文档内容
专题 1.1 探索勾股定理
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动
探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理
教学目标 的意识及能力。
3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识
和合作交流的习惯
4.掌握勾股定理和它的简单应用。
1.重点
（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；
（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。
教学重难点
2.难点
（1）勾股定理的发现；
（2）用面积证勾股定理。知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c a2 b2 c2
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
√n
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【即学即练】
1．如图， 中， ．以 的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为
，若 ，则 的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．25
【答案】B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得 ， ， ，进而得
，再由勾股定理得： ，则 ，进而得 ，由此即可得
出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：根据正方形的面积公式得： ， ， ，
，
，在 中， ，
，
，
．
故选：B．
2．若一个直角三角形的两条边的长分别为 、 ，则第三条边的长是 ．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当 为斜边， 为直角边时；
当 、 都为直角边时，分别利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 为斜边， 为直角边时，
由勾股定理得第三边的长为： ；
当 、 都为直角边时，
由勾股定理得第三边的长为： ；
故答案为： 或 ．
3．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，
(1)求 的长；
(2)求点B到斜边 的距离；
【答案】(1) ；
(2)点B到斜边 的距离为 ．
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质．
（1）根据勾股定理求出 ，由折叠的性质可得 ，设 ，则 ，利用勾股
定理可得方程 ，解方程即可得到答案；
（2）利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，∴ ，
由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：点B到斜边 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
答：点B到斜边 的距离为 ．
知识点02 勾股定理验证
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【即学即练】
1．如图，在长方形 中，点 在 上，点 在 上， ， ， ，
且 ．(1)请用两种不同的方法计算梯形 的面积，探究 、 、 三者之间的等量关系（结果化成最简）；
(2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：
①当 ， 时，长方形 的面积是______；
②当 ， 时，求 面积．
【答案】(1)
(2)①28 ②14
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法
【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结
合的思想解决问题．
（1）证明 ，利用两种方法求出梯形的面积，可得结论；
（2）①利用（1）中结论求出b可得结论；
②想办法求出 可得结论．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴梯形 的面积 ，
∴ ；
（2）解：①当 ， 时， ，
长方形 的面积是 ；
故答案为：28；
②当 ， 时， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 面积 ．
题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】如图字母 所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】此题主要考查勾股定理．根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾
股定理求出字母 所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
【详解】解：∵ ，
∴字母 所代表的正方形的面积 ．
故选：C．
【变式1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形 的面积分别是
，则最大正方形E的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义得到正方形 的面积和即为最大正方形E的面积，
，
最大正方形E的面积为 ，
故选：D．
【变式2】如图，在 中， ，分别以 ， ， 为边向外作半圆，并分别记它们的面
积为 ， ， ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，根据在 中， ，得到 ，结合 ，
，求出 ，进而求出 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式3】如图，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方
形，其面积分别记为 ， ， ， ．若 ， ， ，则 的长为（ ）A．7 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接 ，由题意得出 ，
，从而得出 ，即可得解．
【详解】解：如图：连接 ，
，
由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去，不符合题意），
故选：D．
题型02 已知直角三角形的两边，求第三边长
【典例1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是确定直角边和斜边．根据勾股定理，已知
直角三角形的两条直角边长，第三条边即斜边长的平方为两条直角边的平方和．
【详解】解： 直角三角形的两直角边长分别为3和4，
根据勾股定理，第三条边即斜边长的平方为 ；
故答案为： ．
【变式1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的长的平方，据此求
解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6，8，
∴第三边长是 ，
故答案为： ．
【变式2】计算图中线段的长： ， ．
【答案】 12 26
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解
即可．
【详解】解：由题意得， ， ，
故答案为：12；26．
【变式3】在 中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ．
【答案】10或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所
以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：设第三边为x，则
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，
由勾股定理得， ，解得： ；
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，
由勾股定理得， ，解得 ．
所以第三边长为10或 ．
故答案为：10或 ．
题型03 等面积法求直接斜边上的高问题
【典例1】若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为 ，设斜边上的高为 再由等面积法计算即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12，
∴斜边长为 ，
设斜边上的高为
由题意得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】直角三角形两直角边长分别为3和 ，则斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求斜边长，然后根据直角三角形的面积列式计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长为 ，
设斜边上的高为 ，
则
解得
故答案为： ．
【变式2】如图，在 中， 是斜边上的高，如果 ， ，那么 ．
【答案】1
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出
，根据等积法求出 的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：在 中，根据勾股定理得，
，
，
∵ 是斜边上的高，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【变式3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图， 是 的高，
高 是 和 的公共直角边，由勾股定理得， ，设 ，
可建立关于 的方程，求得 ，进而通过计算就可求出 的面积．根据睿明同学的
方法，若 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】84
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得 ，再由勾股定理求出 ，最后由三
角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：由题意可得 ，
，
，
故答案为： ．
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）．【答案】45
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据网格作出等腰直角三角形即可解答．
【详解】解：如图：取格点D，则 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为：45．
【变式1】在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则 边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出 的面积，再根据勾股定理可求出
的长，进而根据面积公式即可求得 边上的高的长．
【详解】解：由题意可得 ，
∵ ，
∴ 中 边上的高长 ．
故答案为： ．【变式2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点 均在小正方形的顶点上．以点 为圆心，
长为半径画弧，圆弧交 于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在 中， ，
， ，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知， ， ，
在 中， ，则由勾股定理可得 ，
故答案为： ．
【变式3】在边长为1的正方形网格中， 均为格点，
(1) ___________， ___________
(2)求 中边 上的高
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键．
（1）对 和 直接运用勾股定理即可求解；
（2）先由割补法求出 的面积，再由 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴由勾股定理得： ，
，
故答案为： ， ；
（2）解：由图可得： ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】如图，在 中， ， ， ，把 折叠，使 落在直线 上，则
的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】根据勾股定理逆定理反推出 ， 是直角三角形， ，再由折叠的
性质得到 ，设 ，则 ，得到 ，
解方程即可解答．
本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ 折叠 落在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得： ，
．
故答案为：6．
【变式1】如图，小明用一张长方形纸片 进行折纸，已知该纸片宽 为 ，长 为 ．当
小明折叠时，顶点 落在 边上的点 处（折痕为 ）．则此时 的面积为 ．【答案】25
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，
， ， ，在 利用勾股定理可求得 ，从而知道 ，然后设
， ，通过 ，求得 ，最后利用
算得答案．
【详解】解：由题意可知， ，
，
长方形 ，宽 为 ，长 为
， ，
设 ，
故答案为：25．
【变式2】如图，三角形纸片 ， ，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边 上点D处，
再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交 于点E．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得 是直角三角形，得到 ，
设 ，则 ，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式3】在四边形 中， ．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．
则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中
．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
题型06 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【典例1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角
线 交于点 ，若 ， ，则 ．
【答案】73
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在 和 中，根据勾股定理得 ，进一步得
，再根据 ，然后根据等量代换即
可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，∵ ，
∴ .
故答案为：73．
【变式1】 中，斜边 ，则 的值是 ．
【答案】2
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】先画图，再利用勾股定理可求 的值，从而易求 的值．
【详解】解：如图所示，
在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是∶2．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式2】如图，四边形 的对角线 ，相交于点 ．若 ，则
．
【答案】40
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得 ，进
而可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴．
故答案为：40．
【变式3】如图，等腰直角 ，等腰直角 ， ，连接
相交于点M，则 ．
【答案】50
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明
是解题的关键．设 交 于点F，由等腰直角三角形的性质得 ，
， ，可证明 ，求得 ，
，再证明△ ，得 ，则
，推导出
，求得 ，于是得到问题的
答案．
【详解】解：设 交 于点F，
∵ 和 都是等腰直角三角形， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50．
题型07 利用勾股定理证明线段平方关系
【典例1】如图， 和 都是等腰直角三角形， ，D为 边上一点，
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）利用 证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质，推出 ，利用勾股定理即可得证．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【变式1】如图，在 中， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三
角形、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股
定理是解决问题的关键．
（1）在 和 中，分别运用勾股定理可得 ， ，利用 边
相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出 的值，利用平方差公式，结合 ，可求得
，而 ，由此可求得 、 ，由勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明： ，
在 和 中，根据勾股定理得，
， ，
，
移项得： ．
故 ．
（2）解： ， ，
，
，
，即 ，
，
，解得 ，
，．
【变式2】如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中 ， 为 边上一
点．
(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明 即可；
（2）根据（1）可得 ，得到 ， ，得到 是直角三角
形，根据勾股定理证明即可．
【详解】（1） ．理由如下：
∵ 与 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（2） ．理由如下：
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据
全等三角形的性质得出 ．
【变式3】如图，在 中，已知 ，D是斜边 的中点， 交 于点E，连接(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
【答案】(1)见解析
(2)14
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得 ，在 利用勾股定理建立线段的平方关系，再
等量代换即可求证；
（2）在 中，由勾股定理得 的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵D是斜边 的中点， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
即 .
（2）解：∵D是斜边 的中点， ，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键．
题型08 勾股定理的验证方法
【典例1】（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方
形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，
，求该飞镖状图案的面积．【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24
【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题
【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式，
（1）根据 ， ，进行推理验证即可；
（2）求出直角三角形的边长，设 ，依题意有 ，求出x，再根据直角三角形的
面积去求．
【详解】解：（1） ，
即
则 ；
（2）
设
依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
【变式1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为
如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为
__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．(2)当 时，求空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)13
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为
，再把 代入计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为： ，
即最后化简为 ；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；
根据面积相等，得： ，
化简最后结果是 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意得：空白部分的面积为： ，
当 时，原式 ．
【变式2】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接 ，
的三边长分别为a，b，c（ ），四边形 的面积可以表示为 或 ，
从而推导出 ．
【探究】（1）淇淇将 从图①的位置开始沿 向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，
与 交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接 ， ．
______；______ ______ ______．
由 ，可得到______；整理得：______．
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形 的面积为200， 的长为12，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）16．
【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理的证明和应用：
（1）利用两种不同的方法表示出四边形 的面积，即可得证；
（2）分割法表示四边形 的面积，进而求出 的值，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接 ， ．
，
如图1所示， ，则由平移的性质可得在图2中 ，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
或 （舍去），
．【变式3】【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ， ；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）见解析；（2）方法一： ；方法二： ；见解析；（3）
【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意，通过证明 即可判断得解；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形 和
，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ，可得
又设 故 又在 中， ，则求出 后可列
式计算得解．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又 ， ，
∴ ．
∴ ；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
（3）由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ，
，
设 则 ，
在 中， ，
，
将 代入可得，
，，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为： ．
1．已知一个 的两边长分别为 和 ，则第三边长的平方是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还
是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为： ；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为： ．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：B．
2．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为 ，若
，则阴影部分的面积为 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出 ，
再根据已知，得出 的值，即可求出答案；
【详解】解：由勾股定理得，
，
即 ，∵ ，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积 ，
故选：D．
3．如图，在 中， 于点D， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，设 ，利用 是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程
进行求解即可．
【详解】解：设 ，则： ，
，
，
，
，
解得： ，
，
故选：A．
4．如图，在 中， ， ．在高线 所在直线上任取一点 （不与点 ， 重合），连
结 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．18 C．36 D．72【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理．在 及 中分别将 及 的表示形式代入表示出 和
，在 及 中可分别表示出 及 ，据此计算即可得出结果．
【详解】解：
．
故选：C．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面
积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解： 、大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，
∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、大正方形的面积为： ，也可看作是 个矩形和 个小正方形组成，则其面积为： ，
∴ ，
∴原选项不能证明勾股定理，符合题意；
、大正方形的面积为： ，也可看作是 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，
∴ ，∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、梯形的面积为： ，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形
组成，则其面积为： ，
∴ ，
∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
故选： ．
6．在 中， ， ，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．根据 的度数确定 为直角三角形，
且 为斜边，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解： 中， ，
为直角三角形，且 为斜边．
，
．
故答案为： ．
7．如图，阴影部分表示以 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作 和 ．
若 ， ，则 的周长是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到
，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得， ，
，
，
，
，（负值舍去），
的周长 ，
故答案为： ．
8．如图，在 的方格中，小正方形的边长是 ，点 、 、 都在格点上，则 边上的高为 ．
【答案】 /
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求 的面积，再根据勾股定理可求出 的长，
进而根据面积公式即可求得 边上的高的长．
【详解】解：由题意可得 ，
又 ，
边上的高为 ，
故答案为： ．
9．直角三角形的两边长 ， 满足 ，则第三边长是 ．
【答案】5或
【知识点】用勾股定理解三角形、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理，非负数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
① 为斜边时，则第三边长为： ；
② 为直角边时，则第三边长为： ；综上所述，第三边长为5或 ．
故答案为：5或 ．
10．有一块直角三角形纸片：
（1）如图 ，若两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折叠，使 恰好在斜边 上，且
点 与点 重合，则 的长为 ；
（2）如图 ，若两直角边 ， ，点 在边 上，以 为折痕 折叠得到 ，边
与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 ； 或
【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理
得到方程，解方程求线段的长度．
（1）首先根据勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知 ， ，
，设 ，则 ， ，根据勾股定理可得方程 ，
解方程求出 的长即可；
（2）过点 作 垂足 在 的延长线上，则四边形 是矩形，设 ，则
， ， ，根据勾股定理可得 ，解方程求
出 的值，即为线段 的长；当 平分 时 ，点 在 的延长线上时，设 ，则 ，
，根据勾股定理可得 ，解方程求出 的值即为 的长度．
【详解】（1）解：在 中 ， ， ，
，
由折叠的性质可知： ，
， ， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，解得： ，
，
故答案为： ；
（2）解：如下图所示，过点 作 垂足 在 的延长线上，
则四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
， ，
由 可知 ，
，
在 中， ，
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
时， 为直角三角形；
如下图所示，当 平分 时 ，点 在 的延长线上，
则 ， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
当 时， 为直角三角形；综上所述，若 为直角三角形则 的长为 或 .
故答案为： 或 ．
11．在 中， ，三条边长如图所示，求 的值．
【答案】 的值为5
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：由勾股定理得
解得
∴ 的值为5．
12．在 中， ，设 ， ， ．
(1)已知 ， ，求c；
(2)已知 ， ，求a．
【答案】(1)17
(2)12
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：在 中， ，
由勾股定理得 ，
因为 ，
所以 ．（2）解：在 中， ，
由勾股定理得 ，
因为 ，
所以 ．
13．如图，在 中， ， ，垂足为D．已知 ， ．设 长为x．
(1)根据勾股定理，得 ______．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
（1）根据题意可知， ， ， ，再根据勾股定理可以求得 的长，然后根据
和 ，即可用含x的代数式表示出 ；
（2）根据 和勾股定理，可以求得x的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 长为x，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
14．如图，某广场有一块三角形空地 ，管理部门计划将这块空地分割成四边形 和 ，分
别摆放不同的花卉．经测量， ， 米， 米．(1)求 的长；
(2)若 米， 米，求三角形空地 的面积．
【答案】(1) 的长为8米
(2)三角形空地 的面积为96平方米
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）直接在 中运用勾股定理求解即可；
（2）I先根据线段的和差可得 、 ，再运用勾股定理可得 ，最后根据三角形的面积
公式求解即可．
【详解】（1）解：在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的长为8米．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ．
在 中，由勾股定理得 ，
∴ （平方米）．
答：三角形空地 的面积为96平方米．
15．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾
股定理进行探索．如图1，在直角三角形 中， ．分别以
为边长向外作正方形 、正方形 和正方形 ，其面积分别记作 ．
(1)图1中 ， 与 之间的数量关系为______，直角三角形 的三边 之间的数量关系为________．
(2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，
（1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到 ， 与 之间的数量关系，也从而得到 之间
的数量关系；
（2）根据圆的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：由勾股定理可得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）解：以 为直径的半圆的面积为 ．
以 为直径的半圆的面积为 ．
以 为直径的半圆的面积为 ．
根据勾股定理得 ，
∴ ．
∴以 为直径的半圆的面积与以 为直径的半圆的面积之和等于以 为直径的半圆的面积．
16．在 中， 分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿着直线
折叠，顶点 的对应点是 ．
(1)如图①，如果点 和顶点 重合，求 的长；(2)如图②，如果 是 的中点，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾
股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
，
∴由勾股定理得： ，
，
解得： ，
．
（2）解：∵点 落在 的中点，
，
设 ，则 ，
，
∴由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即 的长为： ．
17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾
股定理 ．(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 ， ，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，进而设 ，则 ， ，
在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，
∵ ， ，
∴空白部分的面积 ；
故答案为： ．
（2）解：∵折叠，
∴ ，在 中，∵ ， ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得：
即
18．［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵
感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面
是小明利用图①证明勾股定理的过程．如图①， ，求证： ．
证明：连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
则 ．
又 ，
，
．
请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中 ，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据
， 可得出结论．
【详解】证明：如答图，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，则 ．
，
，
，
．
