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2022-2023 学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选
汇编
专题 08 多边形的对角线和圆的认识
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022七上·毕节期末）十边形中过其中一个顶点有（ ）条对角线.
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【完整解答】解：十边形中过其中一个顶点有10-3=7条对角线.
故答案为：A.
【思路引导】n边形过其中一个顶点共有（n-3）条对角线，据此解答.
2．（2分）（2021七上·牡丹月考）过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7
个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【完整解答】解： ，
解得：n=9，
所以这个多边形的边数是9，
故答案为：B．
【思路引导】先求出 ，再求出n=9，即可作答。
3．（2分）（2021七上·秦都期末）从五边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线，
它们将五边形分成 个三角形．则 、 的值分别为（ ）
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，4
【答案】B
【完整解答】解：对角线的数量m=5-3=2条；
分成的三角形的数量为n=5-2=3个．
故答案为： B．
【思路引导】多边形的对角线的条数为m=n-3（n≥3），分成的三角形的数量为m+1即
n-2，据此求解即可.
4．（2分）（2020七上·龙华期末）n边形所有对角线的条数有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D．条
【答案】C
【完整解答】解：n边形共有 条对角线．
故答案为：C．
【思路引导】根据多边形的边数与对角线的条数之间的关系式进行判断．
多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有 条．
5．（2分）（2020七上·龙华期末）若经过n边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形
分成7个三角形，则n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【完整解答】解：依题意有n−2＝7，
解得：n＝9．
故答案为：C．
【思路引导】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n−2）个三角形，根据此
关系式求边数．
6．（2分）（2020七上·银川期末）下列说法错误的是（ ）
A．单项式－ab2c3的系数为－1
B．多项式ab2+b5的次数为5
C．过七边形一个顶点与其他顶点连线可以分成5个三角形
D．用平面截一个正方体，截面的形状不可能是六边形
【答案】D
【完整解答】解：A. 单项式－ab2c3的系数为－1，故正确；
B. 多项式ab2+b5的次数为5，故正确；
C. 过七边形一个顶点与其他顶点连线可以分成5个三角形，故正确；
D. 用平面截一个正方体，截面的形状不可能是七边形, 故错误.
故答案为：D.
【思路引导】根据单项式，多项式，多边形的对角线计算公式以及正方体的截面逐项分析
即可.
7．（2分）（2020七上·青岛期末）在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点
与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（
）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【完整解答】解：如图，探究规律：
在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将
三角形分割成2个三角形，
在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将
四边形分割成3个三角形，
在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将
五边形分割成4个三角形，
总结规律：
在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n
边形分割成 个三角形，
应用规律：
由题意得：
故答案为：B.
【思路引导】逐一探究在三角形、四边形、五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个
点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成三角形的数量，从而总结出规律，运用规律列
出方程并解之即可.
8．（2分）如图所示，在Rt ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径作弧交
边AB于点D。若AC=3，BC=4，则BD的长是( )
△
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= = ，
∵AD=AC=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，故答案为：A.
【思路引导】首先根据勾股定理求出AB，然后由同圆的半径相等求出AD，最后根据线段
间的和差关系求BD即可.
9．（2分）（2020七上·宁阳期末）若过n边形的一个顶点的所有对角线正好将该n边形分
成8个三角形，则n的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 个三角形，
由题意，得 ，
解得n=10．
故答案为：D．
【思路引导】根据题意先求出 ，再解方程即可。
10．（2分）（2020七上·都江堰期末）过七边形的一个顶点引对角线，可以将这个七边形
分割成多少个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【完整解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成n﹣2各三角形，
7﹣2＝5，
∴从一个7边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个边形分割成5个三角形．
故答案为：A．
【思路引导】由多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，得到一个多边形从一个顶点出发，
连接其余各顶点，可以把多边形分成n﹣2各三角形，7﹣2＝5，从而得到答案.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021七上·太平期中）过 边形的一个顶点的所有对角线，把 边形分
成了8个三角形，则这个多边形的边数是 ．
【答案】10
【完整解答】∵过 边形的一个顶点的所有对角线，把 边形分成了8个三角形，
∴ ，
∴ ，
故这个多边形的边数是10．
故答案是：10．
【思路引导】先求出 ，再计算求解即可。
12．（2分）（2020七上·乾县期末）从八边形的一个顶点引出的对角线有 条.【答案】5
【完整解答】解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有8﹣3＝5（条）.
故答案为：5.
【思路引导】从n边形的一个顶点可引出的对角线的条数有（n-3）条，据此解答.
13．（2分）（2021七上·雁塔期末）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点
与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为
.
【答案】2020
【完整解答】解：由题意可知：n-2=2018，
解得n=2020，
则这个多边形的边数为2020，
故答案为：2020.
【思路引导】从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可把这
个多边形被分割成（n-2）个三角形，据此解答即可.
14．（2分）（2021七上·七里河期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边
形分成5个三角形，则这个多边形是 边形.
【答案】七
【完整解答】解：由题意得，n-2=5，
解得：n=7，
故答案为：七.
【思路引导】过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成n-2个三角形，由此
可求出这个多边形的边数.
15．（2分）（2020七上·砚山期末）n边形没有对角线，m边形从一个顶点出发最多引5
条对角线，则n+m= ．
【答案】11
【完整解答】n边形没有对角线，n-3=0，n=3，
m边形从一个顶点出发最多引5条对角线，m-3=5，m=8，
则n+m=3+8=11．
故答案为：11．
【思路引导】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可求出m、n的值，再
代入计算即可.
16．（2分）（2020七上·乐平月考）从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，
这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
【答案】n﹣3；n﹣2
【完整解答】除去这个顶点本身和相邻的两个顶点，所以从n边形的一个顶点出发可以引
n-3条对角线,对角线将多边形分成三角形的个数比对角线条数多1，所以是n-2个三角形.
【思路引导】根据多边形的对角线的个数的规律求解即可。17．（2分）（2020七上·济阳月考）一个多边形的对角线的条数是20条，多边形的边数
为 ．
【答案】8
【完整解答】解：设多边形的边数是x，
这个多边形有x个角，每个角可以去连接除自己和相邻的两个以外的所有角，得到一条对
角线，可以连 条，则一共可以连接 条对角线，除去重复的是
条，
列式： ，解得 ， （舍去），
故答案是：8．
【思路引导】根据一个多边形的对角线的条数是20条 ，可列方程 ，再计算
求解即可。
18．（2分）（2020七上·兰州期末）从十边形的一个顶点出发可以画出 条对角
线，这些对角线将十边形分割成 个三角形．
【答案】7；8
【完整解答】解：由题意得，10-3=7，
所以从十边形的一个顶点出发可以画出7条对角线；
10-2=8，
所以从十边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线将十边形分割成8个三角形.
故答案为：7；8
【思路引导】根据n边形从一个顶点出发可画出（n-3）条对角线，由此可得出对角线的条
数；这些对角线将n边形分成（n-2）个三角形，由此可得三角形的个数.
19．（2分）（2020七上·吉州期末）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成
个三角形，则这个多边形的边数为 ．
【答案】2021
【完整解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 2019个三角形，
∴这个多边形的边数为：2019+2=2021．
故答案是：2021．
【思路引导】由题意得：多边形的边数=三角形的个数+2，即可求解．
20．（3分）（2020七上·洪山期末）一个 边形,从一个顶点出发的对角线有
条,这些对角线将 边形分成了 个三角形，这个 边形的内角和为
.
【答案】 ； ；【完整解答】解：从 边形 的一个顶点出发的对角线有 条，可以把
边形划分为 个三角形，这个 边形的内角和为 .
故答案为： ， ， .
【思路引导】多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线， 边形有 个
顶点，和它不相邻的顶点有 个，因而从 边形 的一个顶点出发的对角
线有 条，把 边形分成 个三角形.由分成三角形个数即可求出多边形内角
和.
三．解答题（共7题，满分60分）
21．（5分）过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，
试求（m﹣p）n的值．
【答案】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴m﹣3=8，m=11；
n边形没有对角线，n=3；
∵p边形有p条对角线，
∴p=p（p﹣3）÷2，解得p=5，
所以（m﹣p）n=（11﹣5）3=216．
【思路引导】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出
（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为： （n≥3，且n为
整数）可得到m、n、p的值，进而可得答案．
22．（5分）阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为 ，如果有一个n边形的对角线一共有
20条，则可以得到方程 =20，去分母得n（n﹣3）=40；∵n为大于等于3的整数，
且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）=40
的整数n=8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确
吗？为什么？
【答案】解：（1）方程 =14，去分母得：n（n﹣3）=28；∵n为大于等于3的整
数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n=7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程 =30，去分
母得n（n﹣3）=60；符合方程n（n﹣3）=60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可
能有30条．
【思路引导】（1）由题意得 =14，进而可得n（n﹣3）=28，然后再找出满足积
为28且相差3的因数即可；
（2）由题意得 =30，进而可得n（n﹣3）=60，然后再找出满足积为60且相差3
的因数，发现没有这样的两个数，因此A同学说法是不正确的．
23．（7分）（1）从A地到B地，某甲走直径AB上方的半圆途径；乙先走直径AC上方
半圆的途径，再走直径CB下方半圆的途径，如图1，已知AB=40米，AC=30米，计算个
人所走的路程，并比较两人所走路程的远近；
（2）如果甲、乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
【答案】解：（1）BC=AB﹣AC=10，
甲所走的路径长= •2•π• = •2•π• =20π（m），
乙所走的路径长= •2•π• + •2•π• = •2•π• + •π• =20π（m），
所以两人所走路程的相等；
（2）两人走的路程远近相同．理由如下：甲所走的路径长= •2•π• = π•AB，
乙所走的路径长= •2•π• + •2•π• + •π• = π（AC+CD+DB）= π•AB，
即两人走的路程远近相同．
【思路引导】（1）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC和
BC为直径的两个半圆长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小；
（2）甲所走的路径长为以AB为直径的半圆长，乙所走的路径长为以AC、CD和DB为直
径的三个半圆长的和，然后根据圆的周长公式分别计算他们所走的路径，再比较大小即可．24．（7分）如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，使△ABC的面积最大，那么点C
在 的什么位置？
【答案】解：若△ABC的面积最大，则点C到直径AB的距离最大，
所以点C在 的中点位置．
【思路引导】根据三角形面积公式得到点C到直径AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
于是可得点C在 的中点位置．
25．（7分）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点
B，且AB=OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【答案】解：（1）连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．【思路引导】（1）由AB=O得到AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
26．（15分）（2019七上·水城期中）将一个半径为4cm的圆分割成三个扇形.
（1）（5分）它们的圆心角的比为2∶3∶5,求这三个扇形圆心角的度数;
（2）（5分）若分成4个大小相同的扇形,则每个扇形的圆心角为多少度?
（3）（5分）若其中一个扇形的圆心角为30o,你会计算这个扇形的面积吗?
【答案】（1）∵周角的度数是360°，
2 3
∴这三个扇形圆心角的度数分别为： 360°× =72° ， 360°× =108° ，
2+3+5 2+3+5
5
360°× =180° ；
2+3+5
1
（2）若分成4个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角为 360°× =90° ；
4
30° 4
（3）这个扇形的面积为： π⋅42× = π .
360° 3
【思路引导】（1）根据周角的度数是360°，结合圆心角的比计算即可；
（2）根据周角的度数是360°计算即可；
（3）求出圆的面积，然后根据圆心角为30°的扇形所占的比例进行计算.
27．（13分）（2019七上·咸阳月考）
（1）（1分）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把
这个五边形分成 个三角形.若是一个六边形，可以分割成 个三角形.n边
形可以分割成 个三角形.
（2）（5分）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分
割成多少个三角形？
（3）（5分）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起
来，则可将多边形分割成多少个三角形？【答案】（1）3；4；(n-2)
（2）解：n边形共有n条边，n个顶点，将n边形任意一条边的两顶点与点P相连，得到
的三角形是唯一的，故可知此多边形被分割为n个三角形
（3）解：若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），再将P与n边形各顶点连接起来，
则可将多边形分割成（n-1）个三角形
【完整解答】(1)从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，
可以把这个五边形分成5-2=3个三角形；
若是一个六边形,可以分割成6-2=4个三角形；
……，依次类推，
n边形可以分割成(n-2)个三角形.
故答案为：3，4，(n-2)；
【思路引导】（1）由四边形，五边形，六边形可得出规律，从n边形的一个顶点出发，连
接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形，依此作答；（2）多
边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；（3）若P点取在一边上，
则可以与其他顶点连接出n-2条线段，可以分n边形为（n-1）个三角形．
