文档内容
专题1.1 探索勾股定理（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•中山市期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（
）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
2．（2022春•定远县期中）如图所示：是一段楼梯，高 BC是3m，斜边AC是5m，如果在
楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的
勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证
明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，
它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
4．（2021秋•丰泽区校级期末）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是
（ ）
A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2
5．（2022春•紫金县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC
于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（ ）A．2 B．7 C．9 D．14
6．（2022春•寿光市期中）如图，为了求出分别位于池塘两岸的点 A与点B的距离，小亮
在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与
点B的距离是（ ）
A．20m B．40m C．30m D．50m
7．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是
由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
8．（2022春•香河县期中）如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三
个半圆，其面积分别为S ，S ，S ，若S ＝40，S ＝18，则S ＝（ ）
1 2 3 1 3 2
A．18 B．20 C．22 D．24
9．（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直
角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角
边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方
形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形
的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）A．225 B．250 C．275 D．300
10．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连
结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形
ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题。
11．（2022春•渌口区期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若
AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 ．
12．（2022春•济源期末）如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且
其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为 cm2．
13．（2022春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部
分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 ．
14．（2022春•东港市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂
直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝ ．
15．（2022春•郑州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平
分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝ ．
16．（2022春•咸安区期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有
公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA ＝A A ＝A A ＝…＝A A ＝1，按此规律，
1 1 2 2 3 7 8
在线段OA ，OA ，OA ，…，OA 中，长度为整数的线段有 条．
1 2 3 10
17．（2022春•崇阳县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S ，以CD为斜边作等
1
腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为
S ，…按此规律继续下去，则S 的值为 ．
2 202218．（2021秋•龙湾区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向
上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空
白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题。
19．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把
它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中
的道理吗？请试一试．20．（2021春•南开区校级月考）如图，四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝
135°，CD＝6，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
21．（2022春•夏邑县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ + ，BC＝
﹣ ，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）求斜边AB上的高．
22．（2022春•玉山县期中）在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2
﹣10a+25＝0．
（1）求AC的长．
（2）求Rt△ABC的面积．
23．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点 P在三角形的一条边上，且满足∠1
＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2 ，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想
点”，求CD的长．
24．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角
形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已
知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到
一些很好用的结论．
（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S ，请用两种方法来表示S ．
1 1
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．
已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
25．（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时
停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
26．（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较
短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）
的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S ＝40，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3 2专题1.1 探索勾股定理（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•中山市期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（
）
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
【答案】C。
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC＝BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故选：C．
2．（2022春•定远县期中）如图所示：是一段楼梯，高 BC是3m，斜边AC是5m，如果在
楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】C。
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m
∴AB＝ ＝ ＝4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．
故选：C．
3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的
勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证
明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，
它体现的数学思想是（ ）A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C。
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证
明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
4．（2021秋•丰泽区校级期末）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是
（ ）
A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2
【答案】A。
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
5．（2022春•紫金县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC
于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．14
【答案】B。
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝2，
∴AD＝DE＝2，
∵BC＝7，
∴△BDC的面积＝ •BC•DE＝ ×7×2＝7，
故选：B．
6．（2022春•寿光市期中）如图，为了求出分别位于池塘两岸的点 A与点B的距离，小亮
在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与
点B的距离是（ ）
A．20m B．40m C．30m D．50m
【答案】B。
【解答】解：由题意得，AC＝85m，BC＝75m，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝40（m）．
即A、B两点间的距离为40m．
故选：B．
7．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是
由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
【答案】A。【解答】解：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴小正方形的面积为：（ ）2﹣ ×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．
8．（2022春•香河县期中）如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三
个半圆，其面积分别为S ，S ，S ，若S ＝40，S ＝18，则S ＝（ ）
1 2 3 1 3 2
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】D。
【解答】解：∵∠DOB＝90°，
∴BO2+DO2＝DB2，
∵S ＝ • （ ）2＝ ；
1
π
S ＝ （ ）2＝ ；
2
π
S ＝ （ ）2＝ ；
3
π
∴S +S ＝ （OD2+BO2）＝ BD2＝S ，
2 3 3
即S +S ＝S ．
2 3 1
∵S ＝40，S ＝18，
1 3
∴S ＝40﹣18＝22，
2
故选：C．9．（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直
角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角
边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方
形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形
的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
【答案】D。
【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，
由勾股定理得：AB＝ ＝5x，
∵△ABC的周长为12，
∴3x+4x+5x＝12，
解得：x＝1，
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，
第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，
第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，
第 3 次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝
25×3+50，
……
第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，
故选：D．
10．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连
结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形
ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】C。
【解答】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：
设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF＝AB＝ m，
由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL＝FM，
设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，
∴x2+（x+m）2＝（ m）2，
解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），
∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，
∴FP＝ ＝ ＝ m，BP＝AB﹣AP＝ m﹣ ＝
，
∴AP＝BP，即P为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CP＝AP＝BP＝ ，
∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴CN＝m，PN＝ m，
∴AN＝AP+PN＝ m，
∴tan∠BAC＝ ＝ ＝ ＝ ，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
∴ ＝ ，
∵CE＝ + ，
∴ ＝ ，∴CH＝2 ，
故选：C．
二、填空题。
11．（2022春•渌口区期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若
AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 3 ．
【答案】3。
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝ ＝ ＝8，
∵BD＝5，
∴CD＝3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE＝3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
12．（2022春•济源期末）如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且
其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为 1 2 cm2．
【答案】12。
【解答】解：如图，S ＝b2，S ＝a2，S ＝c2，a2+b2＝c2．
① ② ③
所以S +S ＝S ＝6cm2，
① ② ③
所以S +S +S ＝2S ＝12cm2．
① ② ③ ③故答案为：12．
13．（2022春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法
运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部
分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 5 ．
【答案】5。
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，
根据题意得 ，
解得：c2＝25，
解得：c＝5或﹣5（舍去），
故大正方形的边长为5，
故答案为：5．
14．（2022春•东港市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂
直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝ ．
【答案】 。
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝CD，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝4，
设AD＝x，则CD＝BD＝4﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
∴AD＝ ，
故答案为： ．
15．（2022春•郑州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平
分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝ 4 ﹣ 2 ．
【答案】4﹣2 。
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴AC＝ AB＝2 ，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AC＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2 ，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝4﹣2 ，
故答案为：4﹣2 ．
16．（2022春•咸安区期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有
公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA ＝A A ＝A A ＝…＝A A ＝1，按此规律，
1 1 2 2 3 7 8
在线段OA ，OA ，OA ，…，OA 中，长度为整数的线段有 3 条．
1 2 3 10
【答案】3。
【解答】解：∵OA ＝1，
1
∴由勾股定理可得OA ＝ ＝ ，
2
OA ＝ ，
3
…，
∴OA ＝ ，
n
∴在线段OA ，OA ，OA ，…，OA 中，完全平方数有1，4，9，
1 2 3 10
故长度为整数的线段有3条．
故答案为：3．
17．（2022春•崇阳县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S ，以CD为斜边作等
1
腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为
S ，…按此规律继续下去，则S 的值为 ．
2 2022【答案】 。
【解答】解：如图所示，
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S +S ＝S ．
2 2 1
观察，发现规律：S ＝12＝1，S ＝ S ＝ ，S ＝ S ＝ ＝ ，S ＝ S ＝ ＝
1 2 1 3 2 4 3
，…，
∴S ＝ ，
n
当n＝2022时，S ＝ ，
2022
故答案为： ．
18．（2021秋•龙湾区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空
白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 。
【解答】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH ＝S△ABN ，
∴S△ABC ＝S四边形FNCH ，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49，
∴AB2+2AC•BC＝49，
∵AB2﹣S△ABC ＝16，∴AB2﹣ AC•BC＝16，
∴BC•AC＝ ，
∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+3S△ABC ﹣AB2＝3S△ABC ＝ BC•AC＝ × ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题。
19．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把
它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中
的道理吗？请试一试．
【解答】解：图形的总面积可以表示为：c2+2× ab＝c2+ab，
也可以表示为：a2+b2+2× ab＝a2+b2+ab，
所以，c2+ab＝a2+b2+ab，
所以，a2+b2＝c2．
20．（2021春•南开区校级月考）如图，四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝
135°，CD＝6，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：延长AB和DC，两线交于O，
∵∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，
∴∠OBC＝45°，∠BCO＝90°，
∴∠O＝45°，
∵∠A＝90°，∴∠D＝45°，
则OB＝ BC，OD＝ OA，OA＝AD，BC＝OC，
设BC＝OC＝x，则BO＝ x，
∵CD＝6，AB＝2，
∴6+x＝ （ x+2），
解得：x＝6﹣2 ，
∴OB＝ x＝6 ﹣4，BC＝OC＝6﹣2 ，OA＝AD＝2+6 ﹣4＝6 ﹣2，
∴四边形ABCD的面积S＝S△OAD ﹣S△OBC ＝ ×OA×AD﹣ ×BC×OC
＝ ×（6 ﹣2）×（6 ﹣2）﹣ ×（6﹣2 ）×（6﹣2 ）
＝16．
故四边形ABCD的面积为16．
21．（2022春•夏邑县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ + ，BC＝
﹣ ，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）求斜边AB上的高．
【解答】解：（1）S△ABC ＝ BC•AC
＝ ×（ + ）×（ ﹣ ）＝ ×（10﹣2）
＝4；
（2）设斜边AB上的高为h，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝2 ，
则 ×AB×h＝4，即 ×2 ×h＝4，
解得：h＝ ，
答：斜边AB上的高为 ．
22．（2022春•玉山县期中）在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2
﹣10a+25＝0．
（1）求AC的长．
（2）求Rt△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0，
∴|4﹣c|+（a﹣5）2＝0，
∴a＝5，c＝4，
∴AC＝ ；
（2）△ABC的面积＝ ＝10．
23．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点 P在三角形的一条边上，且满足∠1
＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2 ，AB＝4，试判断点D是不
是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想
点”，求CD的长．【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，AD•AB＝8，
∵AC＝2 ，
∴AC2＝8，
∴AC2＝AD•AB，
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝3，∵S△ABC ＝ AB•CD＝ AC•BC，
∴CD＝ ，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝ ，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”，CD的长为 或 ．
24．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角
形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已
知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到
一些很好用的结论．（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S ，请用两种方法来表示S ．
1 1
（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．
已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．
（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，S ＝ ＝a2+b2，
1
S ＝c2；
1
（2）根据翻折可知，正方形A'B'C′D'的边长为b﹣a，
根据题意，可得 ，
解得 ，
∴a＝3，b＝6；
（3）∠DMN＝22.5°，理由如下：
∵B'D′∥AD，
∴∠B'D′M＝∠DMD′，
在正方形A'B'C′D'中，∠B′D′A′＝45°，
∴∠DMD′＝45°，
根据翻折，可知∠DMN＝∠D′MN＝22.5°，
∴∠DMN＝22.5°．
25．（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒
1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时
停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【解答】解：（1）由题意可得，BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），
∵∠B＝90°，
∴PQ＝ ＝ ＝4 （cm），
即PQ的长为4 cm；
（2）当BQ⊥AC时，∠BQC＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC＝ ＝ ＝20（cm），
∵ ，
∴ ，
解得BQ＝ cm，
∴CQ＝ ＝ ＝ （cm），
∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+ ）÷2＝9.6（秒）；
当∠CBQ＝90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2＝16（秒）；
由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角
形．
26．（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较
短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）
的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S ＝40，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3 2【解答】解：（1）S小正方形 ＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形 ＝c2﹣4× ab＝
c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝ ×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ，S +S +S ＝
1 2 3 1 2 3
40，
∴得出S ＝8y+x，S ＝4y+x，S ＝x，
1 2 3
∴S +S +S ＝3x+12y＝40，
1 2 3
∴x+4y＝ ，
∴S ＝x+4y＝ ．
2
故答案为： ．
