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专题1.22 特殊平行四边形“将军饮马”专题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】菱形将军饮马问题
1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝ ，E为AB的中
点，点P为线段AC上的动点，则EP＋BP的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
2．如图，在 ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N
是直线AC上一动△点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
3．在边长为 的菱形 中， ，E是 上异于 两点的动点，F是
上的动点，满足 ，则 的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
4．如图，在菱形 中， ， 分别是边 ， 上的动点， 是对角线 上
的动点，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【知识点二】矩形将军饮马问题
5．如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F为 边上
的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、
MN， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
7．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形
EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足 ＝ S ABCD，则点
矩形
P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点三】正方形将军饮马问题
9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，
过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC与点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG，
②DE⊥FG，③∠BFG=∠ADE，④FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于
点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别
是AD和AE上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
12．如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BE＝CF．连接AE，BD交于点
G，连接CG，DF交于点M．若正方形的边长为1，则线段BM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【知识点一】菱形将军饮马问题
13．如图，菱形ABCD中，对角线 ， ，M，N分别是BC，CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则 的最小值是______．
14．已知菱形 中， ， ．点 、 、 分别为 、 、
上的动点，则 的最小值是________．
15．如图，在菱形 中， ， ，点 ， 在 上，且 ，连
接 ， ，则 的最小值为________．
16．如图，菱形 的对角线 ，点E为对角线 上的一动点，
则 的最小值为_________．
【知识点二】矩形将军饮马问题17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且
EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为_____________
18．如图，在矩形 中， ，点 是 上一点， ， 是 上
一动点， 、 分别是 ， 的中点，则 的最小值为______．
19．如图，在长方形 中，已知 ，点 是 边上一动点（点 不
与 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
_________．
20．动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，如图所示，折叠纸片，使
点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随
之移动，若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则△A'CQ面积的最大值为 _____．【知识点三】正方形将军饮马问题
21．如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个
动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为______．
22．如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 是 边上一
个动点，连接 ，将四边形 沿 折叠，得到四边形 ．
（1）若 ， ， 三点在同一条直线上，则 的大小为______°；
（2）若 ，则 ， 两点的连线段的最小值为______．
23．如图，正方形ABCD的边长为 cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都
以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点
B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为______cm．
24．如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC中
点，连接PE，并将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，连接EF，则EF的最小值是
_________．三、解答题
25． 提出问题
如图 ， ， 是直线 同侧的两个点，如何在 上找到一个点 ，使得这个点到点 ，
的距离的和最短？
分析问题
如图 ，若 ， 两点在直线 的异侧，则连接 ，与直线 交于一点，根据“两点
之间线段最短”，可知该点即为点 ，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点 或点
移到直线 的另一侧的点 处，且保证 （或 ）即可；
解决问题 ：
在图 中确定点 的位置 要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ；
如图 ，在菱形 中， ， ， 是 边的中点， 是对角
线 上的一个动点，求 的最小值．
26．如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时
针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．
(1)若∠ABC＝135°．
①求证：B、E、D三点共线；②求BG的长；
(2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．
27．小红在学习了图形的旋转后，用它来探究直角在正方形中的旋转问题．如图1，
有 和一个边长为a的正方形ABCD，点O是正方形的中心．
(1)如图2，当顶点P是正方形边上任意一点时， 的两边分别与正方形的边BC，
AD交于E，F两点，连接EF．若 绕P点旋转，在旋转过程中EF长的最小值为
______．
(2)如图3，当点P与正方形的中心O重合时， 的两边分别与正方形的边BC和
AB交于E，F两点，连接EF．若 绕O点旋转，在旋转过程中．
①求EF长的最小值；
②四边形EOFB的面积是否会发生变化，请说明理由．
28．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一
点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为 ，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？
若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
连接DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出
PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可．
解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD＝2 ，
∵AB＝4，
∴ ，
连接DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴BE=2∴ ，
∴
∴DM＝BD-BM＝ BO＝3 ，
∴DE＝ ，
故选C．
【点拨】此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据
题意确定P点位置从而确定PE+PB的最小值的情形．
2．B
【分析】
作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，得四边形
ACBC'是菱形，则PN=PN'，故而PM+PN=PM+PN'，当M、P、N'共线，PM+PN'最小，从
而解决问题．
解：作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，
则CA=C'A=CB=BC'，
∴四边形ACBC'是菱形，
∴PN=PN'，
∴PM+PN=PM+PN'，
∴当M、P、N'共线，且MN'⊥AC'时，PM+PN最小，
过点C'作C'H⊥BC于H，
∵∠ACB=120°，
∴∠C'BH=60°，
∴C'H= BC'=2 ，∴PM+PN的最小值为2 ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，菱形的判定与性
质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线将PM+PN的最小值转化为C'M的长是
解题的关键．
3．D
【分析】
连接BD，根据四边形ABCD为菱形， 可得AB=AD=BC=CD，由 ，可得
ABD为等边三角形，可证BD=AB=BC=DC， BCD为等边三角形，可得
△∠BDF=∠A=60°，由 ，DF+CF=2△a，可得AE=DF，可证 ABE≌ DBF
（SAS），可证 EBF为等边三角形，可得BE最短时， EBF面积最△小，当点△E为AD中
△ △
点时，BE最短，在Rt ABE中，根据勾股定理BE= ，根据等边三角形
△
面积公式球即可．
解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD，
∵
∴ ABD为等边三角形，
∴△BD=AB=BC=DC，
∴ BCD为等边三角形，
∴△∠BDF=∠A=60°，
∵ ，DF+CF=2a，
∴AE=DF，
在 ABE和 DBF中，
△ △
∴ ABE≌ DBF（SAS），
∴△EB=FB，△∠ABE=∠DBF，∵∠ABE+∠EBD=∠ABD=60°，
∴∠DBF+∠EBD=∠ABE+∠EBD=60°，
∴ EBF为等边三角形，
∴△BE最短时， EBF面积最小，
当点E为AD中△点时，BE最短，
∵ ABD为等边三角形，点E为AD中点，
△
∴BE⊥AD，AE= ，
在Rt ABE中，根据勾股定理BE= ，
△
S EBF = ．
最小
△
故选择D．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，掌
握菱形的性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
4．D
【分析】
先找出点E关于AC的对称点E’，过点E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确
定最短路线问题以及垂线段最短可知E’F为PE＋PF的最小值的最小值，过点C作CG⊥AD
于G，再根据平行线间的距离相等即可得解．
解：如图，点E关于AC的对称点E’，过点E’作E’F⊥BC于F，交AC于P，则PE＋
PF＝E’F为最小值的情况，过点C作CG⊥AD于G，
∵ ， ，
∴CG＝4÷ ＝2 ，
∵AD∥BC，
∴E’F＝CG＝2 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，作出图形，确定出最短
路线为菱形的对边的距离是解题的关键．
5．B
【分析】
过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝
AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG
有最小值，即可求解．
解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝ ，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝ ，
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的
运动轨迹是本题的关键．
6．B
【分析】
根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（ 定、 动）；②动点轨迹为
直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对
应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
解：如图所示，作 点关于直线 的对称点 ，连接 ，过 作 ，
，即当 三点共线， 时，
的最小值为 ，
在 中， ，连接 ，如上图所示，
，则 ，
在矩形ABCD中， ， ，则 ，
，故选：B．
【点拨】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步
骤逐步分析是解决问题的关键．
7．A
【分析】
由矩形的性质与线段的等量关系证明 ， ，则
， ，如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时
最小，即四边形 周长最小，作 于 ，则四边形 是矩形，
， ，则 ， ，在 中，由勾股
定理得 求出 的值，进而可求最小的周长．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小，即
四边形 周长最小，作 于 ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴四边形 的周长 ，
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．
解题的关键在于找出四边形 周长最小时点 、 的位置关系．
8．C
【分析】
首先由 ，得出动点 在与 平行且与 的距离是2的直线 上，作
关于直线 的对称点 ，连接 ，连接 ，则 的长就是所求的最短距离．然后在直角
三角形 中，由勾股定理求得 的值，即 的最小值．
解：设 中 边上的高是 ．
，
，
，
动点 在与 平行且与 的距离是2的直线 上，如图，作 关于直线 的对
称点 ，连接 ，连接 ，则 的长就是所求的最短距离．
在 中， ， ，
，
即 的最小值为 ．
故选：C．【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，
两点之间线段最短的性质．得出动点 所在的位置是解题的关键．
9．C
【分析】
连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．根据正方形的性质，全等三角形
的判定定理和性质确定BE=DE，根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，等量代换思
想即可判断①符合题意；根据矩形的性质，等边对等角，全等三角形的性质和等价代换思
想即可判断③符合题意；根据直角三角形两个锐角互余，等量代换思想和三角形内角和定
理即可判断②符合题意；根据垂线段最短确定当DE⊥AC时，FG取得最小值为DE，根据
正方形的性质和三角形面积公式即可判断④不符合题意．
解：如下图所示，连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，∠FBG=90°．
∵AE是△ABE和△ADE的公共边，
∴ ．
∴BE=DE．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴四边形FBGE是矩形．
∴BE=FG．
∴DE=FG．
故①符合题意．∵矩形FBGE的对角线相交于点H，
∴HF=HB．
∴∠ABE=∠BFG．
∵ ，
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠BFG=∠ADE．
故③符合题意．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAI=90°．
∴∠AID+∠ADE=90°．
∴∠AID+∠BFG=90°．
∴∠FJI=180°-（∠AID+∠BFG）=90°．
∴DE⊥FG．
故②符合题意．
∵DE=FG，
∴当DE取得最小值时，FG取得最小值．
∵点E是对角线AC上与A，C不重合的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE取得最小值，即FG取得最小值为DE．
∵正方形ABCD中，AB=4，
∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°．
∴ ， ．
∴ ．
∴FG的最小值为 ．
故④不符合题意．
故①②③，共3个符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形的判定定理和
性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理，垂线段最短，综合应
用这些知识点是解题关键．10．C
【分析】
延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到
AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任
意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴ ，即EF的最小值为 （故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等
腰直角三角形的性质，正确证明 ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
11．A △
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可
得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，
∴P′D′= ，
即DQ+PQ的最小值为 ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和
轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
12．D
【分析】
先证明 ABE≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CDF，证明
ABG≌△CB△G（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠BCG，取CD的中点O，连接
△
OB、OF，则OF＝CO＝ CD＝ ，由勾股定理求出OB的长，当O、M、B三点共线时，
BM的长度最小，则可求出答案．
解：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CB，∠EBA＝∠FCD，∠ABG＝∠CBG，
在 ABE和 DCF中，
△ △
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE＝∠CDF，
在 ABG和 CBG中，
△ △
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∴∠CDF＝∠BCG，
∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°，
∴∠CDF+∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°，
取CD的中点O，连接OB、OF，
则OF＝CO＝ CD＝ ，
在Rt BOC中，OB＝ ＝ ＝ ，
△
根据三角形的三边关系，OF+BM＞OB，
∴当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，
∴BM的最小值＝OB﹣OF＝ ＝ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形
的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13． ##4.8
【分析】
作点M关于直线BD的对称点 ，连接 ，P，连接 ， ，根据垂线段最短原理，
当 时， 的值最小，根据菱形的性质表示菱形的面积，然后计算求解即
可．
解：如图，作点M关于直线BD的对称点 ，连接 ，P，连接 ，
则 = ，根据垂线段最短原理，当 时， 的值最小，
∵菱形ABCD中，对角线 ， ，对角线的交点为O，
∴OA=3，OB=4，AO⊥OB，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称，垂线段最短原理，熟练掌握菱
形的性质，轴对称的性质，垂线段最短原理是解题的关键．
14．
【分析】
作出点M关于AC的对称点 ，过点 作 N⊥BC，利用PM=P ，根据
PM+PN=P +PN≥ N，结合垂线段最短，计算即可．
解：作出点M关于AC的对称点 ，过点 作 N⊥BC，
∴PM=P ，PM+PN=P +PN≥ N，
根据垂线段最短，此时 N最小，恰好是菱形的高，
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，∵菱形 中， ， ，
∴ AD∥BC，
∴ = ，
∴ N = ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形的性质，垂线段最短，熟
练掌握垂线段最短是解题的关键．
15．
【分析】
连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点
时，BM+DN的值最小，再证明 得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可．
解：连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8
∴
又
在Rt△AOB中，
∴∴DO=5
当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，
∵MN=1
∴
在Rt△DON中，
∴
在Rt△DON和Rt△BOM中，
∴
∴DN=BM
∴
∴ 的最小值为
故答案为
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运
用菱形的性质和勾股定理求出BN= 是解答本题的关键．
16．3
【分析】
过点 作 的垂线 ，垂足为 ，过点 作 ，根据已知条件求得 的长，
根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当 时， 最小，股定理求得 的长即可求解．
解：如图，过点 作 的垂线 ，垂足为 ，过点 作 ，
中，
，
如图，当 时， 最小，最小值为
的最小值为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的
最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键．
17．4【分析】
因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以
G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点 ，连接 ，交BC
于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为 的长；
根据勾股定理求得 ，即可求得 ，从而得出PA+PG的最小
值．
解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的
圆于G， 此时PA+PG的值最小，最小值为 的长；
∵AB=2，AD=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴PA+PG的最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉
及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作
点关于某直线的对称点．
18．
【分析】
根据题意可知，本题考查的是“两定一动”问题，求线段和最小，即“将军饮马”问
题，以此进行解题即可．解：如图所示，作EH⊥BC，交BC于H，作AB，CD的中点M、N，连接MN，作Q
点关于MN的对称点 ，
∵P为EF的中点，
∴P点的运动轨迹在线段MN上，
∴ 最小时，F与 点重合，
∵ ，EH⊥BC，
∴BH=AE=3，DC=EH=2，
∵Q为AE的中点，
∴QE= ，
∴在 中， ，
即 最小值为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是“将军饮马”问题，从几何问题中提取对应模型，并进行
解题是本题的关键．
19．4
【分析】
根据对称性得到AB＝AM＝6，在 中根据三角形三边关系可得 ，
所以当A，M，C三点共线时，CM最短，求解即可．
解：连接AM，AC，如图所示：∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝6，
在 中根据三角形三边关系可得： ，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝ ，
∴CM＝AC-AM=10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、三角形三边关系、矩形
性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定CM的取值范围．
20．24
【分析】
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，因为Q在AD上，所以△A'CQ的高是6，因
此△A'CQ面积取最大值时， 最大，根据折叠情况分析即可得到．
解： 长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．
①当Q与D重合时，如图，由折叠得：
由勾股定理，得，
②当 与B重合时，如图，
由折叠得：
，
，
∴CA′的最大值是是8，
∴当CA′取最大值8时，△A'CQ面积最大，
△A'CQ面积的最大值=
故答案为24．
【点拨】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
21．
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋
转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直
角三角形获得CG最小值．
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段AB上运动，点G的轨
迹也是一条线段，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EGH，
从而可知△EBH为等边三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBE=90°，
∴∠GHE=∠FBE=90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HG交DC于点N，
过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，∠PEC=30°，∠EPC=90°，
则CM=MP+CP=HE+ EC=2+ = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而
判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问
题中比较典型的类型．
22． 67.5
【分析】
（1）易得 ，利用翻折的性质得到 ；
（2）连接 ， ， ，易证 ，得到 ， ，
当 ， ， 在同一条直线上时，FQ最小，计算可得．
解：（1）如图1，易得 ，
∴ ，故答案为：67.5；
（2）如图2，连接 ， ， ，
易证 ，
∴ ， ，
当 ， ， 在同一条直线上时， 最小，最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握
翻折的性质是解题的关键．
23．
【分析】
连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用
两点之间线段最短解决问题即可．
解：连接BD，交EF于点O．取OB中点M，连接 MA，MG，
在正方形ABCD中，AB=CD， ，
，
，
，
，
在 中，在 中， ，
连接AC，则 于点O，
在 中， ，
，
AG≥AM-MG= ，
当A，M，G三点共线时，AG最小= cm，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最
短解决问题是解决本题的关键．
24． ##
【分析】
当EP⊥AC时，EF有最小值，过点P作PM⊥EF于点M，由直角三角形的性质求出PE
的长，由旋转的性质得出PE=PF，∠EPF=120°，求出PM的长，则可得出答案．
解：如图，当EP⊥AC时，EF有最小值，过点P作PM⊥EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵E为BC的中点，BC=1，
∴CE= ，
∴PE= CE= ，
∵将PE绕点P逆时针旋转120°得到PF，
∴PE=PF，∠EPF=120°，
∴∠PEF=30°，
∴PM= PE=
由勾股定理得EM= ，
∴EF=2EM= ，
∴EF的最小值是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，
熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．（1）见分析（2）
【分析】（1）作点A关于l的对称点A'，连接A'B交l于C；
（2）根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称，则PB＋PE的最小值即为DE的长，
再利用勾股定理求出DE的长即可．
解：（1）如图所示：
点C即为所求；
（2）连接DE，交AC于点P，作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点B、D关于AC对称，AB＝CD＝BC=4，AB CD，
∴PB=PD
∴PB＋PE的最小值PD+PE即为DE的长，
∵∠DCH＝∠B＝60°，
∴CH＝ CD＝2，DH＝ CH＝2 ，
∵点E为BC的中点，
∴CE＝2，
∴EH＝4，
在Rt△DEH中，由勾股定理得，DE＝ ，
∴PE＋PB的最小值为 ．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，轴对称−最短路线问题，含
30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．26．(1)①见分析；②BG＝4 (2)2 2
【分析】
（1）①由旋转的性质可得∠ACD＝90°＝∠BCE，AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，
∠ABC＝∠DEC＝135°，由等腰三角形的性质可得∠BEC＝45°＝∠CBE，可证
∠BEC+∠CED＝180°，可得结论；
②通过证明四边形ABDG是矩形，可得AD＝BG，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由垂线段最短可得当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三
点共线，由勾股定理可求DE的长，由正方形的性质可得BC＝PE＝2，即可求解．
(1)①证明：如图，连接AG，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，∠ACD＝90°＝∠BCE，
∴AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，
∴∠BEC＝45°＝∠CBE，
∴∠BEC+∠CED＝180°，
∴B、E、D三点共线．
②∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴AB＝DE＝DG，
∵∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠EDG＝180°，
∴AB∥DG，
∴四边形ABDG是平行四边形，
又∵∠BDG＝90°，
∴四边形ABDG是矩形，∴AD＝BG，
∵AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，
∴AD AD＝4 ，
∴BG＝4 ．
(2)如图，
∵点P在边AB上，
∴当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，
由旋转的性质可得：∠ABC＝∠CED＝∠BCE＝90°，
∴BC∥DE，
∵∠ABC+∠BPD＝180°，
∴DP∥BC，
∴点P，点E，点D三点共线，
∵AC＝2CE，
∴BC＝CE＝2，
又∵∠ABC＝∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴四边形BPEC是正方形，
∴BC＝PE＝2，
∵CD＝AC＝4，CE＝2，∠CED＝90°，
∴DE 2 ，
∴DP＝2 2，
∴线段PD的最小值为2 2．【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角
形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关
键．
27．(1)a；(2)① ；②不会变化，见分析
【分析】
（1）过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，根据正方形的性质的
∠A=∠B=∠AHE=90°，证得四边形AHEB是矩形，即可求出EH=AB=a，由此得到答案；
（2）①连接AC、BD，证明△OBF≌△OCE（ASA），得到OF=OE，由勾股定理得到
，当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小，此时OE=OF= BC= a，
由此求出EF；
②四边形EOFB的面积不会变化，根据△OBF≌△OCE（AAS），得到 ，
由此得到四边形EOFB的面积= ．
(1)解：过点E作EH⊥AB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠AHE=90°，
∴四边形AHEB是矩形，
∴EH=AB=a，
故答案为：a；
(2)①如图，连接AC、BD交于点O，∵∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOF=∠COE，
∵OB=OC，∠OBF=∠OCE=45°，
∴△OBF≌△OCE（ASA），
∴OF=OE，
∵∠EOF=90°，
∴ ，
∴当OE⊥BC时，OE与OF最小，即EF最小，
此时OE=OF= BC= a，
∴ ；
②四边形EOFB的面积不会变化，理由如下：
∵△OBF≌△OCE（AAS），
∴ ，
∴四边形EOFB的面积= ，
∴四边形EOFB的面积不会变化．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
28．（1）见分析；（2）存在，
【分析】
（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，
∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到 ，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可
以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即
可．
解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABE，
∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到 ，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴ ， ，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF
∴ 为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°
∴∠BAF=∠AFB＝15°，
∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形
的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．
