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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 06 一元二次方程的实际应用—传染问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·准格尔旗期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会
了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设
1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36
【答案】B
【完整解答】解：设1人每次能教会x名同学，根据题意可得：
1＋x＋x（1＋x）＝36，
即（x＋1）2＝36，
故答案为：B
【思路引导】设1人每次能教会x名同学，根据题意列出方程1＋x＋x（1＋x）＝36，再化简即可。
2．（2分）（2021九上·包头期末）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7
天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． x（x＋1）＝21 B． x（x－1）＝21
C．x（x＋1）＝21 D．x（x－1）＝21
【答案】B
【完整解答】∵比赛组织者邀请x个队参赛，且参赛的每两个队之间都要比赛一场
∴每只球队比赛的总场次为：x－1
∴所有比赛的总场次为： x（x－1）
∵赛程共7天，每天3场比赛∴ x（x－1）＝21
故答案为：B．
【思路引导】先求出每只球队比赛的总场次为：x－1，再求出所有比赛的总场次为： x（x－1），最后
列方程即可。
3．（2分）（2021九上·建华期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2450 B．x（x-1）＝2450
C． x（x+1）＝2450 D． x（x-1）＝2450
【答案】B
【完整解答】解：由题意得，x(x-1)＝2450．
故答案为：B．
【思路引导】根据 全班共送2450张照片， 列方程求解即可。
4．（2分）（2021九上·虎林期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循
环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【完整解答】解：设参加比赛的队伍数量为x队，
每队与其它队进行一次比赛，共有（x-1）场，
一共比赛场数为 ，
根据题意得 =66，
整理得 ，
解得 （舍去）．故答案为：C．
【思路引导】设参加比赛的队伍数量为x队，每队与其它队进行一次比赛，共有（x-1）场，根据题意列出
方程 =66，再求出x的值即可。
5．（2分）（2021九上·花都期中）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所
有公司共签订了45份合同，如果参加这次交易会的公司共有x家，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B． x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D． x（x+1）＝45
【答案】B
【完整解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，
依题意得： x（x﹣1）＝45．
故答案为：B．
【思路引导】根据参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45
份合同， 列方程即可。
6．（2分）（2021九上·罗湖期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急
性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染
了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现
未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了 ( )
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
【答案】B
【完整解答】解：设在每一轮中平均一个人传染了x人，
根据题意可得，（1+x）2=144
解得，x=11，x=-13（舍去）。
1 2
故答案为：B.【思路引导】根据题意，列出方程，求出答案即可。
7．（2分）（2021九上·津南期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），
计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【完整解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得 x(x−1)＝21，
∴x＝7或x＝−6（不合题意，舍去）．
∴应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：A．
【思路引导】先求出 x(x−1)＝21，再解方程即可。
8．（2分）（2021九上·甘井子期中）足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各
踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝210 B． x（x+1）＝210
C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210
【答案】C
【完整解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的（x﹣1）队打球，即共打x（x﹣
1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）＝210，
故答案为：C．
【思路引导】先求出每两支球队相互之间都要比赛两场，再列方程即可。
9．（2分）（2021九上·孝义期中）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，
是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只
动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x＋1）＝363
B．3＋3x＋3x²＝363
C．3（1＋x）²＝363
D．3＋3（1＋x）＋3（1＋x）²＝363
【答案】C
【完整解答】设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，
列方程得：3（1＋x）²＝363，
故答案为：C．
【思路引导】根据 在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被
感染 ，列方程即可。
10．（2分）（2021九上·海珠期中）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21
场，设共有 个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：设共有x 队参赛，此次比赛总场次为
已知共比赛21场.
根据题意列方程为
故答案为：D.【思路引导】根据 参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场， 列方程即可。
二．填空题（共9小题，每题2分，满分18分）
11．（2分）（2021九上·密山期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设
共有x人参加同学聚会．列方程得 ．
【答案】
【完整解答】解：由题意列方程得，
．
故答案为： ．
【思路引导】根据题意直接列出方程 即可。
12．（2分）（2021九上·虎林期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市
组建团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，则这个
团队有 人．
【答案】10
【完整解答】解：设这个团队有x人，则
x（x-1）=90，
解得： (舍)，
∴个团队有10，
故答案为：10．
【思路引导】设这个团队有x人，根据题意列出方程x（x-1）=90，求解即可。
13．（2分）（2021九上·无棣期中）新冠病毒传染性很强，如不注重个人防疫，有一个人感染，经过两轮
传染后共有144人会被感染，若设平均每轮传染x人，则可列方程为
【答案】1+x+（1+x）x＝144【完整解答】解： 设平均每轮传染x人，
根据题意得： 1+x+（1+x）x＝144.
【思路引导】根据题意得出经过一轮传染后共有1+x个人会被感染， 经过两轮传染后共有1+x+ （1+x）x
个人会被感染，列出方程即可.
14．（2分）（2021九上·汉滨期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已
知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有625个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染
人，则可列方程为 ．
【答案】
【完整解答】解：由题意，第一轮会有 人被传染，
第二轮会有 人被传染，
则 ，
.
故答案为： .
【思路引导】由题意可得：第一轮会有m人被传染，第二轮会有m(1+m)人被传染，然后根据经过两轮传
染后共有625人就可列出方程.
15．（2分）（2021九上·谷城期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传
染中平均一个人传染的人数为人 .
【答案】9
【完整解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，
第一轮后为：x+1人，第二轮后为：x+1+（x+1）x，
∴x+1+（x+1）x=100，
∴x2+2x-99=0，
∴（x+11）（x-9）=0，
∴x=-11（舍）或9.
故答案为：10.
【思路引导】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则第一轮后为：x+1人，第二轮后为：x+1+（x+1）x，结合经过两轮传染后共有100人患了流感列出方程求解即可.
16．（2分）（2021九上·奈曼旗月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传
染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 人患有流感．
【答案】729
【完整解答】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x人，
由题意可列得， ，
解得 ， （舍去），
即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，
经过三轮传染后患上流感的人数为： （人）.
故答案为： 729 .
【思路引导】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程
求解，然后可得三轮过后患流感的人数。
17．（2分）（2021九上·呼和浩特月考）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留
念，全班共送56张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ．
【答案】x（x-1）=56
【完整解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=56．
故答案为：x（x-1）=56．
【思路引导】全班有x名同学，每名同学要送出（x-1）张，根据“ 全班共送56张照片 ”即可列出方程
x（x-1）=56．
18．（2分）（2021九上·蓬江月考）学校组织学生三人篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一
场），共进行了36场比赛则有 支队伍参加该项比赛．
【答案】9
【完整解答】设应邀请x个队伍参赛，
依题意可列方程： ，整理得： ，
解得： ， （舍）
故应邀请9个队伍参赛．
故答案为9．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
19．（2分）（2021九上·香坊开学考）九年三班文学小组在图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意可列方程
．
【答案】x（x−1）＝240
【完整解答】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x−1）本；
则总共送出的图书为x（x−1）；
又知实际互赠了240本图书，
则x（x−1）＝240．
故答案为：x（x−1）＝240．
【思路引导】根据全组共互赠了240本图书， 列方程求出x（x−1）＝240即可。
三．解答题（共9题，满分62分）
20．（5分）（2021九上·霍林郭勒月考）2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）于2019年9月14日
至9月29日在日本举行，中国女子排球队以全胜的战绩夺得冠军，受到习总书记的接见．赛制采用单循环
制（即每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，请求出参赛队伍数．
【答案】解：设一共有x个队伍参赛，则每个队伍的比赛场数为（x-1）场，但是需要注意的是，甲与乙的
比赛和乙与甲的比赛是同一场，
由题意得 即
∴ ，
解得 或 （舍去）
∴一共有12个队伍参赛，答：一共有12个队伍参赛．
【思路引导】 设一共有x个队伍参赛，则每个队伍的比赛场数为（x-1）场， 每两对之间只进行一次比赛
即可得到方程 求解即可。
21．（5分）（2020九上·奈曼旗月考）奈曼旗某中学要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两队之间
赛两场），计划安排12场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【答案】解：设要邀请x支球队参加比赛，
由题意，得：
x（x−1）＝12，
解得：x＝4，x＝−3（舍去）．
1 2
答：应邀请4支球队参加比赛．
【思路引导】 设要邀请x支球队参加比赛， 根据“ 安排12场比赛 ”列方程求解即可。
22．（6分）（2021九上·雷州期中）学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都
赛一场）．
（1）（1分）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）（5分）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【答案】（1）6
（2）解：设有 支球队参加比赛，根据题意得：
，
解得： （不合题意，舍去），
答：有9支球队参加比赛．
【完整解答】解：（1） （场），
答：共进行6场比赛；
【思路引导】（1）求出 即可作答；（2）先求出 ， 再解方程即可。
23．（7分）（2020九上·无为期末） 年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，
疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，
结果两天后发现共有50人感染发病．
（1）（3分）求每位发病者平均每天传染多少人？
（2）（4分）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【答案】（1）解：设每位发病者平均每天传染 人，由题意得，
．
解得： ， （不合题意，舍去）
答：每位发病者平均每天传染4个人；
（2）解： ．
答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过200人．
【思路引导】（1）设每位发病者平均每天传染 人，由题意列出方程，解之即可；
（2）利用再过一天发病人数=50×（1+每位发病者平均每天传染人数），可求出再过一天发病，人数在于
200比较后，即可得出结论。
24．（7分）（2020九上·厦门期中）某校九年级学生小强与他的学习互助组成员商量，决定毕业时，都将
自己的相片送一张给互助组其他成员作纪念．同时，互助组每位成员也都送班主任王老师一张相片，以感
谢王老师三年来对互助组的辛勤指导．
（1）（3分）若该互助组有n名成员，则毕业时，他们一共将送出多少张相片？（用含n的代数式表
示）；
（2）（4分）小强说，他算了一下，他们互助组一共将送出20张相片，那么，你同意他的说法吗？请
说明理由．
【答案】（1）解：每人送出（n－1）张照片，共n人，一共n（n－1）张，另外还要加上送给王老师的n
张，共n（n﹣1）＋n张；
（2）解：不同意．
依题意得：n（n﹣1）＋n＝20，∴n＝±2
显然，n不是正整数，错误，
∴小强说一共送出20张相片的说法错误．
【思路引导】（1）每人送出的照片数量×人数，加上送给王老师的张数，即可求得；（2）令（1）题中的
代数式为20求得整数即可，否则不可以．
25．（7分）（2020九上·历下期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开
始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而
且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸
成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新
冠肺炎病毒的携带者．
（1）（3分）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）（4分）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）解：设每人每轮传染 人，
依题意，得： ，得： ， （不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人
（2）解：81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【思路引导】（1）设每人每轮传染 人， 依题意得出关于x的一元二次方程，解之得出x的值，将其
正值与10比较即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染厚病毒携带者的人数=经过两轮传染后，病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的
人数）即可求出结论。
26．（7分）（2020九上·重庆月考）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的
急性呼吸道传染病.感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现.约半数患者多在一周后出现呼
吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障
碍.
（1）（3分）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”
（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）（4分）后来举国上下众志成城，全都隔离在家.小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨.香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，
每天可以卖80斤.在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤.为了最大幅
度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x＝11，x＝﹣13（不合题意，舍去）.
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了11人.
（2）解：设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10× ）＝100，
整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y＝5，y＝9（不合题意，舍去）.
1 2
答：小玲应该将售价定为5元.
【思路引导】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144
人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小玲应该将售价
定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，根据总利润＝每斤的利润×销售数量，即可得出关于y
的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
27．（8分）（2020九上·佛山月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开
始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，
未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）（4分）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）（4分）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多
少人患病？
【答案】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x＝12，x＝﹣14（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）解：169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【思路引导】（1） 设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎 ，
列出方程，解出方程即可；
（2）利用三轮传染后患病人数=169×（1+x）计算即得结论.
28．（10分）（2019九上·天台月考）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染
病，经过两轮传染后共有64人患了该病。
（1）（5分）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）（5分）如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少人未被传染？
【答案】（1）解：设平均一个人传了x个人，
由题意得(1+x)2=64,
∴1+x=±8，
∴x=7或-9（舍去），
（2）解：600-(1+7)3=600-512=88(人).
【思路引导】（1）设每轮传染中，平均一人传染了x个，一轮后有(x+1)人传染，第二轮就应该有x(x+1)
被传染，将两轮的人数相加整理即可得出方程，再求解即可；
（2）根据题（1）的结果，经过三轮有(1+7)3人被传染，则未被传染的人数可求.
