即可求解；（3）利用SAS证明△ABQ≌△ACP，即可求解．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△ADC都是边长为6cm的等边三角形，
∴AB=AC=BC=DC=6 cm，∠ACB=∠BAC=∠ACD=60°，
当t=2s时，AP=2 2=4，CQ=2 1=2，
∴CP=AC-AP=2= CQ，
∴△PQC是等边三角形，且边长为2cm，
∴△PQC的周长为6cm；
故答案为：6；
（2）当点P在AC上时，∠APB=90°，△ABP为直角三角形，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP= AB=3，
∴t= =1.5(s)；
当点P在CD上时，∠BAP=90°，△ABP为直角三角形，此时∠CAP=30°，
同理可得CP=3，
∴t= =4.5(s)；
∴当△ABP为直角三角形时，t=1.5或4.5s；
故答案为：1.5或4.5；
（3）△ABQ≌△ACP，
∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AQ=AP，∠BAC=∠QAP=60°，
∵∠BAQ+∠CAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAQ=∠CAP，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=CP，∴6-t=2t-6，
解得t=4．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
46．（1） 或2厘米/秒时；（2）① ，两个点在△ABC的边AC上首次相遇；②0或
【解析】
【分析】
（1）分当△BPD≌△CPQ时和当△BPD≌△CQP时，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，得到 ，由此求
解即可；
②分当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，
当P在AC上，Q在AB上时，当P在AC上，Q在BC上时，进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）当△BPD≌△CPQ时，
∴ ， ，
∴ ，
∴Q点的运动速度为 ；
当△BPD≌△CQP时，
∴ ， ，∴ ，
∴
∴ ，
∴Q点的运动速度为 ；
综上所述，当点Q的运动速度为 或2厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇；
②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时，
∴AQ=AP，
∴ ，
解得 ；
如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP，
综上所述，当t=0或 ，使得△APQ是以PQ为底的等腰三角形．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键
在于能够利用分类讨论的思想求解．
