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专题08 二次函数中的等腰等直三角形
1．如图，已知二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直线 分别交直线 和抛物线于点M，N，当 是等腰三角形时，直接写出m的值．
2．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两点，其对称
轴与 轴交于点 .
(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________；
(2)连接 ，在线段 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件
的点 的坐标；若不存在，请说明理由；3．如图所示，关于 的二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，抛物线的对称轴与 轴交于点 .
(1)求二次函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由；
4．如图，二次函数的图象与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴 与 轴交于点 ，点
是二次函数图象上一动点， 交其对称轴于点 ，点 关于点 成中心对称，连接 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点 在二次函数图象上运动，当 为等腰直角三角形时，请直接写出点 的坐标．5．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴交于点A，B（点B在点A
的左侧），与 轴交于点C，过动点 作平行于 轴的直线，直线与二次函数
的图像相交于点D，E．
(1)写出点A，点B的坐标；
(2)直线上是否存在一点F，使得 是等腰直角三角形？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
6．已知：二次函数 的图象与x轴交于点A、 ，顶点为
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，过A、C两点作直线，并将线段 沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E
处，若点F在这个二次函数的图象上，且 是以 为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标7．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交
于点C.
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若点P在x轴上，且 PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标.
△
8．如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为 与点 ，与 轴交于点
.
(1)求此二次函数关系式和点 的坐标；
(2)在 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点 的坐标；若不存
在，请说明理由.
9．如图，抛物线 与x轴交于 两点，A点坐标为 ，C点坐标为 ，
与y轴交于点 ．点P是抛物线上的一动点，且点P在直线 的下方，过点P作x轴的垂
线 ，交直线 于点E，垂足为D．(1)求抛物线的表达式；
(2)当 最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下（即 最大时）问在直线 上是否存在点Q，使 为直角三角形？若存
在，求出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，已知点A的坐标为 ，直线 与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接
，顶点为D的抛物线 过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点M是线段 上的一动点，过点M作 ，交 于点N．点Q从点B出发，以每秒1
个单位长度的速度沿线段 向点A运动，运动时间为t（秒）．当以 为直角边的 是等
腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．
11．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交
轴于点 ，已知 ， ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出
P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E时线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当点 运动到什么位
置时， 的面积最大？请求出 的面积最大面积及此时E点的坐标．
12．如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 是抛物线上一点，当 的面积为10时，求出 的坐标；
(3)点 是抛物线对称轴上的一点，点 是对称轴左侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的
等腰直角三角形时，请直接写出所有点 的坐标．
13．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，且
，直线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点，
设直线 上方抛物线上的动点 的横坐标为 .(1)求该抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)连接 、 ，当 为何值时， ；
(3)在直线 上是否存在一点 使 为等腰直角三角形，若存在请直接写出点 的坐标，不
存在请说明理由.
14．如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x
轴对称，点P(m，0)是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点
M.
(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)若点P在线段OB上，求线段MQ的最大值；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b，c是常数）经过点 ，点
，与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点M为抛物线第一象限上的点，当 时，直接写出点M的横坐
标．
16．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴交于 ，
两点，与 轴交于 点，其中 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴 上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点
的坐标；
(3)设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，直接写出使 为直角三角形的点 的坐标．
