文档内容
专题1.1 探索勾股定理（知识讲解）
【学习目标】
1. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容；
2. 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求
出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a，b
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，
c a2 b2 c2
斜边长为 ，那么 .
特别说明：：（1）勾股定理揭示了一个直角三
角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直
角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为 的线段.
要点四、勾股数
x2 y2 z2
满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯
x、y、z
数），显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角
形必为直角三角形.
n2 1，2n，n2 1 n1,n
特别说明：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长；
2n2 2n,2n1,2n2 2n1 n
（2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边
长；
m2 n2,m2 n2,2mn mn,m、n
（3） （ 是自然数）是直角三角形的三
条边长；
【典型例题】
类型一、用勾股定理解直角三角形
1．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别
为AB、AC．
（1）若拉索 ，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝
米；
（2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主
梁AD的高度．【答案】（1）24米；（2）12米
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理建立方程即可得解．
解：（1）∵ ，AB、BC的长度分别为10米、26米，由勾股定理得：
故答案为：AC=24米；
（2）∵ ，
∴BD＝21﹣CD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝5，
【点拨】本题考查了勾股定理结合方程的应用；关键在于根据勾股定理建立方程．
【变式】如图，在 ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC边上的高
AD．【答案】12cm
【分析】设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，求得x=9，
再根据勾股定理求得AD．
解：设BD=xcm，则CD=(14﹣x)cm，
依题意有152﹣x2=132﹣(14﹣x)2，
解得x=9，
故BC边上的高AD为12cm．
【点拨】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和
一定等于斜边长的平方，本题关键是求出BD的长．
类型二、勾股（树）数的问题
1．如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积
为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积.
【答案】144平方厘米.
【分析】设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，由勾股定理得a2+b2=c2，然后根
据a2=25，c2=169即可求出b2，也就是B的面积.
解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2，
∵a2=25，c2=169，
∴b2=169-25=144，
∴B面积是144平方厘米.【点拨】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通
“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题
转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本
题的关键．
举一反三：
【变式】 已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
(1)如果a=6，b=8，求c； (2)如果a=12，c=13，求b.
【答案】(1) c＝10 (2) b＝5
【分析】根据勾股定理、代入已知数据计算即可．
解：(1) a=6，b=8， （2）a=12, c=13
故答案为 (1) c＝10 (2) b＝5
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握对应值是解题关键
2．已知：整式 ，整式 ．
尝试: 化简整式 ．
发现: ，求整式 ．
联想:由上可知， ，当n＞1时 为直角三角形的三边
长，如图．填写下表中 的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ / 8勾股数组Ⅱ /
【答案】尝试： ；发现： ；联想：17，37.
【分析】
先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可
解答．
【详解】
A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
【变式】王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
22− 32− 42− 52−
a …
1 1 1 1
b 4 6 8 10 …
22+ 32+ 42+ 52+
c …
1 1 1 1
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=___，
b=___，c=___.
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想?
(3)观察下列勾股数32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412，分析其中的规律，写出
第五组勾股数.
【答案】（1）n2−1，2n， n2+1；（2）是直角三角形；（3）112+602=612.
【分析】
（1）探究规律后，利用规律即可解决问题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（3）观察发现第一个数的奇数，另外两个数的底数的和是这个奇数的平方，由此即可解决
问题；
解：（1）由题意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1，故答案为n2-1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
∴a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602=612．
【点拨】考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规
律解决问题．
类型三、以直角三角形三边长求图形面积
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，
BC=8，CD=3．
（1）求DE的长； （2）求△ADB的面积．
【答案】（1）DE=3；（2） .
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求
出AB的长，然后计算△ADB的面积.
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
∴△ADB的面积为 .
举一反三：【变式】 如图所示， ， ， ，求正方形 的面积.
【答案】 .
【分析】在 中根据勾股定理计算出AB2的长度，在 中根据勾股定
理计算出BD2，从而得出正方形BEFD的面积.
解：在 中，根据勾股定理，
得 .
在 中，根据勾股定理，
得 .
所以 .
【点拨】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长
度时，可只求线段的平方.
类型四、勾股定理与折叠问题
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E
点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．
【答案】25.
【分析】先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积．
解：如图，过G作GH⊥AD于H，
∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，
∴AE=10﹣6=4．
设AF=x，则EF=BF=8﹣x，
∵在Rt△GHE中，∠A=90°，
∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
1 1
∴△EFG的面积= EF•EG= ×5×10=25．
2 2
【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理以及三角形面积求法等知识，注
意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在 中， ， ， ．现将
进行折叠，使点A恰好与点B重合，求折痕DE的长．
【答案】 ．【分析】由折叠的性质可知 ， ，利用勾股定理，解出
，设 ， ，在 中，由勾股定理解得
即 ，最后在 中再利用勾股定理解题即可．
解：由折叠可知 ，
在 中，
∵ ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中．
【点拨】本题考查三角形中的折叠问题、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，四边形ABCD是一个矩形，BC=10cm，AB=8cm。现沿AE折叠，
使点D恰好落在BC边上的点F处，求：（1）BF的长；（2）CE的长.
【答案】 (1)6; (2)3.
【分析】（1）根据折叠的性质得AF=AD=10,在直角三角形ABF利用勾股定理即可证
明；（2）由EF＝DE＝CD-CE＝8-CE，CF＝BC-BF＝4在Rt△EFC中利用EF²＝CF²+CE²，
即（8-CE）²＝16+CE²，即可求出CE的长.
解：∵矩形ABCD
∴AD＝BC＝10,CD＝AB＝8, ∠B＝∠C＝∠D＝90
∵△ADE沿AE折叠至△AFE
∴AF＝AD＝10,EF＝DE＝CD-CE＝8-CE
∴CF＝BC-BF＝10-6＝4
∵EF²＝CF²+CE²
∴（ 8- CE）²＝16+CE²
∴CE＝3【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
类型五、利用勾股定理求两线段平方和（差）
5．如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球
从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小
球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，试求机器
人行走的路程BC是多少？
【答案】 .
【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC
＝ ，根据勾股定理求出 的值即可．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC＝AC，
设BC＝AC＝ ，
则OC＝ cm，
在Rt△BOC中，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
答：机器人行走的路程BC为50cm．
【点拨】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的
平方是解题的关键.
举一反三：【变式】如图，在 中， ，求BD的值.某学习小
组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.
（1）过点A作 交BC于D，设 ，用含 的代数式表示CD，则
______.
（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设BD=x，由CD=BC-BD表示出CD，（2）分别在直角三角形ABD与
直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到
AD的长
解：（1）设BD=x ， CD=BC-BD=
（2）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14-x，
由勾股定理得：
故 ，
解得： .
【点拨】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
类型六、利用勾股定理求线段之间关系
1．如图，在四边形 中， ， 于点 ，
.求证 .【分析】 根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
证明：连接 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键. 在直角三
角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
举一反三：
【变式1】如图 和 都是等腰直角三角形， ， ，顶点 在 的斜边 上，求证： ．
【分析】连结BD，易证 ，即BD=AE、AC=BC．又可证明出
∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的．
证明：如图，连结BD ，
∵ ，
∴ ．
∴在△EAC和△DBC中， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ 在 中， ，
∴ ．
∵ 在 中， ，
∴ ．【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．
灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式2】如图在 中， ，点E，F分别在 上，求证：
．
