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专题 1.1 探索勾股定理
（专项训练）
1．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形 A的面积为（
）
A．6 B．36 C．64 D．8
2．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10 B． C．10或 D．14
3．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝
90°，则AB的长为（ ）
A．10 B．13 C．8 D．12
4．（2021•榆阳区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB
于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C． D．5．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形
和一个空白的正方形，阴影部分的面积为 25cm2，直角三角形①中较长的直角边长
12cm，则直角三角形 ①的面积是（ ）
A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2
6．（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半
圆，若S ＝9 ，S ＝16 ，则S ＝ ．
1 2 3
π π
7．（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝
15，BD＝9，求AD的长．
8．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四
幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四
个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
11．（2021秋•文登区期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形
图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直
角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正
确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．（2021春•海淀区校级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占
有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面
积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝
4，点 D、E、F、G、H、I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为
（ ）
A．90 B．100 C．110 D．121
13．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝
a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为
．
14．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成
正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为 a、b，
斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4× ab，即（a+b）2
＝c2+4× ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的
直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼
图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
专题 1.1 探索勾股定理（专项训练）
1．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形 A的面积为（
）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】B
【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，
由勾股定理得，正方形A的边长＝ ＝6，
∴正方形A的面积为36，
故选：B．
2．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10 B． C．10或 D．14
【答案】C【解答】解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+x2＝82，
②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，
解得x＝2 ．
∴第三边长为10或2 ．
故选：C．
3．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝
90°，则AB的长为（ ）
A．10 B．13 C．8 D．12
【答案】D
【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝4，
根据勾股定理，得BD＝ ＝5．
在Rt△ABD中，AD＝13，BD＝5
根据勾股定理，得AD＝ ＝12．
故选：D．
4．（2021•榆阳区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB
于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝ ＝5，
∵ ×AC×BC＝ ×CD×AB，
∴ ×3×4＝ ×5×CD，
解得CD＝ ．
故选：C
5．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形
和一个空白的正方形，阴影部分的面积为 25cm2，直角三角形①中较长的直角边长
12cm，则直角三角形 ①的面积是（ ）
A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2
【答案】C
【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，
∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，
∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，
∴直角三角形 ①的面积＝ （cm2），
故选：C．
6．（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半
圆，若S ＝9 ，S ＝16 ，则S ＝ ．
1 2 3
π π【答案】 25
【解答】解π：设面积为S
1
的半圆的直径为a，面积为S
2
的半圆的直径为b，面积为S
3
的
半圆的直径为c，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
由题意得： × ×（ ）2＝9 ， × ×（ ）2＝16 ，
则a2＝72，b2＝π128， π π π
∴c2＝200，
∴S ＝ × ×（ ）2＝25 ，
3
故答案为：25π ． π
7．（2021秋•π紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝
15，BD＝9，求AD的长．
【解答】解：在Rt△BDC中，由勾股定理得：
CD＝ ＝ ＝12，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AD＝ ＝ ＝16．8．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4× ab；化简得c2＝
a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4× ab；化简得a2+b2＝c2，可以证
明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝ （a+b）（a+b）＝2× ×ab+ c2，化简得a2+b2＝c2；可以
证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直
角三角形的面积的和，即（b﹣ ）（a+ ）＝ ab+ c c，化简得a2+b2＝c2；
可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
9．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四
幅图中不能证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ ，
整理可得a2+b2＝c2，
∴A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴ ，
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴ ，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
10．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四
个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）A．14 B．13 C．14 D．14
【答案】D
【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝ ＝14 ．
故选：D．
11．（2021秋•文登区期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形
图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直
角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正
确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，
∴a2+b2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，
故①正确；
∵小正方形的边长为1，
∴a﹣b＝1，
故②正确；
∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
∴1+2ab＝25，
∴ab＝12，故③正确；
根据③可得2ab＝24，
∴（a+b）2＝a2+b2+24＝25+24＝49，
∴a+b＝7，
故④正确．
综上可得①②③④正确．
故选：D．
12．（2021春•海淀区校级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占
有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面
积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝
4，点 D、E、F、G、H、I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为
（ ）
A．90 B．100 C．110 D．121
【答案】C
【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：C．
13．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝
a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值
为 ．
【答案】79
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4× ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
14．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成
正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4× ab，即
（a+b）2＝c2+4× ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的
直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼
图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝ （a+b）（b+a）＝ab+ （a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝ △ABC +S△ABE +S ADE ＝ ab+ c2+ ab＝ab+ c2，
∴ab+ （a2+b2）＝ab+ c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
