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专题 08 二次根式比较大小的三类综合题型
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典例详解
类型一、利用完全平方式比较大小
类型二、作差法比较大小
类型三、利用分母有理化比较大小
压轴专练
类型一、利用完全平方式比较大小
例1．若 ，则关于 的大小，以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出 ，进而即可判断求解，掌握二次根式的大
小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
，
，
故选： ．
变式1-1．若 ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，即 ，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决
本题的关键．
变式1-2．比较大小： （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出 ， 即可求解，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
变式1-3．比较大小： （填“ 或 或 ”）．
【答案】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出 ， ，
即可求解．
【详解】解： ，
，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
变式1-4．比较大小： ．（填＞，＜，＝）
【答案】<
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
类型二、作差法比较大小
例2．比较大小 ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】两数相减，判断差的正负，得到两数的大小关系．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握用作差法比较实数大小的方法．
变式2-1．比较大小： 填“>”，“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数作差，判断差的正负即可．
【详解】解：∵
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握用作差法比较实数大小是解题的关键．
变式2-2．比较大小 （填“ ”“ ”或者“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答．
【详解】解： ，∵ ， ， ，
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
故答案为：
变式2-3．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
类型三、利用分母有理化比较大小
例3．比较 与 的大小可以采用下面的方法：
；
．因为 ，所以 ，
即 ．
仔细研读上面的解题方法，完成下列问题：
(1)试比较 与 的大小；
(2)尝试计算： ．
【答案】(1) ；(2)6
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：
（1）仿照题干的方法，将 转化为 ，将 转化为
，比较大小即可；
（2）先进行分母有理化，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
．
因为 ，
所以 ，
即 ．（2）
．
变式3-1．材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．
例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有理化
因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： ， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)填空： 的有理化因式是 （写出一个即可）；
(2)化简： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键．（1）根据分母有理化的概念进行解答即可；
（2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可；
（3）先求出各个数的倒数，比较倒数的大小，从而比较 与 的大小即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的有理化因式为： ，
故答案为： ；
（2）原式
（3） ，理由如下：
，
变式3-2．像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因式”．进
行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【答案】(1)① ，②
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据 ，再计算求解即可；②根据 ，再计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得 ，同理：
， ，则 ，进而可得 ．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；
②解： ，故答案为： ；
（2）解：
．
（3）解： ；理由如下；
∵ ，
∴ ，
同理： ， ，
∴ ，
∴ ．
变式3-3．分母有理化应用：
(1)填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
(2)化简： ；
(3)利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ，(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了二次根式的混运算；
（1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解；
（2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解；
（3）比较两数的倒数的大小，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ， ；
（2）
；
（3） 理由如下：
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ．1．比较大小： ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．
【详解】解： ， ， ，
∵ ，∴ ；
故选D．
2．已知 ， ， ，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 化为 再结合
从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
，
而
∴
故选A．3．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键．
通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小．
【详解】解：因为 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ．
故答案为： ．
4． 的绝对值是 ； 5（选填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数的性质，熟练掌握实数的大小比较方法，实数的性质是解题的
关键．
根据实数的性质，实数的大小比较方法解答即可．
【详解】解：
故答案为： ．
5．比较大小： ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将两个数平方，再比较大小即可得解．
【详解】解：∵ ， ，且 ，∴ ，
故答案为： ．
6．比较大小： ．
【答案】
【详解】本题主要考查了二次根式大小比较，先根据分母有理化得出 ，
，然后根据 ，即 ，即
可得出答案．
【分析】解：∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
7．比较大小
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到 ，
，再根据 得到 ， ，即可
得到 ，则 ．【详解】解： ，
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．比较大小：
（1） 8；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较．
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用分子有理化，即可比较大小．
【详解】解：（1） ，
，
∴ ，∴ ，故答案为： ；
（2） ，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．比较大小： ．（填“ ”，“ ”，或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数
的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，故答案为： ．
10．比较大小： ， ．（填“ ”“ ”“ ”
【答案】
【分析】第一空比较分子大小即可，第二空分子有理化得到 ， ，从而
可得结论．
【详解】解：∵
∴
∵ ， ，且
∴
∴
故答案为： ；【点睛】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较，灵活掌握比较大小的方法是解答本题的
关键．
11．比较大小 ；-2 -3 ．
【答案】 <， >
【分析】根据根式的性质把根号外的因式移到根号内，根据绝对值的大小判断即可．
【详解】解：∵ -1 1，
∴ ；
∵2 = ，3 = ，
∵ ，
∴-2 -3 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了根式的性质，实数的大小比较等知识点的理解和应用，关键是知道如何比较两负数和
根式的大小．
12．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
； ；
；
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；
(2)观察以上规律，请写出第 个等式：______（ 为正整数）；
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题
关键．
（1）观察已知等式规律作答即可；
（2）观察已知等式规律作答即可；
（3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小．
【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为： ，
故答案为：
（2）解：观察以上规律，第 个等式为： ，
故答案为： ；
（3）解： ，
，
，
，即 ，
．
13． “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的
数学问题．为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在 中，
， ，点 在 上，且 ，这样就可以得出 与 的大小关系．
请写出 与 的大小关系并结合图形通过计算说明理由．【答案】 ，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出
，根据 ，即可得到 ．
【详解】解； ，理由如下：
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ．
14．阅读材料：像 两个含有二次根式的代
数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与 ，
与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1)写出 的一个有理化因式：________，将 分母有理化得________．
(2)计算： ；
(3)比较大小： ________ （用“＞”、“=”或“＜”填空）．【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算
方法．
（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解；
（3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解．
【详解】（1）解： 的一个有理化因式为 ； 分母有理化得 ，
故答案为： ； ．
（2）解：
；
（3）解：
∵
∴
故答案为： ．
