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专题08 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候
还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号 之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号 之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
5） ， ， ， ， ， ，…， （ 为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…， .
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
题型1：数列的规律
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）给定一列按规律排列的数：-1， ， ，
，…，则第9个数为________．
【答案】
【分析】根据题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分子为2n-1，分母为 ，进而问题可求解．
【详解】解：由-1， ， ， ，…，可知：奇数项为负数，偶数项为正数，分子为2n-1，分母为 ，
∴第9个数为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是根据题意得到数字的规律．2．（2022·云南红河·八年级期末）一组按规律排列的单项式3a、5a2、7a3、9a4……，依这个规律用含字母
n（n为正整数，且n≥1）的式子表示第n个单项式为_______
【答案】
【分析】找出前3项的规律，然后通过后面几项验证，找出规律得到答案．
【详解】解：3a＝（2×1+1）a1，
5a2＝（2×2+1）a2，
7a3＝（2×3+1）a3，
…
第n个单项式是：（2n+1）an．
故答案为：（2n+1）an．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后验证，最后得到规律．
3．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依
次出现的规律，则第 个数是_____________．
【答案】
【分析】所给的数可转化为：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…据此即可得第n个数，从
而可求解．
【详解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，
∴第奇数个数为：1-2n；
第偶数个数为：1+2n；
∴第n个数为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．
4．（2022·甘肃天水·七年级期末）有一组分数： …，则第8个数是_______________．
【答案】
【分析】根据数据的分子与分母的变化分别得出分子与分母的值，得出规律即可得出答案．
【详解】解：根据 …， 分子是连续的奇数，则第8个数的分子是：2n+1=2×8+1=17，
分母是 ，
∴第8个数是： ．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了数字的规律性问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规
律解决问题是解本题的关键．
5．（2021·河北承德·七年级期末）如图，将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根
据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理
数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ）
A．24，E B．﹣25，E
C．-24，B D．24，C
【答案】A
【分析】观察发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰5”中C位置的数的序
数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用（2021﹣1）除以5，根据商和余数的情况确定所在
峰中的位置即可．
【详解】解：∵每个峰需要5个数，
∴5×4＝20，
20+1+3＝24，
∴“峰5”中C位置的数的是24，
∵（2021﹣1）÷5＝404，
∴﹣2021为“峰404”的最后一个数，排在E的位置．
故选：A．
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每个峰有5个数是解题的关键，难点在于峰上的数的排列
是从2开始．
6．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面
也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：第一步：取一个自然数 ，计算 得 ；
第二步：计算出 的各位数字之和得 ，再计算 得 ；
第三步：计算出 的各位数字之和得 ，再计算 得 ；
……
依此类推，则 _______．
【答案】123
【分析】根据游戏的规则进行运算，求出a、a、a、a、a，再分析其规律，从而可求解．
1 2 3 4 5
【详解】解：∵a＝n2+2＝32+2＝11，
1 1
∴n＝1+1＝2，a＝n2+2＝22+2＝6，
2 2 2
n＝6，a＝n2+2＝62+2＝38，
3 3 3
n＝3+8＝11，a＝n2+2＝112+2＝123，
4 4 4
n＝1+2+3＝6，a＝n2+2＝62+2＝38，
5 5 5
……
∴从第3个数开始，以38，123不断循环出现，
∵（2020﹣2）÷2＝1009，
∴a ＝a＝123．
2020 4
故答案为：123．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的规则得到存在的规律．
题型2：数表的规律
1．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，若2021是表中第n行第m列，
则m＋n＝（ ）．
A．66 B．68 C．69 D．70
【答案】C【分析】根据题意得：第1行1个数字，第2行2个数字，第3行3个数字，第4行4个数字，第5行5个
数字， 由此发现规律：第 行有 个数字，从而得到前 行有 个数字，再由
，可得到2021位于第64行第5列，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1行1个数字，
第2行2个数字，
第3行3个数字，
第4行4个数字，
第5行5个数字，
由此发现规律：第 行有 个数字，
∴前 行有 个数字，
∵ ，
∴2021位于第64行第5列，即 ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列，有序数对 表示第 排，从左到
右第 个数．如有序数对 表示8，则有序数对 表示的数为______．
【答案】123【分析】有序数对 表示第 排，从左到右第 个数．则前n排的数字共有 个数，将n=16代入，
可得出第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列，据此解答即可．
【详解】解：由图可知，
第一排1个数，
第二排2个数，数字从大到小排列，
第三排3个数，数字从小到大排列，
第四排4个数，数字从大到小排列，
…，
则前n排的数字共有 个数，
∵当n=16时， ，
∴第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列，
∴第16行第14个数是123，
故选：C．
故答案为：123．
【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数
值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题．
3．（2022·湖北十堰·三模）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分
精彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他
把写的杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字；1，10，45，120，210，让同
桌小聪说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是_________．
【答案】252【分析】先根据第二个数字确定出其所在行数，再根据规律确定出上一行的所有数字，即可得答案．
【详解】解：由第二个数为10知，该行为第11行，
第11行的数字为：1，10，45，120，210，？，210，120，45，10，1，
第10行数字为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
∴第11行第6个数字为：126+126=252，
故答案为：252．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据所给的数据发现规律．
4．（2022·广西·南宁市三美学校三模）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022分布在表中的第
___________行．
【答案】64
【分析】根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可以得
到2022在图中的位置．
【详解】解：由图可知，
第一行1个数字，
第二行2个数字，
第三行3个数字，
…，
第n行n个数字，
前n行一共有 个数字，
，
2022是表中第64行．
故答案为：64．
【点睛】本题考察数字的变化规律总结．解答本题的关键是发现数字的变化特点．写出前n行的数字个数．
5．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）观察下列按一定规律排列的三行数：如图，在上面的数据中，用长方形圈出同一列的三个数，这列的第一个数表示为a，其余各数分别用b，c
表示，
(1)若这三个数分别在这三行数的第8列，请写出a，b，c的值．
a＝ ；b＝ ；c＝ ．
(2)若这三个数分别在这三行数的第n列，则a的值为 ，c的值为 ；（用含有n的式子表
示）
(3)若a记为x，求a，b，c这三个数的和（结果用含x的式子表示并化简）．
【答案】(1)-256；259；-128 (2) ； ；(3)
【分析】（1）根据题意得：第一行： ，……，由此发现：
第一行的数的规律，再观察第二行和第三行，可得第二行中每个数是第一行相应位置上的数加上3，第三
行中每个数是第一行相应位置上的数除以2，即可求解；
（2）根据（1）中的规律，即可求解；
（3）由（1）可得：b=a+3， ，再把a=x代入，再化简，即可求解．
（1）解：根据题意得：第一行： ，……，由此发现：第
一行第n列数为 ，∴ ，根据题意得：第二行中每个数是第一行相应位
置上的数加上3，∴第二行第n列数为 ，∴b=256+3=259，根据题意得：第三行中每个数是第
一行相应位置上的数除以2，∴第一行第n列数为 ，∴c=-256÷2=-128；故答案
为：-256；259；-128
（2）解：由（1）得：a的值为 ；c的值为 ；故答案为： ； ；（3）解：由（1）得：b=a+3， ，∵a记为x，∴ ．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各
题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形
为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共
有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个
数字分别为多少？
【答案】(1)16，22(2) a2- a+1(3)764，803和804
【分析】（1）观察数据得到每排数的个数等于排数，则先计算出第六排和第七排前面共有的数字，然后
得到答案；
（2）先计算出第a排前面共有 a（a-1）个数，然后可得答案；
（3）根据“天府三角形”的定义得出n=39，再列方程可得答案．
(1)解：∵第六排前面共有1+2+3+4+5=15个数，第七排前面共有1+2+3+4+5+6=21个数，
∴第六排从左往右第1个数为16；第七排从左往右第1个数为22；
故答案为：16，22；
(2)∵第a排前面共有1+2+3+…+（a-1）= a（a-1），
∴第a排的第一个数字为 a（a-1）+1= a2- a+1，
故答案为： a2- a+1；(3)根据“天府三角形”的定义可得，
第n排和第（n+1）排中总共有n个“天府三角形”，
所以n=39，
设第n排的数是x，第（n+1）排的两个数分别是x+39，x+40，
由题意得，x+（x+39）+（x+40）=2371，
解得x=764，
所以三个数分别是764，803和804．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化
的因素，然后推广到一般情况．
题型3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
1．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，观察所给算式，找出规律：
，
，
，
，
……
根据规律计算 ______．
【答案】400
【分析】观察这几个式子可得每个式子的结果等于中间数的平方，即可求解．
【详解】观察这几个式子可得每个式子的结果等于中间数的平方，
所以1+2+3+…+19+20+19+…+3+2+1
=202
=400
故答案为：400.
【点睛】本题考查了数字规律的计算，解决本题的关键在于根据所给的算式，找到规律，并把规律应用到
解题中．
2．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n
（n≥2）行两端的数均为n，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为an，如a=2，a=4，则an ﹣an=_____（n≥2），an=______．
2 3 +1
【答案】
【分析】先根据题意得到
，由此得到规律进行求
解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）观察按下列顺序排列的等式： …，
猜想第 个等式为________．
【答案】
【分析】根据已知等式，分析等式两边数的变化规律，利用归纳推理得出结论，再代入2021计算即可．
【详解】解：由 …，得
第n个等式应为
当n=2021时， 10n+1=20210+1=20211
故答案为： ．
【点睛】本题考查数的规律、归纳推理的应用，掌握规律是解题关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列各式： ×2 = + 2； ×3 = + 3； ×4 = + 4； ×5= + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为：______×______=______+______．
【答案】 ， ， ，
【分析】通过观察可以看出分母比分子小1，而相乘的数和相加的数也比分母大1，据此归纳．
【详解】解：由所给的各式可知，不妨设分母为n，则分子为n+1，乘数和加数也为n+1，
因此可知律为： ，
故答案为： ， ， ， ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．
5．（2022·山东青岛·七年级期末）观察下列图形及图形所对应的等式，根据你发现的规律，写出第n幅图
形对应的等式________．
【答案】1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2
【分析】由已知条件1+8×1=32；1+8×1+8×2=52，1+8+8×2+8×3=72，进而推理出第n幅图形对应的等式为
1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
【详解】解：根据题意得，第n幅图形对应的等式为：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
故答案为：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
【点睛】此题主要考查图形的规律性，注意由已知发现数字的变化，从而得出一般规律．
6.（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a= = ；
5
(2)按以上规律列出第2015个等式：a = = ；
2015
(3)求a+a+a+a+…+a 的值．
1 2 3 4 2016
【答案】(1) ， (2) (3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）根据所得规律求出第n个等式，从而得到第2015个等式；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
（1）解：由题意得：第5个等式为： ，
故答案为： ， ；
（2）第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；……
∴第n个等式： ，∴第2015个等式： ；
（3）
=
=
=
=
= ．
【点睛】本题考查数字的规律，能够通过所给式子，找到数字的变化规律，归纳出一般结论是解题的关键．
题型4：图形的规律（一次类）
1．（2022·云南玉溪·七年级期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规
律，第n个图形中共有（ ）个“ｏ”．
A．3n B．3n+1 C．3n-1 D．3n+2
【答案】B
【分析】设第n个图形共有an个“o”（n为正整数），观察图形，根据各图形中“o”个数的变化可得出变
化规律“an＝3n+1（n为正整数）”，即可求出结论．
【详解】设第n个图形共有an个“o”（n为正整数），
观察图形，可知：a＝4＝1+3，a＝7＝1+2×3，a＝10＝1+3×3，a＝13＝1+4×3，…，
1 2 3 4
∴an＝3n+1（n为正整数），
故选B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“o”个数的变化找出变化规律“an＝3n+1（n
为正整数）”是解题的关键．
2．（2021·山东临沂·七年级期中）把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三
角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼图案，则图案⑨中共有（
）
A．25个三角形 B．28个三角形 C．31个三角形 D．34个三角形
【答案】B
【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中三角形的个数，从而发现三角形个数的变化规律，从
而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，
第①个图案中有1+3=4个三角形，
第②个图案中有1+3×2=7个三角形，
第③个图案中有1+3×3=10个三角形，
…
则第⑨个图案中有1+3×9=28个三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现图形中三角形个数的变化
规律，求出相应图形中三角形的个数．
3．（2022·河北保定·七年级期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图
形中共有______个五角星（ ）
A．6068 B．6067 C．6066 D．6065
【答案】B
【分析】第一个图形五角星数目：1+3＝1+3×1，第二个图形五角星数目：1+3+3＝1+3×2，第三个图形五角星数目：1+3+3+3＝1+3×3，第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3＝1+3×4，……，得出第n个图形五角星
数目：1+3+3+ +3＝1+3×n，即可得出第2022个图形中五角星数目．
【详解】解：∵⋯第一个图形五角星数目：1+3＝1+3×1，
第二个图形五角星数目：1+3+3＝1+3×2，
第三个图形五角星数目：1+3+3+3＝1+3×3，
第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3＝1+3×4，
……
第n个图形五角星数目：1+3+3+ +3＝1+3×n＝1＋3n，
∴第2022个图形中五角星数目为⋯：1+3×2022＝6067．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形个数的规律，解题关键是根据已知图形的变化规律找到第n个图形个数表达式．
4．（2022·辽宁本溪·七年级期末）如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，
第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第 个图案中有白色六边形地面砖的块数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四
个白色地面砖．
【详解】解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第 个图案中白色六边形个数为：6＋4（n−1）＝（4n＋2）个，
故选：C．
【点睛】本题考查利用平移设计图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：
在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．
5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二
幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）
A．297 B．301 C．303 D．400
【答案】B
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
6．（2021·广东梅州·七年级期末）观察下列图形：他们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正
整数）个图形共有的点数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设第n（n为正整数）个图形共有an个点，根据各个图形中点数的变化，即可得出变化规律
“an=6n+4”，此题得解．
【详解】解：设第n（n为正整数）个图形共有an个点．
观察图形，可知：a=10=6×1+4，a=16=6×2+4，a=22=6×3+4，a=28=6×4+4，…，
1 2 3 4∴an=6n+4．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中点数的变化，找出变化规律“an=6n+4”是解题
的关键．
题型5：图形的规律（二次类）
1．（2022·河北石家庄·八年级期中）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第
5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不
用写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为： ，第2个图形中黑色棋子的个数为： ，
第3个图形中黑色棋子的个数为： ，由此得到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为： ，
第2个图形中黑色棋子的个数为： ，
第3个图形中黑色棋子的个数为： ，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为： ；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为： ，
故答案为：64； ．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
2．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______
个正方形．
【答案】140
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，
…第n个有：1+22+32+…+n2个正方形，从而得到答案．
【详解】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4=5个正方形，
第三个有1+4+9=14个正方形，
…
∴第n个有：（1+22+32+…+n2）个正方形，
则第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，
故答案为：140．
【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问题．
3．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期中）如图，根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第20
个图形中包含的点的个数为________．
【答案】381
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，按照规律求解．
【详解】解：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点；
第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点；
第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点；
依此类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边(n-1)个点，
故第n个图形中点的个数为n（n-1）+1．
当n=20时，20（20-1）+1=381．故答案为：381．
【点睛】此题考查的知识点是图形数字变化类问题，解题的关键是通过观察图形分析总结出规律，再按规
律求解．
4．（2022·广东湛江·七年级期末）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第9个图形中有______个圆．
【答案】82
【分析】观察图形，得到规律：每幅图可看作一个由圆圈组成的正方形再加一个圆圈，可利用正方形的面
积公式解答．
【详解】解：观察图形可得，第1个图形中，圆的个数为1+1=2（个）；
第2个图形中，圆的个数为 +1=5（个）；
第3个图形中，圆的个数为 +1=10（个）；
第4个图形中，圆的个数为 +1=17（个）；
第 个图形中，圆的个数为 个；
当n=9时， （个）
故答案为：82．
【点睛】本题考查用代数式表示图形的变化规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2021·湖南娄底·二模）如图所示，一系列图案均是长度相同的火柴棒按一定的规律拼搭而成：第1个
图案需7根火柴棒，第2个图案需13根火柴棒，…，依此规律，第n个图案需要________根火柴棒．
【答案】273
【分析】根据第1个图案需7根火柴，7＝1×（1＋3）＋3，第2个图案需13根火柴，13＝2×（2＋3）＋
3，第3个图案需21根火柴，21＝3×（3＋3）＋3，得出规律：第n个图案需[n（n＋3）＋3]根火柴，即可
解决问题．【详解】解：第1个图案需7根火柴，7＝1×（1＋3）＋3，
第2个图案需13根火柴，13＝2×（2＋3）＋3，
第3个图案需21根火柴，21＝3×（3＋3）＋3，
…，
则第n个图案需[n（n＋3）＋3]根火柴，
∴第15个图案需：15×（15＋3）＋3＝273（根）．
故答案为：273．
【点睛】本题考查图形的变化规律的理解与运用能力．注意根据题目中所给的图形进行观察思考，总结归
纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键．
6．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，图①由4根火柴棍围成；图②由12根火柴棍围成；图③由24根
火柴棍围成；…按此规律，则第⑩个图形由______根火柴棍围成．
【答案】220
【分析】根据每个图形中火柴棒的根数得出1×2+1×2＝4，2×3+2×3＝12，3×4+3×4＝24，…进而得出第n
个图形中火柴棒的根数，即可得出第⑥个图形中火柴棒的根数．
【详解】解：∵第①个图形中有4根火柴棒：1×2+1×2＝4，
第②个图形一共有12根火柴棒：2×3+2×3＝12，
第③个图形一共有24根火柴棒：3×4+3×4＝24，
…
∴则第n个图形中火柴棒的根数为：n（n+1）+n（n+1）＝2n（n+1），
故第⑩个图形中火柴棒的根数为：2×10×（10+1）＝220．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了图形的变化类，根据已知得出每个图形中数字变化规律是解题关键．
题型6：图形的规律（指数类）
1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C 的等边三角形卡纸，把图①的卡
1纸剪去一个边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 的等边三角形
后得到图③，依次剪去一个边长为 、 、 …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n
（n≥3）中的卡纸的周长为C ，则C ﹣C ＝_____．
n n n﹣1
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C ，C ，C ，C ，根据周长相减的结
1 2 3 4
果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C ＝1+1+1＝3，C ＝1+1+ ＝ ，C ＝1+1+ ×3＝ ，C ＝1+1+ ×2+ ×3＝ ，…
1 2 3 4
∴C ﹣C = ，C ﹣C ＝ ﹣ ＝ ＝（ ）2；C ﹣C ＝ ﹣ ＝ ＝（ ）3，…
3 2 3 2 4 3
则C ﹣C ＝（ ）n﹣1＝ ．故答案为： ．
n n﹣1
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，并应用规律解决问
题．
2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，
每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行
9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8= ×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为
4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，
和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+•••+20= （1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为 和 两部分，第二次将正方形的 分割为 和 两部分，•••，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为 ，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴ ，
左右两边同除以2得： ．∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生
数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正
方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸
片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的
一半即可解答．
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S= ，第二次：余下面积S= ，第三次：余下面积S= ，
1 2 3
当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为S = ，故选：C．
2021
【点睛】本题考查剪纸问题，图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常
考题型．
4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将
一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两个面积为 的
长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算： 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为
所求.最后一个小长方形的面积= 故
即 故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于
总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：
把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别
重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中
的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的 ，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的 ，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣ ，图3阴影部分面积＝ ，
图4阴影部分面积＝ ，图5阴影部分面积＝ ．故选：B．
6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图
形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积为S，则S＝_____，
1 2 n 4
S+S+S+…+S ＝______．
1 2 3 2021
【答案】
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据句各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下
部分的面积进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得： ……；
∴ ，∴S+S+S+…+S ＝ ；故答案为 ，
1 2 3 2021
．
【点睛】本题主要考查图形规律及有理数的运算，关键在于观察各部分图形的面积之和等于正方形面积减
去剩下部分的面积．
题型7：程序框图
1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结
果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）A．6 B．3 C．24 D．12
【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此
作答即可．
【解答】解：第1次输出的数为： ；
第2次输出的数为： ；
第3次输出的数为： ；
第4次输出的数为：3+3＝6；
第5次输出的数为： ；
…
由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴第2021次输出的数为3．
故选：B．
2．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运
算，若输入一个有理数 ，则可相应的输出一个结果 ．若输入 的值为 ，则输出的结果 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把x= 代入程序中计算，判断结果比0小，以此类推，得到结果大于0，输出即可．【详解】解：把x= 代入运算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-5<0，
把x=-5代入运算程序得：（-5）×（-3）-8=15-8=7>0，
输出的结果y为7．
故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
3．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是
32，则满足条件的x值为（ ）
A．11 B．4 C．11或4 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意列出等式，进而可以求解．
【详解】解：由题意可得，
当输入x时，3x-1=32，解得：x=11，
即输入x=11，输出结果为32；
当输入x满足3x-1=11时，解得x=4，
即输入x=4，结果为11，再输入11可得结果为32，
故选：C．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键．
4．（2022·重庆南开中学七年级期末）按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（
）
A．﹣3 B．1 C．5 D．9
【答案】C
【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．【详解】解：∵输入a＝1，b＝﹣2，a＞b，即走“否”的路径，
∴ ，
输出结果为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式运算、实数运算的新定义，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．
5．（2022·贵州六盘水·七年级期末）小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了
如图所示的运算程序，若开始输入 的值为2，则最后输出的结果 是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【分析】把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直
接输出结果．
【详解】解：当m=2时，
m2-1
=22-1
=3＜7，
当m=3时，
m2-1
=32-1
=8＞7，
则y=8．
故选：D．
【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．
6．（2022·重庆·三模）按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是（ ）A．a=4，b=3 B．a=2，b=4 C．a=3，b=4 D．a=1，b=4
【答案】A
【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、把 ， 代入运算程序中得：
∵a>b，
∴ ，符合题意；
B、把 ， 代入运算程序中得：
∵a＜b，
∴ ，不符合题意；
C、把 ， 代入运算程序中得：
∵a
