专题1.1等腰三角形的性质-八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第2套）

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.1等腰三角形的性质 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑 色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2021春•连南县期末）已知等腰三角形的一个角为 ，则其底角为 A． B． C． D． 或 【分析】由于不明确 的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分 的角是顶角和底角两种情况讨论． 【解析】当 的角为等腰三角形的顶角时，底角 ； 当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ， 故它的底角的度数是 或 ． 故选： ． 2．（2020秋•长春期末）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，连接 ，则 的大小为 A． B． C． D． 【分析】先根据三角形内角和定理求出 ，再根据等腰三角形的性质求出 ，再根据角的和差关 系即可求解． 【解析】在 中， ， ， ， ，， ． 故选： ． 3．（2020秋•建华区期末）下列四个说法： ①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； ②等腰三角形的两腰上的中线长相等； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25． 其中正确的个数为 A．1个 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形性质即可判断①，画出图形证 ，即可判断②，根据直角三角形性 质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断③，根据三角形的三边关系定理即可判断④． 【解析】如图1， 在 中， ，则 ， 等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误； 如图2， ， ， ， ， ． 在 和 中， ， ． ，故②正确； 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误； 等腰三角形的一边长为5，一边长为10， 只能三边是10，10，5， 它的周长是25，故④错误． 故选： ．4．（2020秋•武都区期末）已知等腰三角形的一个内角为 ，则它的另外两个内角是 A． ， B． ， C． ， 或 ， D．不确定 【分析】根据等腰三角形的性质推出 ，分为两种情况：①当底角 时，②当顶角 时，根据 和三角形的内角和定理求出即可． 【解析】 ， ， ①当底角 时，则 ， ； ②当顶角 时， ， ， ； 即其余两角的度数是 ， 或 ， ， 故选： ． 5．（2020秋•北仑区期末）如图， ， 分别是 的中线和角平分线，若 ， ， 则 的度数是A． B． C． D． 【分析】依据三角形内角和定理，即可得到 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质， 即可得到结论． 【解析】 ， ， ， ， 是 的中线， 是 的角平分线， ， 是 的角平分线， ， ． 故选： ． 6．（2021•陕西模拟）如图， 中， ， 于点 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为 A．3 B．4 C．5 D．6【 分 析 】 先 得 出 是 的 中 线 ， 得 出 ， 又 ，将 代入即可求出 ． 【解析】 中， ， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 7．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在 中， ，点 在 上，且 ，点 在 的延长线上，且 ，则 的大小为 A． B． C． D． 【 分 析 】 由 ， ， 可 得 ， ， 设 ， ， ，则 ，解得 ，由此即可解决问题． 【解析】 ， ， ， ，设 ， ， ， 则 ， 解得 ， ； 故选： ． 8．（2020•自贡）如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，则 的度数是 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】 在 中， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 9．（2020 秋•肇州县期末）如图，在 中， 、 分别为 、 边上的点， ， ．若 ，则 的度数为A． B． C． D． 【分析】可设 ，根据等腰三角形的性质可得 ，则 ，根据等腰三角形的性 质可得 ，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得 ，再根据三 角形内角和为 ，列出方程即可求解． 【解析】设 ，根据等腰三角形的性质得 ，则 ，根据等腰三角形的性质得 ，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得 ， 依题意有 ， 解得 ． 故选： ． 10．（2021春•威宁县期末）如图，在第1个 中， ， ，在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ；在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ； 按此作法进行下 去，第 个三角形的以 为顶点的内角的度数为 A． B． C． D．【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别 求出 ， 及 的度数，找出规律即可得出第 个三角形的以 为顶点的内角的度数． 【解析】 在 中， ， ， ， ， 是△ 的外角， ； 同理可得 ， ， 第 个三角形的以 为顶点的内角的度数为 ， 故选： ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020秋•江都区期末）如果等腰三角形的一个内角是 ，那么它的顶角的度数是 或 2 0 ． 【分析】先分情况讨论： 是等腰三角形的底角或 是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理 进行计算． 【解析】当 是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 ； 当 是等腰三角形的底角时，则顶角是 ． 故答案为： 或20． 12．（2020秋•茌平区期末）已知 是等腰三角形，它的周长为 ，一条边长 ，那么腰长是 6 或 7 ． 【分析】当腰长 时，底边 ，当底边 时，腰长 ，根据三角形的 三边关系，即可推出腰长． 【解析】 等腰三角形的周长为 ， 当腰长 时，底边 ，即 ，能构成三角形， 当底边 时，腰长 ，即 ，能构成三角形， 腰长是 或 ，故答案为：6或7． 13．（2020秋•江汉区期末）如图，在 中， ， 分别在边 和 的延长线上， ， ，若 ，则 ． 【 分 析 】 由 ， ， 可 得 ， ， 设 ， ，由三角形的内角和定理可求出 ，则可得出答案． 【解析】 ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14．（2021•乌鲁木齐一模）如图，在 中， ，点 在 上，且 ，则 ． 【分析】首先设 ，利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质，即可用 表示出 与 的度数，又由三角形内角和定理，即可求得 的值，继而求得答案． 【解析】设 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 解得： ， ， 故本题答案为： ． 15．（2020秋•沿河县期末）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则此三角形顶角度数为 或 ． 【分析】根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【解析】当 是锐角三角形时， ， ， ， 当 是钝角三角形时， ， ， 故答案为： 或16 ． （ 2020 秋 • 香 坊 区 期 末 ） 如 图 ， 中 ， 点 、 点 是 边 上 的 两 个 点 ， 若 ，则 的度数为 9 0 ． 【分析】根据等边三角形的性质，得 ，再根据等腰三角形的性质和三角形的 外角的性质求得 ，从而求解． 【解析】 ， ， ， ． 又 ， ， ， ， 故答案为：90． 17．（2021春•法库县期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的 “三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可绕 转动， 点固定， ，点 、 可在槽中滑动．若 ，则 的度数是 ． 【分析】由等腰三角形的性质可得 ， ，由外角性质可得 ，即可求解． 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 18．（2020秋•澄海区期末）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不 与点 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ，点 在运动过程中，若 是 等腰三角形，则 的度数为 或 ． 【分析】分为三种情况：①当 时， ，根据 ，得出此时不符合； ②当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定理求出 ，根据三 角形的内角和定理求出 即可；③当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定 理求出 ． 【解析】 ， ， ①当 时， ， ，此时不符合； ②当 时，即 ， ， ； ； ③当 时， ， ， ； 当 是等腰三角形时， 的度数是 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2021秋•临清市期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在 上， ， ，求 的大小． 【分析】根据等腰三角形的性质得到 ， ， ，计算即可． 【解析】 ， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， ． 20．（2020秋•南关区期末）如图，在 中， ， 是 边上的中点， ．求： （1） 的大小；（2） 的大小． 【分析】由已知 ， 是 边上的中点，可得 为三角形的高，在直角三角形中，可求解各个 角的大小． 【解析】（1） ， 是 边上的中点， ，即 ； （2） ， ． 21．（2020秋•船营区期末）如图，在 中， ， ， ，且 ，求 的度数． 【分析】由条件可先求得 ，再根据等腰三角形的性质可求得 ，则可求得 ． 【解析】 ， ， ， ， ， ． 22．（2020秋•乐亭县期末）若 、 是 的两边且 （1）试求 、 的值，并求第三边 的取值范围． （2）若 是等腰三角形，试求此三角形的周长． （3）若另一等腰 ，其中一内角为 ，另一个内角为 试求此三角形各内角度数． 【分析】（1）利用非负数的性质可求得 、 的值，根据三角形三边关系可求得 的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算； （3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得 ，可得出三个角 的度数． 【解析】（1） ， ， ， ； （2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10； 当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11； 综上可知等腰三角形的周长为10或11； （3）当底角为 、顶角为 时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得 ， 此时三个内角分别为 、 、 ； 当顶角为 、底角为 时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得 ， 此时三个内角分别为 、 、 ； 当底角为 、 时，则等腰三角形性质可得 ， 解得 ， 此时三个内角分别为 、 、 ； 综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 23．（2021秋•瑶海区期中）如图，在 中， ， 为 边上一点， ， ， ，垂足分别为点 ， ， ．试说明： ．【分析】连接 ，根据 的面积 的面积 的面积，以及 ，即可得到 ． 【解析】证明：连接 ． 则 的面积 的面积 的面积， ， ， ． 24．（2021秋•东台市期中）如图，等腰 中， ， ， （1）若 于 ，求 的度数； （2）若 平分 ，求证： ． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答． 【解析】（1） 等腰 中， ， ， ，于 ， ， ； （2） 等腰 中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ．