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专题1.22 直角三角形知识点分类专题训练（专项练习）
一、单选题
知识点一：直角三角形两锐角互余
1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·辽宁辽阳·中考真题）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上， ，
， ，则 的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
知识点二：直角三角形与勾股定理
3．（2021·河南周口·二模）在 的正方形方格中， 和 的位置和大小分别如图所示，
则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2021·吉林朝阳·二模）如图，在 中， ， ， ．按以
下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于 的长为半径作圆弧，两弧相交于点
M和点N；②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
知识点三：含30度的直角三角形
5．（2021·新疆·中考真题）如图，在Rt 中， ， ， ，
于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·广西贺州·中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，
其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝
2，则B′C的长为（ ）A．2 B．4 C．2 D．4
知识点三：直角三角形斜边上的中线
7．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在 中， ，点F为AC中点，
是 的中位线，若 ，则BF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
8．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，在 中， ，由图中的尺规作图痕迹得
到的射线 与 交于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的
周长为（ ）A． B． C． D．4
知识点四：直角三角形最值问题
9．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为
AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE
时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为
AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（
）
A．7 B．8 C．10 D．12
知识点五：直角三角形的折叠问题
11．（2021·湖北十堰·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折
叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）A．40° B．30° C．20° D．10°
12．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，
∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（
）
A．10° B．15° C．20° D．40°
知识点六：直角三角形动点问题
13．（2021·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）如图，在 ABC中，∠C＝90°，∠A＝
30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们
的速度分别为V ＝2cm/s，V ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点
P Q
P的运动时间为ts．当t为（ ）时， PBQ为直角三角形？
A．1 B． C． 或1 D．214．（2021·全国·九年级课时练习）如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，
AC=6cm．点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出
发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止
运动，则△APQ的最大面积是（ ）
A．0cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
知识点七：网格中的直角三角形
15．（2021·山东日照·八年级期末）如图，正方形网格中的 ，若小方格边长为 ，则
的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
16．（2021·陕西·西安爱知初级中学七年级阶段练习）已知每个网格中小正方形的边长都
是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部
分的面积是（ ）A． B．π﹣2 C．1+ D．1﹣
17．（2021·浙江萧山·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上
的一个动点，点C是y轴正半轴上的点， 于点C．已知 ， ．点B
到原点的最大距离为（ ）
A．22 B．18 C．14 D．10
18．（2021·江苏·镇江实验学校八年级期中）如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝
BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，
A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小
距离为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．6
二、填空题
知识点一：直角三角形两锐角互余
19．（2018·江苏·无锡市第一女子中学中考模拟）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
20．（2021·辽宁和平·二模）如图，在 中， 垂直平分AB，
垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别
交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相
交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则 的度数为__________度．
知识点二：直角三角形与勾股定理
21．（2021·四川内江·中考真题）已知，在 中， ， ， ，则
的面积为 __．
22．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过
点E作 的垂线交 于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，
则 _________．知识点三：含30度的直角三角形
23．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC
边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．
24．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在 中， ， ， 分别为 、
的中点， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则四边形 的面积
为______．
知识点三：直角三角形斜边上的中线
25．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，
是 边的中点， ，则 ________ ．26．（2014·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若
AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
知识点四：直角三角形最值问题
27．（2021·湖南·长沙市湘一芙蓉中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若
AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
28．（2022·河北莲池·九年级期末）如图，点O是正方形ABCD的称中心O，互相垂直的
射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF；已知 ．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为________________；
（2）线段EF的最小值是_______________．知识点五：直角三角形的折叠问题
29．（2021·江苏·无锡市太湖格致中学九年级阶段练习）如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，
AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满
足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________．
30．（2022·云南砚山·九年级期末）如图，将宽为 的纸条沿BC折叠， ，
则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）
知识点六：直角三角形动点问题
31．（2022·河南·郑州市第八中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC
的顶点A（3，0），C（0，9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对
折，恰好能使点A和点C重合．若x轴上有一点P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐
标为________．32．（2021·四川简阳·八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC
上一动点，连接EP，BP，则EP AP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．
（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
33．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 ，AC＝
2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的
位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___
知识点七：网格中的直角三角形34．（2020·全国·八年级单元测试）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格
图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出_____个格点直角三
角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．
35．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级阶段练习）如图所示，△ABC的顶点A，B，
C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___．
36．（2021·江苏·景山中学八年级阶段练习）若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y
轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆
时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．
三、解答题
知识点八：平面直角坐标系中的直角三角形
37．（2022·广东罗湖·八年级期末）如图1，直线 的解析式为 ， 点坐标为
， 点关于直线 的对称点 点在直线 上．（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，在 轴上是否存在点 ，使 与 的面积相等，若存在求出 点坐
标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，过点 的直线 ．当它与直线 夹角等于45°时，求出相应
的值．
38．（2021·广东南海·八年级期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+m交x轴
于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的
横坐标为t，当S＝ 时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以
PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．D
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，
同位角相等解答即可．
【详解】
解：∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，
∴∠4＝180°−43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基
础题，准确识图是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和与角度的计算即可求解.
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余.
3．B
【分析】
利用平移作图，构建一个三角形，利用勾股定理判断出是等腰直角三角形，利用等量代换的思想来解答．
【详解】
解：作如下图形：
在 的正方形方格中得，
，
四边形 为平行四边形，
，
,
同理利用 的正方形方格的性质得，
,
,
不妨设每个小正方形的边长为1；
，
,
为等腰直角三角形，
,
即 ，故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是：利用平移作
图，构建三角形，通过等量代换的思想求解．
4．D
【分析】
根据三角形的内角和得到∠C=180°-75°-60°=45°，根据线段垂直平分线的性质得到
BD=CD，求得∠BDC=90°，得到∠ADB=90°，利用含30度的直角三角形以及勾股定理即可
得到结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-75°-60°=45°，
由作图步骤得，直线MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，且∠ABD=30°，
∴AD=1，BD= ，
∴CD=BD ，
故选：D．
【点拨】本题考查作图-基本作图，含30度的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和，
线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．A
【分析】
首先根据“斜中半”定理求出 ，然后利用三角形的外角性质求出 ，从而在
中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】
∵E是Rt 中斜边AB的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∠ECD=30°
在 中， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解
题关键．
6．A
【分析】
先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理和角的和差
可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∴ ， ，
则在 中， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30
度角的直角三角形的性质是解题关键．
7．A
【分析】
由DE是 的中位线，可得AC=12，在 中，点F为AC中点，可得BF= 即可．
【详解】
解：∵DE是 的中位线，
∴AC=2DE=2×6=12，
∵在 中， ，点F为AC中点，
∴BF= ，
故选择A．
【点拨】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质
是解题关键．
8．C
【分析】
根据作图可知 平分 ， ，由三线合一，解 ，即可求得．
【详解】平分 , ,
,
点F为 的中点
的周长为:
故选C．
【点拨】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求
出 边是解题的关键．
9．B
【分析】
如图，取 的中点 ，连接 ， ．首先证明 ，求出 ， ，根据
，可得结论．
【详解】
解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出 ，
的长，属于中考常考题型．
10．C
【分析】
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小，最
小值 ，据此求解即可．
【详解】
解：如图，是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ， ， ，
，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最
小值 ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会
利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11．D
【分析】
根据轴对称的知识和三角形的外角性质计算即可得解；
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D＝∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB＝∠CA'D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角定理，准确计
算是解题的关键．
12．C
【分析】
由折叠的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则 ，然后结合
三角形的内角和，等腰三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴ ，
有折叠的性质，则
， ，
∴ ，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴ ，
∵ ，∴ ；
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的外
角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
13．C
【分析】
分 和 两种情况，分别根据含 角的直角三角形的性质建立方程，
解方程即可得．
【详解】
解： 在 中， ，
，
运动 后， ，
，
点 到达点 所需时间为 ，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当 时， 为直角三角形，在 中， ，
，即 ，
解得 ，符合题意；
（2）如图，当 时， 为直角三角形，
在 中， ，
，即 ，
解得 ，符合题意；
综上，当 为 或1时， 为直角三角形，
故选：C．
【点拨】本题考查了含 角的直角三角形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．C
【详解】
根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以
1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S =t2，
△APQ
∵0<t⩽4，
∴三角形APQ的最大面积是16.
故选C.
点睛：本题主要考查二次函数的应用，借助三角形的面积建立函数，利用函数探讨最值问
题.
15．A
【分析】
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其
形状．
【详解】
解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝ ，
AC＝ ，
AB＝ ，在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝32＋18＝50，AB2＝50，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点拨】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC
的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
16．B
【分析】
如图，标注顶点，连接AB，由图形的对称性可得阴影部分面积=S -S 从而可得答
扇形AOB △ABO，
案.
【详解】
解：标注顶点，连接AB，
由对称性可得：
阴影部分面积=S -S = ．
扇形AOB △ABO
故选：B．
【点拨】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”
是解本题的关键.17．B
【分析】
首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，
求得点B到原点的最大距离．
【详解】
解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝16，
∴OE＝CE AC＝8，
∵BC⊥AC，BC＝6，
∴BE 10，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．
故选：B
【点拨】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，
注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
18．B
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，根据等腰三角形的性质，可得
，再由勾股定理，可得CH=12，然后根据直角三角形的性质，可得
OH=5，得到当C、O、H三点共线时，OC最小，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，
∵AC＝BC＝13，AB＝10，
∴ ，即H为AB的中点，
在 中，
，
在 中， ，
∵ ，
∴当C、O、H三点共线时，OC最小，最小值为7．
故选：B
【点拨】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角
形和直角三角形的性质是解题的关键．19．135°135度
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由
∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【详解】
解：如图：
∵在△ABC和△DBE中 ，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
【点拨】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
20．56
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂
直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝ ∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，
故答案为：56．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等
知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
21．2或14#14或2
【分析】
过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4 ，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，
BC=4，得CD= =5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别
求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：过点 作 边的高 ，中， ， ，
，
在 中， ，
，
① 是钝角三角形时，
，
；
② 是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
22．
【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG， ，利用等腰三角形的性质，求出
，然后得到AB=CD= ，则 ，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的
长度，即可求出FE的长度．
【详解】
解：根据题意，在矩形 中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为 的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG， ；
∵CE⊥FG，
∴ ，
∴AB=CD= ，
∴ ，
在直角△BCF中，由勾股定理则
，
∴AD=3，
∴ ，在直角△AEF中，由勾股定理则
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定
理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到 ．
23．2＋2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据
含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝2，
由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝2 ，
∴DB＝DC＝2 ，∴AB＝AD＋DB＝2＋2 ，
故答案为：2＋2 ．
【点拨】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，
勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24．
【分析】
先根据 ， 分别为 、 的中点求得AB＝4，再根据 求得AC＝8，BC＝
，进而可求得BE＝ ，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD
的面积．
【详解】
解：∵ ， 分别为 、 的中点， ，
∴AB＝2DE＝4， ，
∵在 中， ，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC＝ ＝ ＝ ，
又∵点E为BC中点，
∴BE＝ BC＝ ，
∵ ， ，
∴四边形ABFD为平行四边形，∴四边形 的面积＝AB×BE＝4× ＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的
判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
25．6
【分析】
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解
即可得到答案．
【详解】
解： 是 边的中点， ，
矩形 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角
函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．26．8．
【分析】
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，
利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【详解】
∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
．
故答案是：8．
27．4.8
【分析】
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′
+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴
∴ 是直角三角形，且
∴
∴ ，
∵ ，
∴当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理逆定理的应用、垂线段最短等知识，
解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
28．1
【分析】
（1）连接OA、OD，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△OAE≌△ODF，利用全
等三角形的性质得出四边形EOFD的面积等于△AOD的面积即可求解；
（2）根据全等三角形的性质证得△EOF为等腰直角三角形，则EF= OE，当OE⊥AD时
OE最小，则EF最小，求解此时在OE即可解答．
【详解】
解：（1）连接OA、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠EAO=∠FDO=45°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，∵OE⊥OF，
∴∠DOF+∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△OAE和△ODF中，
，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴S =S ，
△OAE △ODF
∴S = S +S = S +S = S = S ，
四边形EOFD △ODE △ODF △ODE △OAE △AOD 正方形ABCD
∵AD=2，
∴S = ×4=1，
四边形EOFD
故答案为：1；
（2）∵△OAE≌△ODF，
∴OE=OF，
∴△EOF为等腰直角三角形，则EF= OE，
当OE⊥AD时OE最小，即EF最小，
∵OA=OD，∠AOD=90°，
∴OE= AD=1，
∴EF的最小值 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰直角
三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
29． ##
【分析】
如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边
关系即可解答．
【详解】
解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC
∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，
∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°，
∵AO=OD，
∴PO=OA=AD，
∴
∴OP= ，∵BD=CD=4，OD= ，
∴
∵PC≤OP+OC，
∴PC≤ ，
∴PC的最大值为 ．
故填： ．
【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在
于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长．
30．
【分析】
利用折叠的性质可得出△ABC是等腰三角形，有AC=AB；过点C作CG⊥AB于点G，则得
CG=2，且△CGA为等腰直角三角形，从而可求得AC的值，则可求得面积．
【详解】
如图，由折叠性质得：∠ECB=∠ACB
∵DE∥AB∴∠DCA=∠CAB=45°
∵∠DCA+∠ACB+∠ECB=180°
∴
∵∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形
过点C作CG⊥AB于点G，则CG=2，且∠ACG=∠CAB=45°
∴△CGA为等腰直角三角形
∴AG=CG=2
由勾股定理得：
∴
∴重叠部分△ABC的面积为
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC是等
腰三角形是本题的关键．31．（8，0）或（-2，0）-2，0）或（8，0）
【分析】
由矩形的性质可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得AE=CE，
由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），
∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，
∵将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．
∴AE=CE，
∵CE2=BC2+BE2，
∴CE2=9+（9-CE）2，
∴CE=5，
∴AE=5，
∵△AEP为等腰三角形，且∠EAP=90°，
∴AE=AP=5，
∴点E坐标（8，0）或（-2，0）
故答案为：（8，0）或（-2，0）
【点拨】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形
变化-对称，求出AE的长是本题的关键．
32．
【分析】
先证明 是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化 ，进而勾股定理求解即可
【详解】
解：过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
EP AP
当 三点共线时，点 和点 重合， 重合，如图，
EP AP的最小值为 的长，
∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，CD＝BC，
又∵
是等边三角形
E为线段CD的中点，
在 中
∴EP AP的最小值
如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，则
则
当 三点共线时， 取得最小值，即 取得最小值
即此时 重合，
是等边三角形，
在 中， ，
即 最小值为
的最小值为故答案为： ；
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化
是解题的关键．
33．3；
【分析】
分两种情况讨论：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形；②当DB′⊥AB′时，△AB′F为直
角三角形.
【详解】
解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：
根据题意，BE=B′E，BD=B′D= BC= ，∠B=∠EB′F，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，
∴AB= = =4，
∴ ，
∴∠B=∠EB′F =30°，
∵在Rt△BDF中，∠B=30°，∴DF= BD= ，
∴B′F=B′D-DF= - = ，
∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°，
∴EF= B′E，
∵B′F= = = EF，
即 = EF，
∴EF= ，则BE=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3.
②当DB′⊥AB′时，△AB′F为直角三角形，如下图：
连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，
根据题意，BE=B′E，BD=CD=B′D= BC= ，∠DBE=∠EB′F，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，∴AB= = =4，
∴ ，
∴∠DBE=∠EB′F =30°，
∵∠AB′F=90°，
∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°，
∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°，
∴B′N= AB′，
在Rt△AB′D和Rt△ACD中
，
∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（HL），
∴AB′=AC=2，
∴B′N=1，AN= ，
设AE=x，则BE= B′E=4-x，
∵在Rt△AEN中， ，
∴（ ）2+（4-x+1）2=x2
∴x=
综上，AE的长为3或 ，故答案为：3或 .
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的
关系和勾股定理．
34．4
【分析】
由题意根据勾股定理的逆定理判断直角三角形即可作图．
【详解】
解：如图所示：
线段AB的两个端点都在格点上，
以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，
△ABC的面积最大．
故答案为4．
【点拨】本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是不要漏
掉直角三角形．
35．
【分析】
根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的
面积公式计算即可．
【详解】解：△ABC的面积= ×BC×AE=2，
由勾股定理得，
则 ，
解得 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的
平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
36．8
【分析】
根据一次函数解析式可得： ， ，过点B作 轴，过点A作
，过点Q作 ，由旋转的性质可得 ， ，依据全等
三角形的判定定理及性质可得：ΔMAB≅ΔNBQ， ， ，即可确定点Q的
坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．
【详解】解：函数 得： ， ，过点B作 轴，过点A作 ，
过点Q作 ，连接OQ，如图所示：
将线段BA绕点B逆时针旋转 得到线段BQ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
在ΔMAB与ΔNBQ中，
，
∴ΔMAB≅ΔNBQ，
∴ ， ，
点Q的坐标为 ，∴
当 或 时， 取得最小值为8，
故答案为：8．
【点拨】题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三
角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．
37．（1）直线 的解析式为 ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】
（1）在 中，利用勾股定理确定 ，由对称设 ， ，
，再利用勾股定理即可确定点B的坐标，然后代入解析式即可；
（2）由（1）得，BC=OB=3，根据O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上，可得
ΔAOB≅ΔABC，即两个三角形的面积相同，使 的面积与 的面积相同，只需
要找到 的面积与 的面积相同的点即可，设点 ，两个三角形的高均为线
段OA长度，只需要底相同即可，根据底相同列出方程求解即可得；
（3）设若直线 、 与直线 夹角等于 ，由图可得 为等腰直角三角形，作
于 ， 于 ，可得 ， ，
利用全等三角形的判定及性质可得 ， ，直线 过 ，直线 的解析
式为： ，设 坐标为 ，则 ，由各线段间的数量关系
可得 点坐标为 ，将其代入直线AB的解析式，即可得出t的值，然后点E、F
坐标，代入解析式求解即可．
【详解】解：（1） ，
，即 ，
又 ，
，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
直线 的解析式为 .
在 中， ，
点 、点 关于直线 对称，
设 ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
将点B代入
直线 的解析式为 ；
（2）由（1）得，BC=OB=3，如图所示：∵O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上，
∴ΔAOB≅ΔABC，
∴S =S ，
ΔAOB ΔABC
使S =S ，
ΔABF ΔABC
则设点 ，
两个三角形的高均为线段OA长度，使底相同即：
，
解得： 或 （舍去），
∴ ；
（3）如图，设若直线 、 与直线 夹角等于 ，即 为等腰直角三角形，作 于 ， 于 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在ΔMEG与ΔNGF中，
，
∴ ，
， ，
直线 过 ，
即 ，解得： ，直线 的解析式为： ，
设 坐标为 ，则 ， ，
，
由线段间的关系可得：
点坐标为 ，
点在直线 上，
，
解得： ，
， ，
当直线 过 点时， ，解得： ；
当直线 过 点时， ，解得： ；
所以 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及勾股定理、全等三角形的判定和性质
等知识点，作出相应图象，根据图象之间的关系进行求解是本题解题的关键．
38．（1） ；（2）① ；②存在一点 或 ，使 是以MN
为直角边的等腰直角三角形．
【分析】（1）把 代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为 ，得到 ，
由勾股定理确定 ，求出 ，即求得 ，在RtΔAOC中，利用勾股定
理即可得出结果；
（2）①设 ，利用待定系数法直线AC的解析式为 ，由 ，
根据 代入数值即可求出t的值；
②当N点在 轴下方时，得到 ，设 ，过P点作直线
轴，作 ， ，根据全等三角形的判定定理可得： ，
得到 ， ，再证明 ，得到 ，
，求得 ，则 ，根据 ，得到 ，
列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点 与N关于 对称，
得到点N’的坐标．
【详解】
（1）把 代入 得： ，
一次函数解析式为 ，
令 ，得 ，
∴ ，
在 中， ， ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在RtΔAOC中，
；
（2）①设 ，
∴P在线段AB上，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，代入 ， 得：
，
∴ ，
∴ ，
又∵ 轴，则 ，
∴ ，，
又∵ ，
∴ 得 ．
②如图所示，当N点在 轴下方时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当 时， ， ，
设 ，
过P点作直线 轴，作 ， ，∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴M在直线AB上，
∴，
∴ ，
∴ ．
当N点在x轴上方时，如图所示：
点 与 关于 对称，
则 ，即 ，
综上：存在一点 或 ，使 是以MN为直角边的等腰直角三角形．
【点拨】题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形
的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的
性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键．
