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专题 1.1 等腰三角形
等腰三角形的性质
【例1】如图，在 中， ， 是 的中点，连接 ， 在 的延长线上，
连接 ， ，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① 在 中， ， 是 的中点，
；
② 在 中， ， 是 的中点，
，
，
；
③无法证明 ；
④ 在 中， ，
，
， ，
，
．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，则下列结论不正确
的是A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
， ，故①③正确；
， ，
，
， ，
，故④正确；
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】下列叙述正确的语句是
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．顶角相等的两个等腰三角形全等
D．两腰相等的两个等腰三角形全等
【解答】解： 、根据三角形的面积两腰相等，所以腰上的高相等，故本选项正确；
、必须是等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线互相重合，故本选项错
误；
、顶角相等，但腰长不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误；
、两腰相等，但顶角不一定相等，故本选项错误．
故选： ．
【变式训练3】下列说法：
（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；
（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
（1）错误；
如图：
， ， ，
， ．
在 和 中
．
， （2）正确；
如图：
在 中， ，则 ，
等腰三角形的腰一定大于其腰上的高，
当该三角形是等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等腰该腰上的高， （3）错误；
等腰三角形的一边长为8，一边长为16，
只能三边是16，16，8，
它的周长是40， （4）错误；
故选： ．已知底角或顶角
【例2】已知等腰三角形的底角为 ，则这个等腰三角形的顶角是
A． B． C． D．
【解答】解： 三角形为等腰三角形，且底角为 ，
顶角 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中， ， ，则 的大小为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．
【变式训练2】等腰三角形的顶角是 ，则这个三角形的一个底角的大小是
A． B． C． D．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为： ，
故选： ．
【变式训练3】若等腰三角形的顶角为 ，则它的一个底角的度数为
A． 或 B． C． D．
【解答】解： 三角形为等腰三角形，且顶角为 ，
底角 ．
故选： ．
分类讨论
【例3】等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是A． B． 或 C． 或 D．
【解答】解： 等腰三角形的一个内角为 ，
若这个角为顶角，则底角为： ；
若这个角为底角，则另一个底角也为 ，
其一个底角的度数是 或 ．
故选： ．
【变式训练1】等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角为
A． 或 B． C． D． 或
【解答】解：分两种情况：
①当 的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
②当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ，
故它的底角度数是 或 ．
故选： ．
【变式训练2】已知等腰三角形有一个角为 ，则这个等腰三角形的底角度数是
A． B． 或 C． 或 D． 或
【解答】解：分两种情况：
①当 的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
②当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ，
故它的底角度数是 或 ．
故选： ．
【变式训练3】等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 等腰三角形的一个内角是 ，
等腰三角形的顶角为 ，
等腰三角形的底角为 ，
故选： ．与外角有关
【例4】如图，在 中， ， 的外角 ，则 5 8 度．
【解答】解： ，
，
， ，
．
故答案为：58
【变式训练1】已知等腰三角形的一个外角是 ，则这个等腰三角形的顶角是
A． B． C． 或 D．
【解答】解：等腰三角形一个外角为 ，那相邻的内角为
三角形内角和为 ，如果这个内角为底角，内角和将超过 ，
所以 只可能是顶角．
故选： ．
【变式训练2】等腰三角形的一个外角是 ，它的顶角的度数是
A． B． C． 和 D． 或
【解答】解： 一个外角为 ，
三角形的一个内角为 ，
当 为顶角时，其他两角都为 、 ，
当 为底角时，其他两角为 、 ，
等腰三角形的顶角为 或 ．
故选： ．
【变式训练3】等腰三角形有一个外角是 ，则这个等腰三角形的顶角度数为 或
．
【解答】解：分为两种情况：
（1）当这个 的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为 ；（2）当这个 的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为
．
故答案为： 或 ．
等腰三角形的周长
【例5】等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是
A．16 B．20 C．16或20 D．12
【解答】解：若4为腰，则三角形三边为：4，4，8，
，
，4，8不能构成三角形，
故舍去，
若8为腰，则三角形三边为：4，8，8，
，8，8能构成三角形，
三角形的周长 ，
故选： ．
【变式训练1】若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长是
A．15或18 B．15 C．18 D．11
【解答】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长 ；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长 ．
所以三角形的周长为15或18
故选： ．
【变式训练2】已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为 ，
此时 ，不能组成三角形；
（2）当3是底边时，腰长为 ，
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5
故选： ．
【变式训练3】一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，则此三角形的周长为
A．13 B．17 C．7 或13 D．不确定
【解答】解：当 是腰时， ，不符合三角形三边关系，故舍去；
当 是腰时，周长 ．
故它的周长为 ．
故选： ．
腰上的高
【例6】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角
等于
A． 或 B． C． D． 或
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
， ，
，
即顶角的度数为 ．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
， ，
，．
故选： ．
【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是 ；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是 ．
故选： ．
【变式训练2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则它的顶角为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
， ，
，
即顶角的度数为 ．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
， ，
，
．
故选： ．【变式训练3】已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为 ，则这个等腰三角形的
顶角为 7 0 或 11 0 ．
【解答】解：① ， ， ，
；
② ， ， ，
．
故答案为：70或110
等腰三角形的判定
【例7】如图， ， 相交于点 ， ，如果请你再补充一个条件，使得
是等腰三角形，那么你补充的条件不能是A． B．
C． D．
【解答】解： 、补充 ，可利用 证明 ，根据全等
三角形的性质可得 ，进而证明出 是等腰三角形；
、补充 ，可利用 证明 ，根据全等三角形的性质
可得 ，进而证明出 是等腰三角形；
、补充 ，不能证明 ，进而不能证明出
是等腰三角形；
、补充 ，可利用 证明 ，根据全等三角形的
性质可得 ，进而证明出 是等腰三角形；
故选： ．
【变式训练1】下列三角形中，不是等腰三角形的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，
选项中的图形不是等腰三角形．故 选项符合题意；
、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，选项中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
、由三角形的内角和为 知：第三个角的大小为： ，
选项中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
、由图形中有两边长为5知：选项 中的图形是等腰三角形．故 选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底
边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是
A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④
【解答】解：下列条件能不能确定一个等腰三角形，我们主要看给出同样条件的两个三角
形是不是全等．
①已知两腰， 不能判定两个三角形全等，所以不能；
②已知底边和顶角， 或 能判定两个三角形全等，所以能；
③已知顶角与底角， 不能判定两个三角形全等，所以不能；
④已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以可以．
故选： ．
【变式训练3】用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形，若能围成有一边长为 的
等腰三角形，那么三边长分别是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ， 或 ， ，
D．无法确定
【解答】解：①4为底边： ，
三边： 、 、 能够成三角形；
②4为腰： ，
三边： 、 、 不能够成三角形；
故选： ．
等腰三角形的个数
【例8】如图，已知 ， ， 平分 ， ，则图中等腰三角形的个数有
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【解答】解： ， ，
，
，
，
是等腰三角形，
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形，
，
， ，
，
是等腰三角形，
又 ，
，
，
，
是等腰三角形，
又 ， ，
，
，
，
是等腰三角形，故选： ．
【变式训练1】如图， 平分 ， 于 ， ，则图中的等腰三角形
的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：如图所示：
，
，
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形，
，
， ，
，
，
是等腰三角形；
故选： ．
【变式训练2】如图， 中， ， ， 平分 ， ，则图中等腰三角形的个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： ， ，
，
，
是等腰三角形，
，
， ，
，
是等腰三角形，
平分 ，
，
， ，
， 都是等腰三角形，
，
是等腰三角形，
等腰三角形有5个，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 平分 ， 平分
， 交 于点 ，那么图中的等腰三角形个数A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解： 在 中， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
，
， ， ，
， ， ， 是等腰三角形，
， ，
，
，
， ， ，
， ， ， 是等腰三角形．
图中的等腰三角形有8个．
故选： ．
等腰三角形的存在性
【例9】如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形， 、 两点都在小方格的格
点（顶点）上，请在图中找一个格点 ，使 为等腰三角形，这样的格点的个数有
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个【解答】解：图中的黑点为 点所在位置，这样的 点共有10个．
故选： ．
【变式训练1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知 ， 是两格点，
如果点 也是格点，且使得 是以 为腰的等腰三角形，那么点 的个数有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：如图，以 为等腰 其中的一条腰时，符合条件的 点有4个．
故选： ．
【变式训练2】如图， 中，直线 是边 的垂直平分线，若直线 上存在点 ，使得
， 均为等腰三角形，则满足条件的点 的个数共有
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：分三种情况：如图：当 时，以 为圆心， 长为半径画圆，交直线 于点 ， ，
当 时，以 为圆心， 长为半径画圆，交直线 于点 ， ，
当 时，作 的垂直平分线，交直线 于点 ，
直线 是边 的垂直平分线，
直线 上任意一点（与 的交点除外）与 构成的三角形均为等腰三角形，
满足条件的点 的个数共有5个，
故选： ．
【变式训练3】在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点 在坐标轴上，若
是等腰三角形，则满足条件的点 的个数是
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【解答】解：如图，由题意可知：以 、 为腰的三角形有3个；
以 、 为腰的三角形有2个；
以 、 为腰的三角形有2个．
则点 的个数是7
故选： ．
等腰三角形的切割
【例10】如图，已知 中， ， ， ，在 所在平面内一条直线
将 分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可
画
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：如图所示，当 ， ， ， 时，都
能得到符合题意的等腰三角形．
故选： ．【变式训练1】如图，在 中， 、 、 ，在 所平面内
画一条直线，将 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最
多可画的条数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图所示： 、 、 ，
，
是直角三角形， ．
当 ， ， ， ， ，
都能得到符合题意的等腰三角形．
故这样的直线最多可画的条数为6
故选： ．
【变式训练2】已知 的三条边长分别为3，4，6，在 所在平面内画一条直线，
将 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【解答】解：如图所示：
当 ， ， ， ， ， ， 时
都能得到符合题意的等腰三角形．
故选： ．【变式训练3】已知 的三条边长分别为3，5，7，在 所在平面内画一条直线，
将 分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可
画
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【解答】解：如图所示，当 ， ， ， ，都能
得到符合题意的等腰三角形．
故选： ．
简单证明
【例11】如图，在四边形 中， ， 平分 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
【解答】（1）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，，
；
（2）证明：取 的中点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
．
【变式训练1】已知：如图， 中， 平分 ， 平分 ，过 作直线平
行于 ，交 、 于 、 ．求证：
（1） 是等腰三角形；
（2） ．
【解答】证明：（1） 平分 ，
，，
，
，
，
是等腰三角形；
（2） 平分 ，
，
，
，
，
，
由（1）得， ，
．
【变式训练2】如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，
点 是 的中点，连结 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求 的度数．
【解答】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
， ，
，
即 是等腰三角形；
（2）解： 点 是 的中点，
，
，
．
【变式训练3】如图，在 中， ， 为 延长线上一点， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形．
（2）若 ， ，求线段 的长．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过 作 于 ，
，
，
由（1）知， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 中，
， ，，
．
