文档内容
专题 1.1 探索勾股定理
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动
探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理
教学目标 的意识及能力。
3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识
和合作交流的习惯
4.掌握勾股定理和它的简单应用。
1.重点
（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；
（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。
教学重难点
2.难点
（1）勾股定理的发现；
（2）用面积证勾股定理。知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
a，b c a2 b2 c2
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
√n
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【即学即练】
1．如图， 中， ．以 的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为
，若 ，则 的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．25
2．若一个直角三角形的两条边的长分别为 、 ，则第三条边的长是 ．
3．如图，在 中，∠B=90°， ， ，将 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，
(1)求 的长；
(2)求点B到斜边 的距离；知识点02 勾股定理验证
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【即学即练】
1．如图，在长方形 中，点 在 上，点 在 上， ， ， ，
且 ．
(1)请用两种不同的方法计算梯形 的面积，探究 、 、 三者之间的等量关系（结果化成最简）；
(2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：
①当 ， 时，长方形 的面积是______；
②当 ， 时，求 面积．
题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】如图字母 所代表的正方形的面积是（ ）A．12 B．13 C．144 D．194
【变式1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形 的面积分别是
，则最大正方形E的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在 中， ，分别以 ， ， 为边向外作半圆，并分别记它们的面
积为 ， ， ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方
形，其面积分别记为 ， ， ， ．若 ， ， ，则 的长为（ ）A．7 B．5 C．4 D．6
题型02 已知直角三角形的两边，求第三边长
【典例1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ．
【变式1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ．
【变式2】计算图中线段的长： ， ．
【变式3】在 中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ．
题型03 等面积法求直接斜边上的高问题
【典例1】若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ．
【变式1】直角三角形两直角边长分别为3和 ，则斜边上的高为 ．
【变式2】如图，在 中， 是斜边上的高，如果 ， ，那么 ．
【变式3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图， 是 的高，
高 是 和 的公共直角边，由勾股定理得， ，设 ，
可建立关于 的方程，求得 ，进而通过计算就可求出 的面积．根据睿明同学的
方法，若 ， ， ，则 的面积为 ．题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）．
【变式1】在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则 边上的高为 ．
【变式2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点 均在小正方形的顶点上．以点 为圆心，
长为半径画弧，圆弧交 于点 ，则 的长为 ．
【变式3】在边长为1的正方形网格中， 均为格点，
(1) ___________， ___________
(2)求 中边 上的高
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】如图，在 中， ， ， ，把 折叠，使 落在直线 上，则
的长为 ．【变式1】如图，小明用一张长方形纸片 进行折纸，已知该纸片宽 为 ，长 为 ．当
小明折叠时，顶点 落在 边上的点 处（折痕为 ）．则此时 的面积为 ．
【变式2】如图，三角形纸片 ， ，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边 上点D处，
再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交 于点E．若 ， ，则 的长为 ．
【变式3】在四边形 中， ．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
题型06 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【典例1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角
线 交于点 ，若 ， ，则 ．【变式1】 中，斜边 ，则 的值是 ．
【变式2】如图，四边形 的对角线 ，相交于点 ．若 ，则
．
【变式3】如图，等腰直角 ，等腰直角 ， ，连接
相交于点M，则 ．
题型07 利用勾股定理证明线段平方关系
【典例1】如图， 和 都是等腰直角三角形， ，D为 边上一点，
求证：
(1) ；
(2) ．
【变式1】如图，在 中， ．(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
【变式2】如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中 ， 为 边上一
点．
(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
【变式3】如图，在 中，已知 ，D是斜边 的中点， 交 于点E，连接
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
题型08 勾股定理的验证方法
【典例1】（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方
形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，
，求该飞镖状图案的面积．【变式1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为
如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当 时，求空白部分的面积．
【变式2】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接 ，
的三边长分别为a，b，c（ ），四边形 的面积可以表示为 或 ，
从而推导出 ．
【探究】（1）淇淇将 从图①的位置开始沿 向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，
与 交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接 ， ．
______；______ ______ ______．
由 ，可得到______；整理得：______．
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形 的面积为200， 的长为12，求 的长．
【变式3】【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ， ；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
1．已知一个 的两边长分别为 和 ，则第三边长的平方是（ ）
A． B． 或 C． D．
2．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为 ，若
，则阴影部分的面积为 （ ）A．10 B．8 C．6 D．5
3．如图，在 中， 于点D， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ．在高线 所在直线上任取一点 （不与点 ， 重合），连
结 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．18 C．36 D．72
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ， ，则 ．
7．如图，阴影部分表示以 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作 和 ．
若 ， ，则 的周长是 ．8．如图，在 的方格中，小正方形的边长是 ，点 、 、 都在格点上，则 边上的高为 ．
9．直角三角形的两边长 ， 满足 ，则第三边长是 ．
10．有一块直角三角形纸片：
（1）如图 ，若两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折叠，使 恰好在斜边 上，且
点 与点 重合，则 的长为 ；
（2）如图 ，若两直角边 ， ，点 在边 上，以 为折痕 折叠得到 ，边
与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长为 ．
11．在 中， ，三条边长如图所示，求 的值．
12．在 中， ，设 ， ， ．
(1)已知 ， ，求c；
(2)已知 ， ，求a．
13．如图，在 中， ， ，垂足为D．已知 ， ．设 长为x．(1)根据勾股定理，得 ______．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
14．如图，某广场有一块三角形空地 ，管理部门计划将这块空地分割成四边形 和 ，分
别摆放不同的花卉．经测量， ， 米， 米．
(1)求 的长；
(2)若 米， 米，求三角形空地 的面积．
15．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾
股定理进行探索．如图1，在直角三角形 中， ．分别以
为边长向外作正方形 、正方形 和正方形 ，其面积分别记作 ．
(1)图1中 ， 与 之间的数量关系为______，直角三角形 的三边 之间的数量关系为
________．
(2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系．
16．在 中， 分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿着直线
折叠，顶点 的对应点是 ．(1)如图①，如果点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图②，如果 是 的中点，求 的长．
17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾
股定理 ．
(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 ， ，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处．若 ， ，求 的长．
18．［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵
感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面
是小明利用图①证明勾股定理的过程．
如图①， ，求证： ．
证明：连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
则 ．
又 ，
，
．请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中 ，连接 ．求证： ．
