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专题1.22 直角三角形知识点分类专题训练（专项练习）
一、单选题
知识点一：直角三角形两锐角互余
1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·辽宁辽阳·中考真题）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上， ，
， ，则 的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
知识点二：直角三角形与勾股定理
3．（2021·河南周口·二模）在 的正方形方格中， 和 的位置和大小分别如图所示，
则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2021·吉林朝阳·二模）如图，在 中， ， ， ．按以
下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于 的长为半径作圆弧，两弧相交于点
M和点N；②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
知识点三：含30度的直角三角形
5．（2021·新疆·中考真题）如图，在Rt 中， ， ， ，
于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·广西贺州·中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，
其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝
2，则B′C的长为（ ）A．2 B．4 C．2 D．4
知识点三：直角三角形斜边上的中线
7．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在 中， ，点F为AC中点，
是 的中位线，若 ，则BF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
8．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，在 中， ，由图中的尺规作图痕迹得
到的射线 与 交于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的
周长为（ ）A． B． C． D．4
知识点四：直角三角形最值问题
9．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为
AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE
时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为
AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（
）
A．7 B．8 C．10 D．12
知识点五：直角三角形的折叠问题
11．（2021·湖北十堰·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折
叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）A．40° B．30° C．20° D．10°
12．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，
∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（
）
A．10° B．15° C．20° D．40°
知识点六：直角三角形动点问题
13．（2021·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）如图，在 ABC中，∠C＝90°，∠A＝
30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们
的速度分别为V ＝2cm/s，V ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点
P Q
P的运动时间为ts．当t为（ ）时， PBQ为直角三角形？
A．1 B． C． 或1 D．214．（2021·全国·九年级课时练习）如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，
AC=6cm．点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出
发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止
运动，则△APQ的最大面积是（ ）
A．0cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
知识点七：网格中的直角三角形
15．（2021·山东日照·八年级期末）如图，正方形网格中的 ，若小方格边长为 ，则
的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
16．（2021·陕西·西安爱知初级中学七年级阶段练习）已知每个网格中小正方形的边长都
是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部
分的面积是（ ）A． B．π﹣2 C．1+ D．1﹣
17．（2021·浙江萧山·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上
的一个动点，点C是y轴正半轴上的点， 于点C．已知 ， ．点B
到原点的最大距离为（ ）
A．22 B．18 C．14 D．10
18．（2021·江苏·镇江实验学校八年级期中）如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝
BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，
A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小
距离为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．6
二、填空题
知识点一：直角三角形两锐角互余
19．（2018·江苏·无锡市第一女子中学中考模拟）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
20．（2021·辽宁和平·二模）如图，在 中， 垂直平分AB，
垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别
交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相
交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则 的度数为__________度．
知识点二：直角三角形与勾股定理
21．（2021·四川内江·中考真题）已知，在 中， ， ， ，则
的面积为 __．
22．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过
点E作 的垂线交 于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，
则 _________．知识点三：含30度的直角三角形
23．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC
边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．
24．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在 中， ， ， 分别为 、
的中点， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则四边形 的面积
为______．
知识点三：直角三角形斜边上的中线
25．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，
是 边的中点， ，则 ________ ．26．（2014·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若
AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．
知识点四：直角三角形最值问题
27．（2021·湖南·长沙市湘一芙蓉中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若
AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．
28．（2022·河北莲池·九年级期末）如图，点O是正方形ABCD的称中心O，互相垂直的
射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF；已知 ．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为________________；
（2）线段EF的最小值是_______________．知识点五：直角三角形的折叠问题
29．（2021·江苏·无锡市太湖格致中学九年级阶段练习）如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，
AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满
足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________．
30．（2022·云南砚山·九年级期末）如图，将宽为 的纸条沿BC折叠， ，
则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）
知识点六：直角三角形动点问题
31．（2022·河南·郑州市第八中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC
的顶点A（3，0），C（0，9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对
折，恰好能使点A和点C重合．若x轴上有一点P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐
标为________．32．（2021·四川简阳·八年级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC
上一动点，连接EP，BP，则EP AP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．
（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
33．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 ，AC＝
2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的
位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___
知识点七：网格中的直角三角形34．（2020·全国·八年级单元测试）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格
图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出_____个格点直角三
角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．
35．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级阶段练习）如图所示，△ABC的顶点A，B，
C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___．
36．（2021·江苏·景山中学八年级阶段练习）若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y
轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆
时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．
三、解答题
知识点八：平面直角坐标系中的直角三角形
37．（2022·广东罗湖·八年级期末）如图1，直线 的解析式为 ， 点坐标为
， 点关于直线 的对称点 点在直线 上．（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，在 轴上是否存在点 ，使 与 的面积相等，若存在求出 点坐
标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，过点 的直线 ．当它与直线 夹角等于45°时，求出相应
的值．
38．（2021·广东南海·八年级期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+m交x轴
于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的
横坐标为t，当S＝ 时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以
PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．D
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，
同位角相等解答即可．
【详解】
解：∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，
∴∠4＝180°−43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基
础题，准确识图是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和与角度的计算即可求解.
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余.
3．B
【分析】
利用平移作图，构建一个三角形，利用勾股定理判断出是等腰直角三角形，利用等量代换的思想来解答．
【详解】
解：作如下图形：
在 的正方形方格中得，
，
四边形 为平行四边形，
，
,
同理利用 的正方形方格的性质得，
,
,
不妨设每个小正方形的边长为1；
，
,
为等腰直角三角形，
,
即 ，故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是：利用平移作
图，构建三角形，通过等量代换的思想求解．
4．D
【分析】
根据三角形的内角和得到∠C=180°-75°-60°=45°，根据线段垂直平分线的性质得到
BD=CD，求得∠BDC=90°，得到∠ADB=90°，利用含30度的直角三角形以及勾股定理即可
得到结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-75°-60°=45°，
由作图步骤得，直线MN是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，且∠ABD=30°，
∴AD=1，BD= ，
∴CD=BD ，
故选：D．
【点拨】本题考查作图-基本作图，含30度的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和，
线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．A
【分析】
首先根据“斜中半”定理求出 ，然后利用三角形的外角性质求出 ，从而在
中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】
∵E是Rt 中斜边AB的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∠ECD=30°
在 中， ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解
题关键．
6．A
【分析】
先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理和角的和差
可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∴ ， ，
则在 中， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30
度角的直角三角形的性质是解题关键．
7．A
【分析】
由DE是 的中位线，可得AC=12，在 中，点F为AC中点，可得BF= 即可．
【详解】
解：∵DE是 的中位线，
∴AC=2DE=2×6=12，
∵在 中， ，点F为AC中点，
∴BF= ，
故选择A．
【点拨】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质
是解题关键．
8．C
【分析】
根据作图可知 平分 ， ，由三线合一，解 ，即可求得．
【详解】平分 , ,
,
点F为 的中点
的周长为:
故选C．
【点拨】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求
出 边是解题的关键．
9．B
【分析】
如图，取 的中点 ，连接 ， ．首先证明 ，求出 ， ，根据
，可得结论．
【详解】
解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出 ，
的长，属于中考常考题型．
10．C
【分析】
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小，最
小值 ，据此求解即可．
【详解】
解：如图，是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ， ， ，
，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最
小值 ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会
利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11．D
【分析】
根据轴对称的知识和三角形的外角性质计算即可得解；
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D＝∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB＝∠CA'D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角定理，准确计
算是解题的关键．
12．C
【分析】
由折叠的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则 ，然后结合
三角形的内角和，等腰三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴ ，
有折叠的性质，则
， ，
∴ ，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴ ，
∵ ，∴ ；
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的外
角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
13．C
【分析】
分 和 两种情况，分别根据含 角的直角三角形的性质建立方程，
解方程即可得．
【详解】
解： 在 中， ，
，
运动 后， ，
，
点 到达点 所需时间为 ，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当 时， 为直角三角形，在 中， ，
，即 ，
解得 ，符合题意；
（2）如图，当 时， 为直角三角形，
在 中， ，
，即 ，
解得 ，符合题意；
综上，当 为 或1时， 为直角三角形，
故选：C．
【点拨】本题考查了含 角的直角三角形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．C
【详解】
根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以
1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S =t2，
△APQ
∵0
