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专题 08 实数的运算（综合题）
易错点拨
知识点01：实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的 反而小 .
知识点02：实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运
算法则及运算性质等同样适用.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•鼓楼区校级开学）已知a为实数，规定运算：a＝1﹣ ，a＝1﹣ ，a＝1﹣ ，a＝1﹣
1 2 3 4 5
，…，a＝1﹣ ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于（ ）
n 1 2024
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：∵a＝3，
1
∴a＝1﹣ ＝ ，
2
a＝1﹣ ＝﹣ ，
3a＝1﹣ ＝3，
4
a＝1﹣ ＝ ，…
5
∴a以三个数为一组，不断循环，
n
∵2024÷3＝674...2，
∴a ＝a＝ ，
2024 2
故选：D．
2．（2021秋•自贡期末）设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝（b﹣a）2；下面有四个推断：①a*b＝
b*a；②（﹣a）*b＝a*（﹣b）；③（a*b）2＝b2*a2；④a*（b+a）＝a*b+a*c．其中所有正确推断的序
号是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②
解：根据题中的新定义得：
①∵a*b＝（b﹣a）2，b*a＝（a﹣b）2，
∴a*b＝b*a，正确；
②∵（﹣a）*b＝（b+a）2，
a*（﹣b）＝（﹣b﹣a）2＝（b+a）2，
∴（﹣a）*b＝a*（﹣b），正确；
③∵（a*b）2＝（b﹣a）4，
b2*a2＝（a2﹣b2）2，
∴（a*b）2≠b2*a2，错误；
④∵a*（b+a）＝（b+a﹣a）2＝b2，
a*b+a*c＝（b﹣a）2+（c﹣a）2，
∴a*（b+a）≠a*b+a*c，错误．
故选：C．
3．（2021秋•于洪区期末）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±4 B． ＝﹣3 C．3+4 ＝7 D． ﹣ ＝
解：A． ＝4，故A不符合题意；B. ，故B不符合题意；
C.3与 不能合并，故C不符合题意；
D. ，故D符合题意；
故选：D．
4．（2021秋•青神县期末）已知a为实数，规定运算： ， ， ， ，
1
…，a＝1﹣ ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于（ ）
n 1 2022
A． B． C． D．
解：a＝3，
1
a＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ，
2
a＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ，
3
a＝1﹣ ＝1﹣ ＝3，
4
..．
∴2022÷3＝674，
∴a ＝ ，
2022
故选：C．
5．（2021秋•济宁期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b
时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和
b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ．
∴a＜ ，b＞ ．∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故选：D．
6．（2021秋•通川区校级月考）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵ ＝8，
∴选项A不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴选项C符合题意；
∵ ，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
二．填空题
7．（2021秋•平山县期末）计算：（﹣8）2022×0.1252021+（π﹣3.14）0﹣（ ）﹣1的结果为 7 ．
解：（﹣8）2022×0.1252021+（π﹣3.14）0﹣（ ）﹣1
＝（﹣8）×[（﹣8）2021×0.1252021]+1﹣2
＝（﹣8）×（﹣8×0.125）2021+1﹣2
＝﹣8×（﹣1）2021+1﹣2
＝﹣8×（﹣1）+1﹣2
＝8+1﹣2
＝7，
故答案为：7．
8．（2021秋•南县期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a、b、c三个实数的积为 1 8 ．
解：2 ×3× ＝6 ，
a＝6 ÷1÷6＝ ，
b＝6 ÷2 ÷1＝3 ，
c＝6 ÷ ÷6＝ ，
abc＝ ×3 × ＝18，
故答案为：18．
9．（2021秋•沙坪坝区校级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：
＝ ﹣ a + 1 ．
解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
则原式＝|a﹣b|﹣（b﹣1）
＝b﹣a﹣b+1
＝﹣a+1．
故答案为：﹣a+1．
10．（2021秋•平昌县期末）阅读理解：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，i叫做虚数单位，我们
把形如a+bi（a、b为实数，且b≠0）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．
它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝2×3+2i﹣3i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i．
根据以上信息，计算（3+i）（1﹣3i）＝ 6 ﹣ 8i ．
解：（3+i）（1﹣3i）
＝3×1﹣3×3i+i﹣3i2
＝3﹣9i+i﹣3i2
＝3﹣8i﹣3×（﹣1）＝3﹣8i+3
＝6﹣8i．
故答案为：6﹣8i．
11．（2022•成都模拟）对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下： ，计算
（3*2）+（48*50）的结果为 ．
解：（3*2）+（48*50）
＝ + ﹣
＝ +5 ﹣4
＝4 ﹣3 ，
故答案为：4 ﹣3 ．
12．（2022•南谯区开学）已知a为实数，规定运算： ， ， ， ，
1
…， ．按上述方法计算：当a＝3时，a 的值等于 ﹣ ．
1 2022
解：a＝3，
1
a＝1﹣ ＝ ，
2
a＝1﹣ ＝﹣ ，
3
a＝1﹣（﹣2）＝3，
4
∴a以三个数为一组，不断循环，
n
∵2022÷3＝674，
∴a ＝a3＝﹣ ，
2022
故答案为：﹣ ．
13．（2021•商丘四模）计算： ﹣|2﹣ |＝
解：原式＝2﹣2+ ＝ ，
故答案为：三．解答题
14．（2022•鼓楼区校级开学）计算：
（1）（ ）2+ ﹣ ﹣82；
（2） ﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
解：（1）原式＝9﹣4﹣17﹣64
＝9﹣85
＝﹣76；
（2）原式＝2﹣1﹣1+
＝ ．
15．（2022•惠城区校级开学）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单
位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它
有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝
（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与
虚数无法合并）
（1）填空：i3＝ ﹣ i ，i4＝ 1 ；
（2）求i+i2+i3+i4；
（3）已知a﹣b＝1，（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2﹣b2（i2+i3+i4+⋯+i2021+i2022）的值．
解：（1）根据题中的新定义得：i3＝﹣i，i4＝1；
故答案为：﹣i，1；
（2）原式＝i﹣1﹣i+1＝0；
（3）已知等式整理得：ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，即a+b＝3，
联立得： ，
解得： ，
则原式＝4﹣i（i+i2+i3+...+i2020+i2021）
＝4﹣i[（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+...（i﹣1﹣i+1）+i]
＝4+1
＝5．16．（2022•普洱二模）计算：（﹣1）2﹣|﹣7|+ ×（2016﹣π）0+ ．
解：（﹣1）2﹣|﹣7|+ ×（2016﹣π）0+
＝1﹣7+2×1+3
＝1﹣7+2+3
＝﹣1．
17．（2016秋•苏州期中）计算下列各题．
（1） + ﹣ ；
（2）﹣16 ﹣4 ；
（3）|﹣ |﹣ + ；
（4） × ﹣2（ ﹣π）0．
解：（1）原式＝0.4+0.7﹣0.9
＝0.2；
（2）原式＝﹣16×0.5﹣4×（﹣4）
＝﹣8+16
＝8；
（3）原式＝ ﹣ +
＝ ；
（4）原式＝0.3×10﹣2
＝3﹣2
＝1．
18．（2022•南京模拟）若a、b、c是有理数，且满足等式a+b +c ＝2﹣ +3 ，试计算（a﹣c）
2013+b2014的值．
解：∵a、b、c是有理数，且满足等式a+b +c ＝2﹣ +3 ，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，则（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．
19．（2019春•洛阳期中）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣a ＝2b+ ﹣a，求a、b的值．
解：因为5﹣a ＝2b+ ﹣a．
即5﹣a ＝（2b﹣a）+ ．
所以2b﹣a＝5，﹣a＝ ．
解得：a＝﹣ ，b＝ ．
（2）设x、y是有理数，并且满足x2+ y+2y＝﹣4 +17，求x+y的值．
解：因为x2+ y+2y＝﹣4 +17，
所以（x2+2y）+ y＝17﹣4 ，
所以x2+2y＝17，y＝﹣4，
解得x＝5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝﹣4．
所以x+y＝1或x+y＝﹣9．
20．（2017秋•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，”，（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”，一般地，把
（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．
小明探究出：初步探究
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣ ）⑤＝ ﹣ 8 ；（ ）⑥＝ ．
他们一起深入思考得出：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？（2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥
＝ ；（﹣ ）⑩＝ 2 8 ．
（3）请你想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（4）请你算一算：24÷23﹣（﹣8）×2⑥+（ ）④．
解：（1）由题可得：2③＝ ，（﹣ ）⑤＝﹣8，（ ）⑥＝ ，
故答案为： ，﹣8， ；
（2）（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（ ）2＝ ＝ ；
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×（ ）4＝ ；
（﹣ ）⑩＝（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷
（﹣ ）÷（﹣ ）
＝1×2×2×2×2×2×2×2×2
＝28；
故答案为： ， ，28；
（3）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2＝ ；
故答案为： ；
（4）24÷23﹣（﹣8）×2⑥+ ④
＝24÷8﹣（﹣8）× +＝3+ +
＝
