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专题 2-3 零点与复合嵌套函数
目录
题型01 零点基础：二分法..................................................................................................................................................1
题型02 根的分布..................................................................................................................................................................2
题型03 根的分布：指数函数二次型..................................................................................................................................3
题型04 零点：切线法..........................................................................................................................................................3
题型05 抽象函数型零点......................................................................................................................................................4
题型06 分段含参讨论型......................................................................................................................................................5
题型07 参数分界型讨论......................................................................................................................................................5
题型08 分离参数型水平线法求零点..................................................................................................................................6
题型09 对数绝对值水平线法..............................................................................................................................................7
题型10 指数函数“一点一线”性质型..............................................................................................................................8
题型11 零点：中心对称性质型........................................................................................................................................10
题型12 零点：轴对称性质型............................................................................................................................................10
题型13 嵌套型零点：内外自复合型................................................................................................................................11
题型14 嵌套型零点：内外双函数复合型........................................................................................................................12
题型15 嵌套型零点：二次型因式分解............................................................................................................................13
题型16嵌套型零点：二次型根的分布.............................................................................................................................14
题型17嵌套型零点：放大型函数.....................................................................................................................................14
高考练场..............................................................................................................................................................................15
题型 01 零点基础：二分法
【解题攻略】
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下：
①确定零点 的初始区间 ，验证 ．
②求区间 的中点c．
③计算 ，并进一步确定零点所在的区间：
a．若 （此时 ），则c就是函数的零点．
b．若 （此时 ），则令b ．
c．若 （此时 ，则令a ．
④判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．
【典例1-1】（2022·高三课时练习）已知函数 满足：对任意 ，都有 ，且
.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为 ，又
，则函数 的零点为（ ）
A． B． C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二
分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数 的一个零点 ，用二分法求精确
度为0.01的 的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1-2】（2021·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数 的零点与 的零点之差
的绝对值不超过 ，则 的解析式可能是
A． B． C． D．
【变式1-3】（2020秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知图像连续不断的函数
在区间 上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，
那么将区间 等分的次数至少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
题型 02 根的分布
【解题攻略】
根的分布
1.基础分布：0分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
2．区间分布与K分布
特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
【典例1-1】（2023上·甘肃武威·高三统考开学考试）关于 的一元二次方程
有两个不相等的正实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【典例1-2】（2023·高三课时练习）关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是
（ ）
A． B． C． 或 D．【变式1-1】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知一元二次方程 的两根都在 内，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022上·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于 的方程 在区
间 内有实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）一元二次方程
有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型 03 根的分布：指数函数二次型
【解题攻略】
指数型根的分布
1. 换元，令 ，有指数函数性质知，t的最大范围为正。
2. 注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围
3. 根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。
4. 特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。
【典例1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于 的方程
恰有两个根为 、 ，且 、 分别满足 和 ，
则
【典例1-2】．（2021·高三课时练习）设a为实数，若关于x的方程 有实数解，则a的取值
范围是 .
【变式1-1】（2021·山西临汾·统考二模）已知函数 ．若存在 ，使得
，则m的取值范围是 ．
【变式1-2】（2021上·四川遂宁·高三阶段）已知方程 有两个不相等实根，
则 的取值范围为 ．
【变式1-3】（2022下·浙江舟山·高三舟山中学校考开学考试）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区
间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是 .
题型 04 零点：切线法
【解题攻略】
切线法求零点或者零点个数：
1、适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。
2、数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”
3、特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。
【典例1-1】（2020上·湖北武汉·高三校联考）已知函数 有三个零点 ，则
（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【典例1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
在 上有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶
函数，当 时， ，若函数 恰有一个零点，则实数 的取值集合是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数 ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2020·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数
，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是 ．
题型 05 抽象函数型零点
【解题攻略】
抽象型函数判断函数图像
1. 定义域判断。
2. 函数奇偶性判断。3. 函数简单性判断。
4. 函数值正负判断
5. 利用极限，判断无穷远处的值与“比值”
【典例1-1】（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高三上学期11月冬季联考数学试题）已知定义域
为 的偶函数 的图象是连续不断的曲线，且 在 上单调递增，则
在区间 上的零点个数为（ ）
A．100 B．102 C．200 D．202
【典例1-2】（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知函数 是定义在 上的奇函数，对于任意
，必有 ，若函数 只有一个零点，则函数
有（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为4 D．最大值为4
【变式1-1】已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）定义在R上的单调函数 满足：
，若 在 上有零点，则a的取值范围是
题型 06 分段含参讨论型
【典例1-1】（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学（文科）试
题）已知函数 有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）设 ，e是自然对数的底数，函数 有
零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为 ．
【变式1-1】已知函数 ，若函数 只有两个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知函数 若函数 有三个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知函数 ，则“ ”是“ 恰有2个零点”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型 07 参数分界型讨论
【解题攻略】
参数在分段函数分界处，需要分类讨论。分类讨论讨论点，首先是两段函数的交点处，齐次
是每段函数的各自“特色”处，如二次函数如果二次项有参，则“开口”即位讨论点之
一，要“多画图”，每一种情况，画处各自“小图”做对比
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数 ，当 时， 的零点个数为
；若 恰有4个零点，则 的取值范围是 .
【典例1-2】.（2021秋·山东济南·高三济南外国语学校校考期中）已知函数 ,如果函
数 恰有两个零点，那么实数 的取值范围为 ．
【变式1-1】（2022秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设 ，函数
与函数 在区间 内恰有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知 ，函数
恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
B．C． D．
【变式1-3】（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）设 ，函数
，若 在区间 内恰有9个零点，则a的取值范围是 ．
题型 08 分离参数型水平线法求零点
【解题攻略】
分离参数水平线法求零点
1.分离参数。2.构造函数于水平线。
3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”
【典例1-1】（2021上·山东潍坊·高三统考）已知 ，符号 表示不超过 的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得方程
有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数 的取值范围是 ．
【变式1-1】（2022上·广东汕头·高三校考）已知函数 ， 令 ，则下
列说法正确的（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．当 时， 有3个零点
C．当 时， 的所有零点之和为
D．当 时， 有1个零点
【变式1-2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数 ，若
恰有3个零点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021上·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数 有三个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型 09 对数绝对值水平线法
【解题攻略】
对数绝对值
对于 ， 若有两个零点，则满足1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【典例1-1】．（2021上·江苏连云港·高三统考）已知函数 ，若关于 的方程
有4个不同的实根 、 、 、 ，且 ，则
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020上·河南信阳·高三统考）已知函数 ，若方程 有四个不同的
解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2019·湖南·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当
时， ，若函数 有六个零点，分别记为 ，
则 的取值范围是.
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数 ，若
有四个解 ，则 的取值范围是 ．
【变式1-3】．（2020上·河南郑州·高三校联考中）已知函数 ，若方程
有4个不同的实根 ， ， ， 且 ，则题型 10 指数函数“一点一线”性质型
【解题攻略】
指数函数，无论平移或者翻折，始终要注意函数的核心性质“一点一线”是否变化。要把
“一点一线”这个核心性质提升到底数大于1或者小于1的分类讨论相同地位
图象
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性质
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三昆明八中校考）已知 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
函数 有四个不同的零点 ， ， ， 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·四川成都·高三四川省成都列五中学校考）若关于x的方程 有两个不等的
实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数 ，
若关于x的方程 有四个不同的根 （ ），则 的最大值是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023下·四川达州·高三校考阶段练习）已知函数 若函数
有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
题型 11 零点：中心对称性质型
【解题攻略】
函数中心对称：
（1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 .
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的所有零点之和
等于 .
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，当 时，
，则关于 的函数 ( )的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022上·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，若
，则关于 的方程 的所有根之和为
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021下·江西宜春·高三阶段性）已知函数 是定义在 上的奇函数，若
，则关于 的方程 的所有根之和为
A． B． C． D．【变式1-3】．（2022上·吉林松原·高三统考）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=
，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为
A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a
题型 12 零点：轴对称性质型
【解题攻略】
轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（2）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
（3）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为
(4)f(a－x)＝f(b＋x) f(x)的图象关于直线x＝对称；
【典例1-1】（202⇔0·广东中山·校联考模拟预测）定义域为 的函数 ，若关于 的方
程 恰有3个不同的实数解 ， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，当
时， ，则函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2018上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）已知函数 ，若
互不相等），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019上·天津南开·高三天津二十五中统考）已知三个函数 ， ，
的零点依次为 、 、 ，则
A． B． C． D．
【变式1-3】（2018上·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，满足
，当 时， ，则函数 在区间 上所有零点之
和为（ ）
A． B． C． D．题型 13 嵌套型零点：内外自复合型
【解题攻略】
对于嵌套型复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；
（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、 、 ，则
函数 的零点个数为 .
【典例1-1】（2015下·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数 ，则下列关于函数
的零点个数的判断正确的是
A．当 时，有3个零点；当 时，有4个零点
B．当 时，有4个零点；当 时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
【典例1-2】（2022上·河北石家庄·高三统考）已知函数 若函数
的零点个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2021上·天津·高三天津实验中学校考期中）已知 为偶函数，当 时，
，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021上·安徽滁州·高三安徽省定远中学校联考）已知函数 ，若
存在四个互不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2019上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）已知函数 ，则函数
的零点个数为
A． B． C． D．题型 14 嵌套型零点：内外双函数复合型
【典例1-1】（2021上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知函数 ， ，若
方程 有四个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考）已知函数 ， ，当
时，方程 根的个数为（ ）.
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021上·安徽池州·高三池州市第一中学校考）设函数 ， ，若方程
有四个实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2020上·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知函数 ，
，若函数 有6个零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，则方程
的实数根的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型 15 嵌套型零点：二次型因式分解
【典例1-1】（2020·山东德州·统考一模）已知函数 ，若关于 的方程
有且只有两个不同实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【典例1-2】（2020下·江苏无锡·高三校考）已知函数 ，若关于x的方程
有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022秋·天津河东·高三校考阶段练习）已知函数 ，若函数
恰有4个不同的零点，则a的取值范围为 ．
【变式1-2】（2023春·上海宝山·高三校考）已知 满足 ，当 ，
，若函数 在 上恰有八个不同的零点，则实数
的取值范围为 .
【变式1-3】（2019·浙江衢州·衢州二中校考二模）设 （其中 为自然对数的底数），
，若函数 恰有4个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
题型 16 嵌套型零点：二次型根的分布
【典例1-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数 ，若关于x的
方程 有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022下·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数 若关于x
的方程 有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
【变式1-1】（2020下·河南·高撒 统考）已知函数 ，若关于 的方程在区间 上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2020·河北邯郸·统考二模）已知 若函数
恰有5个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023上·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数
，关于 的方程 恰有 个不同实数解，则 的取值范
围为 ．
题型 17 嵌套型零点：放大型函数
【解题攻略】
（1）如果函数在 上满足 ，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．
（2）复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理．
满足 形式，一般情况下，b多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。
【典例1-1】（宁夏石嘴山市平罗中学2022届高三第四次模拟考试数学（理）试题）已知定义为R的奇函
数 满足： ，若方程 在 上恰有三个根，则实数k的取值范围
是（）
A． B．
C． D．
【典例1-2】.已知函数f(x)=¿，则下列说法正确的是（ ）
1
A．关于x的方程f(x)− =0(n∈N∗)有2n+4个不同的解
2n
( 1 1)
B．若函数y=f(x)−kx有4个零点，则实数k的取值范围为 ,
24 6
C．对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)−3≤0恒成立
D．当x∈[2n−1,2n ](n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1
【变式1-1】（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知函数，函数 满足以下三点条件：①定义域为 ；②对任意 ，有 ；
③当 时， 则函数 在区间 上零点的个数为__________个.
【变式1-2】（浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学试题）定义在R上的奇函数
满 足 ， 当 时 ， ， 且 时 ， 有 ， 则 函 数
在 上的零点个数为
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式1-3】已知 ，则函数 零点的个数为___________.
高考练场
1.（2021秋·吉林长春·高三校考阶段练习）若函数 的零点与函数 的零点之差的绝对
值不超过 ，则 可以是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021上·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）关于 的方程 有两个不相等的实数
根 且 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·内蒙古包头·高三北重三中校考）关于 的方程 有两个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是 .
4.（2023春·新疆乌鲁木齐·高三新疆师范大学附属中学校考开学考试）若 若
有两个零点，则实数 的取值范围为 .
5.（四川省自贡市2021-2022学年高三第一次诊断性考试理科数学试题）定义在 上的奇函数 ，满足
，当 时， ， ，则函数 在 的零点个数
为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6.（2020秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 有三个互不相同的零点 ，
， ，则a的取值范围是 ； 的取值范围是 .7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 恰有3个零点，则 的取值范围为
.
8.（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知函数 ，若关于x
的方程 有4个不同的解，记为 ， ， ， （ ），且 恒成立，
则 的取值范围是 ．
9.（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高三校考）设函数 ，若实数a，b，c满足 ，
且 ．则下列结论不能恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10.（2023上·安徽芜湖·高三统考）定义在 上的奇函数 ，当 时， ，
则函数 的所有零点之和为 ．
11.（2021下·河南·高三统考）已知函数 为偶函数，且满足 当 时，
则函数 的所有零点之和为
A． B． C． D．
12.（2019上·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）设函数 ．若方程
有且只有两个不同的实根，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
13.．（2022·高三课时练习）已知函数 ， ，若函数
恰有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14.（2022·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ， ，若函数有4个零点，则实数 的取值范围是 .
15.（2023·四川成都·校联考二模）已知函数 ,若关于 的方程
有且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16.（2022下·广西桂林·高三校考）已知函数 ，若关于 的方程
有5个不同的实数解，则实数 的取值范围是 .
17..（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x)=¿当x∈[−1,1]时，f (x)=f (−x)，当x∈R时，
f (x+4)=2f (x)，若关于x的方程f (x)=mx在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是
___________.
