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专题1.27 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中， ，且AD＝DC，则下列说法：①四
边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD
＝8，则四边形ABCD的面积为24，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在菱形 中，直线 分别交 、 、 于点 、 和 ．且
，连接 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形 ，则对角线
的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，在菱形 中， ，点 为对角线 上一点， 为 边上一
点，连接 、 、 ，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点， ADE≌ CFE，则
四边形ADCF一定△是（ ） △ △
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
6．如图，在 中， 、 分别是直角边 、 的中点，若 ，则
边上的中线 的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
7．如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，
F，若 ，则EF的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．如图，矩形 的顶点 ， ， ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三
角形拼接而成，其中 ， ，则 的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
10．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝
2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中错误的是（ ）
A．存在无数个四边形PMQN是平行四边形
B．存在无数个四边形PMQN是矩形
C．存在无数个四边形PMQN是菱形
D．至少存在一个四边形PMQN是正方形
11．如图，在正方形ABCD中，等边 的顶点E，F分别在边BC和CD上，则
等于（ ）
A． B． C． D．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正
方形ABEF和正方形ACGH，连接FD、HD，若BC=10，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
二、填空题
13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB=6cm，
BC=8cm，则四边形ODEC的周长为______cm．
14．如图，平行四边形 的对角线 与 交于点 ，请你添加一个条件使它是
菱形，你添加的条件是______．
15．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，则AB长为__．
16．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则CD的长是
___________．17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边
AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．
18．如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点D作 于点H，连
接 ，若 ， ，则 的长为___________．
19．如图，四边形纸片ABCD中， ， ， ， ，点E
在BC上，且 ．将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点 、 处，
与AB交于点F，则BF长为______．20．我们把宽与长的比为黄金比（ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形
ABCD中， ，BC＝4， 的平分线交AD边于点E，则AE的长为______．
21．图，正六边形 的顶点B、C分别在正方形 的边 上，若
，则 的长度为_________．
22．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形
A B C D A B C D
1 1 1 1；把正方形 1 1 1 1的各边长按原法延长一倍得到正方形 ；以此进行下
去…则正方形 的面积为 ________．23．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点， ，
AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过
点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则 的最小值为______．
24．如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中
点A坐标为 ，则点B坐标为______．
三、解答题
25．如图，在菱形 中， 于点E， 于点F．
(1)求证： ；
(2)分别延长 和 相交于点G，若 ， ，求 的值．26．如图， ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使
OD=OB，连AD、△CD．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．
27．（1）方法感悟：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，
且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE＋BF＝EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°．
因此，点G，B，H在同一条直线上．
∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°，
∴∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠______．
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴ ______．
∴______＝EF．故DE＋BF＝EF．
（2）方法迁移：如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，
BC边上的点，且 ．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的
猜想．
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，
满足 ，试猜想当∠B，∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF？请说
明理由．参考答案
1．D
【分析】
由 ，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝
DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．
解：∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；
∵AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ ，故⑤正确；
∴正确的个数有5个，
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质．解题的关键在于证明四
边形ABCD是菱形．
2．C
【分析】根据菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确定 ，
OA=OC，根据等腰三角形三线合一的性质确定∠BOC=90°，根据三角形内角和定理和平行
线的性质即可求出∠DAC．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ， ．
∴∠OMA=∠ONC，∠OAM=∠OCN，∠DAC=∠OCB．
∵AM=CN，
∴ ．
∴OA=OC．
∴BO⊥AC．
∴∠BOC=90°．
∵∠OBC=65°，
∴∠OCB=180°-∠BOC-∠OBC=25°．
∴∠DAC=∠OCB=25°．
故选：C．
【点拨】本题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确，等
腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，综合引用这些知识点是解题关键．
3．D
【分析】
连接BD交AC于点O，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形 是菱形，
可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得 ，继而可求得对角线 的长．
解：如图，连接BD交AC于点O，
由题意可得 和 是等边三角形，且边长都为2，
∴AB=BC=CD=DA=AC=2，
∴四边形 是菱形，∴ ，BD=2BO，AC⊥BD，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理，灵活运用菱形的性质和勾股
定理求解是解题的关键．
4．A
【分析】
先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到
∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外
角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，
∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°， ，
∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEA=∠BEC=56°，
∴∠BAE=104°，
∴∠DAE=36°，
∵AE=FE，
∴∠EFA=∠EAF=36°，
∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，
故选A．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
5．B
【分析】
根据全等三角形的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行
四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
解： ADE≌△CFE，
∴A△E=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的
性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
6．D
【分析】
根据三角形中位线定理求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半求解即可．
解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴ ．
∵DE=10，
∴AB=2DE=20．
∵CP是 中斜边AB上的中线，，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练
掌握这些知识点是解题关键．
7．D
【分析】
连接CE，设EF交AC于点O，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得
，EC=AE，OA=OC，再由勾股定理可得AE=CE=5，从而得到，再由△AOE≌△COF，可得OF=OE，即可求解．
解：如图，连接CE，设EF交AC于点O，
在矩形ABCD中，BC=AD=4，AB=CD=8，∠B=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EC=AE，OA=OC，
设EC=AE =x，则BE=AB-AE=8-x，
在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，
∴x2=42+（8-x）2，解得：x=5，
∴AE=CE=5，
∵EF⊥AC，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，∠AEO=∠CFO，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE，
∴ ，
故选：D.
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角
形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键．
8．D【分析】
过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，
求出∠COE=45°，OC=4 ，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F，由旋转得
1 1
∠COC =75°，求出∠C OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．
1 1
解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD BC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵ ， ， ，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4 ，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F，
1 1
由旋转得∠COC =75°，
1
∴∠C OF=30°，
1
∴C F= OC = OC=2 ，
1 1
∴OF= ，
∴点C 的坐标为 ，
1故选：D．
【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，
熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
9．A
【分析】
13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF 的长．
2
解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，
∵ ， ，
∴小正方形的边长=13-5=8，
∴ ．
故选：A
【点拨】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．B
【分析】
根据正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质和平行四边形的判
定与性质来判断即可求解．
解：如图，正方形ABCD中，作线段MN的垂直平分线交AD于点P，交AB于Q点，∵PQ垂直平分MN，
∴PM=PN，QM=QN，
在正方形ABCD中，∠PAN=∠QAN=45°，
∴∠APQ=∠AQP=45°，
∴AP=AQ，
∴AC垂直平分PQ，
∴MP=MQ，
∴四边形PNQM是菱形，
在MN运动的过程中，这样的菱形有无数个，即存在无数个这样的平行四边形，
当点M与A或者C重合时，四边形PNQM是正方形，则至少存在一个四边形PNQM
是正方形，即A、C、D项说法正确，
∵MN=2，且当点M与A或者C重合时，四边形PNQM是正方形，也是矩形，
∴不存在无数多个矩形，故B说法错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形和平行四边形的判定
定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
11．C
【分析】
根据题意直接证明 ，进而得 ，可知 ，结合等
边三角形的条件，即可求得 ．
解： 四边形 是正方形，
， ，
是等边三角形，
， ，
在 和 中
，
（HL），
，
，，
又 ，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形
的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．
12．C
【分析】
设AB中点为M，AC中点为N，连接DM，DN，AD．根据三角形中位线定理，平行线
的性质，正方形的性质用AB表示出△ADF的面积，用AC表示出△ADH的面积，再结合
勾股定理将△ADF与△ADH的面积相加即可求出阴影部分的面积．
解：设AB中点为M，AC中点为N，连接DM，DN，AD．
∵D是BC中点，M是AB中点，N是AC中点，
∴DM是△ABC的中位线，DN是△ABC的中位线．
∴ ， ， ， ．
∴∠BMD=∠BAC，∠DNC=∠BAC．
∵∠BAC=90°，
∴∠BMD=90°，∠DNC=90°， ．
∵四边形ABEF和四边形ACGH是正方形，
∴AB=AF，AC=AH．
∴ ， ．
∴S ．
阴∵BC=10，
∴S ．
阴
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，综
合应用这些知识点是解题关键．
13．20
【分析】
根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，
OB=OD= BD，AC=BD，求出OC=OD，根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形，根据
菱形的性质得出OD=OC=DE=CE，根据勾股定理求出AC，再求出OC即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
AC=BD，
∴OC=OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OD=OC=DE=CE，
由勾股定理得：AC= =10（cm），
∴AO=OC=5cm，
∴OC=CE=DE=OD=5cm，
即四边形ODEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm），
故答案为：20．
【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩
形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．
14． （答案不唯一）【分析】
根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可以添加邻边相等的
条件．
解：条件：AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
15．
【分析】
根据菱形的性质求得 ， 的长，然后在 中利用勾股定理即可求解．
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，4，
∴ ， ， ，
∴ 中， ，
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．6
【分析】
根据三角形中位线定理，求得 ，进而根据菱形的性质求得 ．
解： 四边形 是菱形，
，
E、F分别是AB、AC的中点，EF＝3，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了中位线定理，菱形的性质，掌握中位线定理是解题的关键．
17．
【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出
OE，可得结论．
解：如图，连接，AC，BD．
∵O是矩形的对称中心，
∴O也是对角线的交点，
过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM= AD= BC=4，
∴OM= AB=3，
∵AE=2，
∴EM=AM-AE=2，
∴OE= = ，
同法可得OF= ，
∴OE+OF=2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．3
【分析】
由菱形面积计算公式可求得BD的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求得OH
的长．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OA=8，
∵ ，
∴ ,
∴BD=6，
∵DH⊥BC，O为BD的中点，
∴OH为直角△DHB斜边上的中线，
∴ ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，菱形面积等于两对
角线乘积的一半等知识，掌握这些知识是解题的关键．
19．5
【分析】
根据折叠的性质可得 ，则 ，勾股定理求得 ，
证明 ，即可求得 ．
解：∵ ， ， ， ，
∴四边形 是矩形，
，
将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点 、 处，
，
，
，
中，
，
，
又故答案为：5
【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键．
20．
【分析】
根据黄金矩形的定义求出AB，根据矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质求出
∠ABE和∠AEB，再根据等角对等边即可求解．
解：∵四边形ABCD是黄金矩形，BC=4，
∴ ，∠ABC=90°， ．
∴ ．
∵AE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°．
∴∠AEB=∠EBC=45°．
∴∠ABE=∠AEB．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，综合
应用这些知识点是解题关键．
21．3
【分析】
由正六边形的性质及正方形的性质可得∠BCG=30°，则由直角三角形的性质可求得BG
的长，从而可得AG的长．
解：∵六边形 为正六边形，
∴∠CBG=360°÷6=60°，BC=AB=2；
∵四边形AGHI是正方形，∴∠G=90°，
∴ ，
∴ ，
∴AG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握这两方面知识
是解题的关键．
22．
【分析】
根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延
长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的
5倍，从而解答．
解：最初边长为1，面积为1，
延长一次为 ，面积5，
再延长一次为 =5，面积52=25，
下一次延长为 ，面积53=125，
以此类推，当N=2022时，正方形 的面积为：52022．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得
出正方形的面积，这是一道常考题．
23．
【分析】
根据题意 ，进而证明 ，可得
,勾股定理求解即可．
解：如图，作 ， ，连接MH．PN⊥AC，AE平分∠BAC，
，
，
即为所求，
四边形 是正方形正方形，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
AE平分∠BAC，
，
在 与 中，
，
，
，
是正方形的对角线，
，，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得
的最小值是 的长是解题的关键．
24．
【分析】
根据正方形的性质可得： 向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，再利
用平移的性质可得答案．
解：如图，
四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为 ，
向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，
所以 即
故答案为：
【点拨】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运
用点的平移坐标规律是解本题的关键．
25．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据菱形的性质可知DC=BC，再根据 ， ，可证得，则有 ，问题得解；
（2）根据菱形的性质以及∠A=45°可证得△ABG是等腰直角三角形，即可求解．
(1)解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 于点E， 于点F，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即 ；
(2)解：∵四边形 是菱形，
∴ ，AD=AB=1，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，证明 是
解答本题的关键．
26．(1)见分析(2)对角线的长为8，矩形的面积为
【分析】
（1）由O为AC的中点，可得OA=OC，然后根据对角线互相平分可证四边形ABCD
为平行四边形，又∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD为矩形；
（2）易证OE为 ABC的中位线，可得AB=2OE=4，根据矩形的性质和∠AOB＝
60°，可证△AOB为等△边三角形，可得OA=BO=AB，继而可得对角线AC=8，在Rt ABC中，
△由勾股定理可得 ，继而可求得矩形的面积.
解：(1)∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)解：∵OA=OC，
∴E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴OE为 ABC的中位线，
∴AB=2O△E=2×2=4，
∵ABCD为矩形，
∴OA= AC，OB= BD，
∵AC= BD，
∴OA= OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=BO=AB=4，
∴对角线AC=BD=2OA=8，
∵∠ABC＝90°，
在Rt ABC中，AB=4，AC=8，
△
∴ ，
∴ 矩形的面积 .
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键.
27．（1）EAF；△EAF；GF；（2）EF＝DE＋BF，见分析；（3）∠B＋∠D＝180°，
见分析
【分析】（1）根据图形和推理过程填空即可；
（2）根据题意，分别证明 ， 即可得出结论．
（3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D＝180°时，就可以得出三角形全等，利用
全等三角形的性质即可得出答案．
解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
即∠GAF＝∠EAF，
又AG＝AE，AF＝AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，
故DE+BF＝EF；
故答案为：EAF，△EAF，GF．
（2）EF＝DE＋BF，理由如下：
如图，延长CF，作∠4＝∠1．
∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到Rt△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且
，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠2＋∠3＝∠1＋∠5．
∵∠4＝∠1，∠2＋∠3＝∠4＋∠5，
∴∠GAF＝∠FAE．∵在△AGB和△AED中，
∴ ．
∴AG＝AE，BG＝DE．
∵在△AGF和△AEF中，
∴ ．
∴GF＝EF．
∴DE＋BF＝EF．
（3）当∠B与∠D满足∠B＋∠D＝180°时，可使得DE＋BF＝EF．
如图，延长CF，作∠2＝∠1．
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABG＝180°，
∴∠D＝∠ABG．
在△AGB和△AED中，
∴ ．
∴BG＝DE，AG＝AE．
∵ ，
∴∠EAF＝∠GAF．在△AGF和△AEF中，
∴ ．
∴GF＝EF，DE＋BF＝EF．
故当∠B与∠D满足∠B＋∠D＝180°时，可使得DE＋BF＝EF．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转变换性质
等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键．
