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专题 08 实数的运算（综合题）
易错点拨
知识点01：实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点， 总是比 大.
大于0， 小于0，两个负数，绝对值大的 .
知识点02：实数的运算
有理数中关于 的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，
而且正数及0可以进行 运算，任意一个实数可以进行 运算.在进行实数的运算时，有理
数的运算法则及运算性质等同样适用.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•鼓楼区校级开学）已知a为实数，规定运算：a＝1﹣ ，a＝1﹣ ，a＝1﹣ ，a＝1﹣
1 2 3 4 5
，…，a＝1﹣ ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于（ ）
n 1 2024
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（2021秋•自贡期末）设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（b﹣a）2；下面有四个推断：①a*b＝
b*a；②（﹣a）*b＝a*（﹣b）；③（a*b）2＝b2*a2；④a*（b+a）＝a*b+a*c．其中所有正确推断的序
号是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②
3．（2021秋•于洪区期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． ＝﹣3 C．3+4 ＝7 D． ﹣ ＝4．（2021秋•青神县期末）已知a为实数，规定运算： ， ， ， ，
1
…，a＝1﹣ ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于（ ）
n 1 2022
A． B． C． D．
5．（2021秋•济宁期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b
时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和
b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021秋•通川区校级月考）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题
7．（2021秋•平山县期末）计算：（﹣8）2022×0.1252021+（π﹣3.14）0﹣（ ）﹣1的结果为 ．
8．（2021秋•南县期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中
a、b、c三个实数的积为 ．
9．（2021秋•沙坪坝区校级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：
＝ ．
10．（2021秋•平昌县期末）阅读理解：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，i叫做虚数单位，我们
把形如a+bi（a、b为实数，且b≠0）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝2×3+2i﹣3i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i．
根据以上信息，计算（3+i）（1﹣3i）＝ ．
11．（2022•成都模拟）对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下： ，计算
（3*2）+（48*50）的结果为 ．
12．（2022•南谯区开学）已知a为实数，规定运算： ， ， ， ，
1
…， ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于 ．
1 2022
13．（2021•商丘四模）计算： ﹣|2﹣ |＝
三．解答题
14．（2022•鼓楼区校级开学）计算：
（1）（ ）2+ ﹣ ﹣82；
（2） ﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
15．（2022•惠城区校级开学）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单
位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它
有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝
（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与
虚数无法合并）
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；（2）求i+i2+i3+i4；
（3）已知a﹣b＝1，（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2﹣b2（i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022）的值．
16．（2022•普洱二模）计算：（﹣1）2﹣|﹣7|+ ×（2016﹣π）0+ ．
17．（2016秋•苏州期中）计算下列各题．
（1） + ﹣ ； （2）﹣16 ﹣4 ；
（3）|﹣ |﹣ + ； （4） × ﹣2（ ﹣π）0．
18．（2022•南京模拟）若a、b、c是有理数，且满足等式a+b +c ＝2﹣ +3 ，试计算（a﹣c）
2013+b2014的值．19．（2019春•洛阳期中）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣a ＝2b+ ﹣a，求a、b的值．
解：因为5﹣a ＝2b+ ﹣a．
即5﹣a ＝（2b﹣a）+ ．
所以2b﹣a＝5，﹣a＝ ．
解得：a＝﹣ ，b＝ ．
（2）设x、y是有理数，并且满足x2+ y+2y＝﹣4 +17，求x+y的值．
20．（2017秋•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，”，（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”，一般地，把
（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
小明探究出：初步探究
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣ ）⑤＝ ；（ ）⑥＝ ．
他们一起深入思考得出：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？（2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝
；（﹣ ）⑩＝ ．
（3）请你想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（4）请你算一算：24÷23﹣（﹣8）×2⑥+（ ）④．
