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专题1.1 菱形的性质与判定（专项训练）
1.（2022•播州区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论
一定成立的是（ ）
A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD
2．（2022春•泰山区校级月考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．（2022 春•南京期中）菱形 ABCD 中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于
（ ）
A．13 B．52 C．120 D．240
4.（2021春•黔南州期末）如图，菱形ABCD的周长＝40cm，对角线AC与BD相交于点
O，点E是BC的中点，则OE的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
5．（2022春•西城区校级期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一
中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ABCD，测得BD＝
12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为 cm．6．（2022•尤溪县开学）如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1＝ 度．
7．（2022春•东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐
标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 ．
8．（2022春•西城区校级期中）如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等
于 ，菱形ABCD的面积等于 ．
9．（2022春•武昌区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D
作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD ＝（ ）
A．12 B．24 C．36 D．4810．（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC
＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（ ）
A．6 B．8 C． D．
11．（2022春•徐汇区校级期中）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个
四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
12．（2021春•全州县期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么
需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD
13．（2021春•塔城市期中）如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC
相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F．
求证：（1）四边形ABEF是平行四边形；
（2）四边形ABEF是菱形．
14．（2021秋•武功县期中）如图，在平行四边形 ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
15．（2021•蓬安县模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，
BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
16．（2022春•盐城月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
过E作EF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝5，BE＝8， ，求平行四边形ABCD的面积．
17．（2022春•宜兴市校级月考）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线
AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接
OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．
18．（2021春•岱岳区期中）如图：在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分
别为E、F，且BE＝DF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积．19．（2022春•郧阳区期中）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置．
（1）猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若 ，求∠BAD的度数．
20．（2021春•珠海校级期中）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
21．（2021秋•沈北新区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角
线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．专题1.1 菱形的性质与判定（专项训练）
1.（2022•播州区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论
一定成立的是（ ）A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD
【答案】C
【解答】解：A．当BD≠AB时，∠BAD≠60°，此选项结论不一定成立；
B．当菱形ABCD不是正方形时，AC≠BD，此选项结论不一定成立；
C．因为菱形的四边相等，所以AB＝BC，此选项结论一定成立；
D．当OA≠BD时，OA≠2OD，此选项结论不一定成立；
故选：C．
2．（2022春•泰山区校级月考）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【答案】C
【解答】解：由菱形性质可知，其对角相等，四边相等，对边平行，对角线互相垂直，
且每一条对角线平分一组对角；
由平行四边形的性质可知，其对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分；
故选：C
3．（2022 春•南京期中）菱形 ABCD 中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的周长等于
（ ）
A．13 B．52 C．120 D．240
【答案】B
【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝12，AO＝OC＝5，
∴AB＝ ＝13，
故菱形的周长为52．
故选：B．
4.（2021春•黔南州期末）如图，菱形ABCD的周长＝40cm，对角线AC与BD相交于点
O，点E是BC的中点，则OE的长为（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形周长＝40cm，
∴BC＝10cm，AC⊥BD，
∵E为BC的中点，
∴OE＝ BC＝5cm．
故选：B．
5．（2022春•西城区校级期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一
中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ABCD，测得BD＝
12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为 cm．
【答案】40
【解答】解：∵AC＝16cm，BD＝12cm，
∴两对角线的一半分别为8cm，6cm，
由勾股定理得，边长AB＝ ＝10（cm），
所以，菱形ABCD的周长＝4×10＝40（cm）．
故答案为：40．
6．（2022•尤溪县开学）如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1＝ 度．【答案】20
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝140°，
∴∠DAB＝40°，∠1＝ ∠DAB＝20°，
故答案为：20．
7．（2022春•东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐
标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 ．
【答案】 （ 2 ， ）
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝ ，AB＝2，
∴A（0， ），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2， ），
故答案为：（2， ）．8．（2022春•西城区校级期中）如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等
于 ，菱形ABCD的面积等于 ．
【答案】 5 , 24
【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵BD＝8，AC＝6，
∴菱形的面积＝ AC×BD＝24，
故答案为：5，24．
9．（2022春•武昌区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D
作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD ＝（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，∵OA＝4，OH＝3，
∴AC＝2OA＝8，BD＝2OH＝6，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝ ×8×6＝24，
故选：B．
10．（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC
＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝ ，
∵AC＝6，DB＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ ，
∵BC＝5，
∴AE＝ ＝ ，
故选：C．
11．（2022春•徐汇区校级期中）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个
四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【答案】D
【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，这个四边形可能是等腰梯形，故此选
项不符合题意；
B、另一组对边相等，对角线互相垂直，这个四边形可能是等腰梯形，故此选项不符合
题意；
C、另一组对边平行，对角线相等，这个四边形是矩形，故此选项不符合题意；
D：另一组对边平行，对角线互相垂直，这个四边形是菱形，故此选项符合题意．
故选：D．
12．（2021春•全州县期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么
需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D
13．（2021春•塔城市期中）如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC
相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F．求证：（1）四边形ABEF是平行四边形；
（2）四边形ABEF是菱形．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
（2）∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴平行四边形ABEF为菱形．
14．（2021秋•武功县期中）如图，在平行四边形 ABCD中，E、F分别是CB、CD上的
点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
15．（2021•蓬安县模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，
BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，
∴AD＝CD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
16．（2022春•盐城月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
过E作EF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝5，BE＝8， ，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）略 （2）36
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N，
由（1）可知，四边形ABFE是菱形，
∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝ BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE，
∴∠AMB＝90°，
∴AM＝ ＝ ＝3，
∴AF＝2AM＝6，
∵AN⊥BF，
∴S菱形ABFE ＝BF•AN＝ AF•BE，
即5AN＝ ×6×8，
解得：AN＝ ，
∵BC＝BF+CF＝5+ ＝ ，∴S平行四边形ABCD ＝BC•AN＝ × ＝36．
17．（2022春•宜兴市校级月考）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线
AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接
OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．
【答案】（1） 略（2）
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵DE⊥BC，∴OE＝ BD，
∴BD＝2OE＝6，
在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝ ＝ ．
∴线段DE的长为 ．
18．（2021春•岱岳区期中）如图：在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分
别为E、F，且BE＝DF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积．
【答案】（1）略 （2）24
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC＝ AC＝ ×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝ ＝ ＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD ＝ ×AC×BD＝24．
19．（2022春•郧阳区期中）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置．
（1）猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若 ，求∠BAD的度数．
【答案】（1）嗯（2）45°
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，
由题意得：DE＝DQ，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S平行四边形ABCD ＝AB•DE＝BC•DQ，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵ ＝AB•DE，DE＝4，
∴AB＝4 ，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4 ，
∴AE＝ ＝ ＝4，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°．20．（2021春•珠海校级期中）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】略
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CE，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：四边形ABCD是正方形，理由如下：
由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝∠ABO，
∴AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
21．（2021秋•沈北新区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角
线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．
【答案】(1) 略 (2)CE＝
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（▱2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝ BD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝2OA＝4 ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×4 ×8＝16 ，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16 ，
∴CE＝ ．
