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专题 08 分式性质与运算
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重难突破
知识点一 分式有意义及值为0的条件
1、分式的定义
一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 是分式的分子，
是分式的分母．
注意：三要素
（1）形如 的式子；（2） ， 均为整式；
（3）分母 中含有字母.
2、分式有意义、无意义的条件
（1）当分母 时，分式 无意义；
（2）当分母 时，分式 有意义．
注意：
①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；
②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.
3、分式的值
（1）分式值为 ：分子为 且分母不为 ，即 ；
（2）分式值为正：分子分母同号，即 或 ；
（3）分式值为负：分子分母异号，即 或 ．
注意：
①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.
②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨
论分式的值是否等于0.
典例1
（2020•姑苏区一模）若分式 在实数范围内有意义，则 的取值范围为
A． B． 且 C． D．
【解答】解： 分式 在实数范围内有意义，
，
故选： ．典例2
（2021春•罗湖区校级期中）已知分式 的值为0，那么 的值是
A． B．3 C．1 D．3或
【解答】解： 分式 的值为0，
，则 ，
解得： ，
故选： ．
知识点二 分式基本性质
1、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用字母表示： ， （ ）
其中 是不等于0的整式．
注意：
（1）分式的符号法则
将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.
速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.
（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.
2、分式的约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．
约分通常要把分式化为最简分式或整式．
典例1
（2021春•光明区期中）若把分式 中的 和 都扩大为原来的5倍，那么分式的值
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍C．不变 D．缩小为原来的 倍
【解答】解：把分式 中的 和 都扩大为原来的5倍可得，
，
所以原分式的值扩大5倍，
故选： ．
典例2
（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，故 错；
、该分式的分子、分母是“和”的形式，不能进行约分，故 错；
、 ，故 正确；
、分式的分子不能进行分解因式，所以该分式不能进行约分，故 错．
故选： ．
知识点三 分式的运算
1、分式的乘除法
（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
用式子可以表示为： ．
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子可以表示为： ．
（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．
用式子可以表示为：
（n是正整数，b≠0）
2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
注意：确定最简公分母的方法
①系数的最小公倍数；②所有的因式；③指数取最大的.
3、分式的加减
加减法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．式子表示为： ．
异分母分式相加减：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
式子表示为： ．
注意：异分母分式加减法的一般步骤：
①分式的分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式；
②找出各分母的最简公分母；
③通分，将异分母分式化为同分母分式；
④利用同分母分式加减运算的法则计算；
⑤将计算结果化为最简分式或整式.
典例1
（2020•历城区三模）化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
故选： ．
典例2
（2020春•宁波期末）已知 ，则分式 的值为 ．【解答】解： ，
．
故答案为： ．
典例3
（2021•罗湖区校级二模）先化简 ，然后从 ， ，0选择一个合适的数字代入
求值．
【解答】解：原式
，
由分式有意义的条件可知： ，
原式 ．
巩固训练
一、单选题（共7小题）
1．（2020春•槐荫区期末）要使分式 有意义，则 的取值应满足A． B． C． D．
【解答】解：由题意知 ，
解得： ，
故选： ．
2．（2020春•萧县期末）要使分式 有意义， 的取值范围为
A． B． C． D． 且
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
3．（2020春•龙岗区期末）分式 为0的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：分式 为0的条件是： ， ，
解得： ，
故选： ．
4．（2020春•福田区校级期末）分式 可变形为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
5．（2019秋•建水县期末）若 ， 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
、原式 ，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
、原式 ，与原来的分式的值不同，故本选项错误；、原式 ，与原来的分式的值相同，故本选项正确．
故选： ．
6．（2021•深圳模拟）化简 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选： ．
7．（2020春•龙岗区期中）计算： 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
．
故选： ．
二、填空题（共5小题）
8．当 时，分式 的值为零．
【解答】解：要使分式由分子 解得： ．
而 时，分母 ．
时分母 ，分式没有意义．所以 的值为 ．
故答案为： ．
9．（2020春•龙岗区校级月考）约分： ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
10．（2020•于洪区一模）化简： ．
【解答】解：原式
，
故答案为： ．
11．（2020春•和平区期末）已知 ，则实数 ．
【解答】解：已知等式整理得： ，
可得 ，
即 ， ，
解得： ， ，
则 ．
故答案为：5．
12．（2019春•成华区期末）已知 ，则 ， ．
【解答】解： ，
，
，
，．
故答案为34，32．
三、解答题（共2小题）
13．（2021•宝安区模拟）先化简，再求 的值，其中 ．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
14．（2021•坪山区二模） 先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为 的值
代入求值．
【解答】解：
，
，
， ，4，
，
当 时，原式 ．
