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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 08 分式与分式方程
一、选择题
1．（2021八上·汉阴期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城
市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，
小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时
的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【答案】B
【完整解答】解：设通过AB的速度是xm/s，
根据题意可列方程： ，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故答案为：B.
【思路引导】根据路程、速度与时间之间的关系，分别表示出小敏通过AB及BC段的时间，根据共用时22
秒列出方程，然后求出方程的解.
2．（2021八上·芜湖期末）某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划
多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了 天，则可列出方程（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【完整解答】设实际种了 天，则原计划需要 天，根据题意，得
．
故答案为：A．
【思路引导】根据 计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩， 列方程即可。
3．（2021八上·芜湖期末）对于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
【答案】D
【完整解答】解：∵要想分式 有意义，
∴ 即 ，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴ 即 ，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
{|x|−2=0
∴ 即 ，故B不符合题意，D符合题意；
x+2≠0
故答案为：D．
【思路引导】根据 分式 ， 对每个选项一一判断即可。
4．已知关于x的方程 的增根是1，则字母a的取值为( )A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】A
【完整解答】解： ，
去分母得：3x-（x+a）=0①，
∵关于x的方程 的增根是1，
∴把x=1代入①得：3-（1+a）=0，
解得：a=2，
故答案为：A.
【思路引导】分式方程的增根就是使其最简公分母为0的根，据此求出x=1，再将分式方程化为整式方程，
又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将x=1代入整式方程求出a值.
5．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山
绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了
这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方
米，
根据题意，得 ，
故答案为：A．
【思路引导】设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米，根据题意即可列出方程。
6．（2021八下·乐山期中）已知实数x、y、z满足 ，则
的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【完整解答】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得， ，
故答案为：B
【思路引导】考查分式的化简求值，根据分式的基本性质里边同时乘x，y，z，可以让分子出现x²、y²、
z²的形式，为了方便与分母约分化简，所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
7．如图1，设 ,则有( ).A．02
【答案】C
【完整解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2,
乙图中的阴影部分面积=a2-ab,
K=
=1+ ,
∵a>b>0,
∴0< <1,
∴ 1b>0, 则值 的范围, 于是k的取值范围可求.8．若关于x的方程 的解为负数，且关于x的不等式组 无解，则所有
满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】C
【完整解答】解：
方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得a（x+1）+（x﹣1）（x+1）=（x﹣1）（x+a），
整理得，x=1﹣2a，
∵该方程的解是负数，
∴1﹣2a＜0且1﹣2a≠±1，
解得，a＞ 且a≠1，
解不等式组 得，4≤x，x＜a，
∵不等式组无解，
∴a≤4，
则 ＜a≤4，a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：2+3+4=9，
故答案为：C．
【思路引导】分式方程的左右两边都乘以（x﹣1）（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整
式方程，用含a的式子表示出x的值，又根据分式方程的解是负数，从而列出不等式组，求解得出a的取
值范围；分别解出不等式组中每一个不等式的解集，由不等式组无解，可得a≤4，综上所述即可得出a的
取值范围，再在其取值范围内找出整数解，并算出其和即可。9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取
值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【完整解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【思路引导】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等
式组求解即可.
二、填空题
10．若数a使关于x的不等式组 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程
＝1 有整数解，则满足条件的所有a的值之和是【答案】-18
【完整解答】解： ，
解①得x≥-3，
解②得x≤ ，
不等式组的解集是-3≤x≤ .
∵仅有三个整数解-3，-2，-1，
∴-1≤ ＜0
∴-8≤a＜-3，
＝1
3y-a+12=y-2.
∴y= ，
∵y≠2，
∴a≠18
又y= 有整数解，
∴a=-8，-6，-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-6-4=-18，
故答案为：-18.
【思路引导】 分别解出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有且仅有三个整数解，可
得-1≤ ＜0，求出-8≤a＜-3；解出分式方程y= ，由分式方程有整数解且y≠2，求出a的整数解，再相加即可.
11．（2021八上·红桥期末）若 是关于 的分式方程 的解，则 的值等于 ．
【答案】1
【完整解答】解：把x＝2代入方程 得 ，
解得a＝1．
故答案为：1．
【思路引导】将x=2代入方程 ，再求出a的值即可。
12．（2021八上·红桥期末）当 时，计算 的结果等于 ．
【答案】
【完整解答】解：
当 时，∴原式＝
故答案为：【思路引导】利用分式的混合运算化简，再将 代入计算即可。
13．（2021八上·燕山期末）“有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．”快速发展的中国高速
铁路，正改变着中国人的出行方式．下表是从北京到上海的两次列车的相关信息：
出行方式 出发站－到达站 路程 平均速度
特快列车T109 北京－上海 全程1463km 98 km/h
高铁列车G27 北京南－上海虹桥 全程1325km x km/h
已知从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟．设G27次高铁列车的
平均速度为x km/h，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【完整解答】解：由题意设G27次高铁列车的平均速度为x km/h，
可得 .
故答案为： .
【思路引导】根据题意，设G27次高铁列车的平均速度为x km/h，可列出方程。
14．（2021八上·石景山期末）若 ，则代数式 的值是 ．
【答案】3
【完整解答】解：∵x2+x-3=0，
∴x2+x=3，
∴=x2+x
=3，
故答案为：3．
【思路引导】先求出x2+x=3，再化简代数式计算求解即可。
15．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，
已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一
组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【完整解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，最后计算求
解即可。
16．（2020八下·重庆期末）端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟.
“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由
回收材料制成， 不计成本.其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20
克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷.端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是
“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，当天的总
利润率是50% .第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八
折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为 .
【答案】38%
【完整解答】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天
“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，
“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，
，
整理得： ，
端午节当天的总利润率是 ，
，即 ，
整理得： ，
第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种
产品的销量分别与前一天相同，
第二天总利润率为
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【思路引导】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天
“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，先根据利润倍数关系可求出 ，再根据端午节当天的总利润率可得 ，然后根据新的售
价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得.
17．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即
（x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 ；5
【答案】5
【完整解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是的最大值是
故答案为：5
【思路引导】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可
得答案．
18．一位工人师傅加工1500个零件后，把工作效率提高到原来的2.5倍，因此再加工1500个零件时，较
前提早了18个小时完工，问这位工人师傅提高工作效率的前后每小时各加工多少个零件？设提高工作效率
前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为 。
【答案】 −18 =
【完整解答】原来加工1500个零件所用时间为： ，现在加工1500个零件所用时间为： ，
∴根据题意可列方程为 −18 =
【思路引导】关键描述语为：“较前提早了18个小时完工”；本题的等量关系为：原来加工1500个零件
所用时间−18=现在加工1500个零件所用时间，把相应数值代入即可求解．
三、解答题
19．（2020八上·荣县月考）先化简，再求值： ，其中 为不等式组
的整数解，挑一个合适的 代入求值.
【答案】解：
==
=
解 得-2 ，
当x=-2时，原式= .
【思路引导】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解
因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简；再求出不等式组的整数解，最后将一个使分式有意义的值
代入计算即可.
20．（2021八上·嵩明期末）2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当
地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，
甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组
的速度．
【答案】解：设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，
依题意列方程得：
解得x=6
经检验，x=6是方程的解
∴x+3=6+3=9（km/h）
答：甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h．
【思路引导】设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，根据题意列出方程 求解即
可。
21．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）先化简 ，再从－2，2，－1，1中选取一
个恰当的数作为a的值代入求值.【答案】解：
=
= =
=
当a=-1时，原式＝ .
【思路引导】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
22．（2021八上·庄河期末）冬季来临，某商场预购进一批毛衣．用9600元先购进一批毛衣，面市后因
供不应求，商场决定又用16800元再次购进这批毛衣，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价便宜了10
元．该商场第一次购进这批毛衣的数量是多少？
【答案】解：设该商场第一次购进这批毛衣的数量是x件，则第二次购进这批毛衣的数量是2x件，
根据题意，得： ，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，
答：该商场第一次购进这批毛衣的数量是120件．
【思路引导】设该商场第一次购进这批毛衣的数量是x件，则第二次购进这批毛衣的数量是2x件，根据题
意列出方程，解之并检验即可。
23．（2021八上·汉阴期末）一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰.开展“光盘行动”，拒绝
“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚. 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的
学生奖励苹果或砂糖橘一份.近日，学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂
糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%.求苹果每千克的价格.
【答案】解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为 元.根据题意，得
解得
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
苹果每千克的价格为14元.
【思路引导】 设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为 （1-40％）x元，根据总价、单价
及数量之间的关系分别表示出购买砂糖橘及苹果的数量，进而根据“ 采购的砂糖橘比苹果多50千克 ”列
出方程，求解即可.
24．（2021八上·南充期末）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控.某呼吸机厂接到
生产600台呼吸机的任务，以每天比原来多生产50台呼吸机的速度进行生产，结果所用时间与原来生产
450台呼吸机所用时间相同.
（1）求该厂现在每天生产多少台呼吸机?
（2）完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，问该厂每天还应该至少
比现在多生产多少台呼吸机才能完成任务?
【答案】（1）解：设该厂现在每天生产x台呼吸机.
根据题意，得： .
解得， .
经检验： 是分式方程的解.
答：该厂现在每天生产200台呼吸机.
（2）解：设该厂每天还应该比现在多生产y台呼吸机.
根据题意，得： .
解得， .
答：该厂每天还应该至少比现在多生产40台呼吸机才能完成任务.
【思路引导】（1）此题的等量关系为：实际每天完成的工作效率=原来每天的工作效率+50；600÷实际每
天完成的工作效率=450÷原来每天的工作效率，设未知数，列方程，求解即可；
（2）此题的不等关系为：完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，据此设
未知数，列不等式，然后求出不等式的最小正整数解即可.25．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为 的正方形减去一个边长为 的正方形蓄水池后
余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）第一年，两块试验田分别收获 小麦.
①这两块试验田中，单位产量高的试验田是 ▲ ；
②高的单位产量比低的单位产量多了多少；
（2）经过一年的试验后，第二年，两块试验田产量都比前一年有增长，并且“丰收1号”试验田增产
更多.已知两块试验田的单位产量相同且“丰收1号”比“丰收2号”多收获 ，求“丰收1号”试验
田第二年的产量.
【答案】（1）解：①“丰收2号”；
②∵“丰收1号”小麦的试验田的面积= ，“丰收2号”小麦的试验田的面积= ，两块试验田
的小麦都收获了400kg，
∴“丰收2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高，
∴ ，
答：高的单位产量比低的单位产量多了 ；
（2）解：设“丰收2号”试验田第二年的产量是xkg，则“丰收1号”试验田第二年的产量是（x＋100）
kg，
由题意得： ，
解得：x=50a-50，则x+100=50a+50，
答：“丰收1号”试验田第二年的产量是（50a＋50）kg.
【完整解答】解：（1）①∵“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方
形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形，
∴“丰收1号”小麦的试验田的面积= ，“丰收2号”小麦的试验田的面积= ，
∵ ，
由题意可知，a＞1，
∴2（a-1）＞0，
即
∴这两块试验田中，单位产量高的试验田是“丰收2号”，
故答案为：“丰收2号”；
【思路引导】（1）①先用a表示出两块试验田的面积，比较出其大小，再根据其产量相同可知面积较小的
单位面积产量高即可求解；
②根据①中两块试验田的面积及其产量，求差即可求解；
（2）设“丰收2号”试验田第二年产量是xkg，则“丰收1号”试验田第二年产量是（x＋100）kg，根据
两块试验田的单位产量相同可列方程求解．
26．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时
间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量?
【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【思路引导】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，
根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，
求解即可.
27．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，
丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；由③得 = ；
∴ = + + = =1
【思路引导】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲
的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即
可。
