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专题 08 一线三角型
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【例题精讲】
例1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
(1)求证： ABE∽△ECD；
(2)若AB＝△4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝ ．
【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，
∴EC＝B△C－BE＝5－3＝2，
∵△ABE∽△ECD，∴ ，
∴ ，∴CD＝ .
例2．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或 ．
【详解】探究：证明：∵ 是 的外角，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，解得： ；
拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵∠CPB是 APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CP△E，∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；
当PC=PE时， ACP≌△BPE，则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=1△2 8=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，∴ ，即 ，解得： ，
∴AP=AB PB= ，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或 ．
【变式训练1】如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结
AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）当△CEF的面积最大时，求EC．
【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5.
【详解】解：（1） 四边形 是正方形， ，
， ， ， ，
， ；
（2） ， ， ， ， ，
由（1）知， ， ， ， ，
；
（3）设 ，则 ，
，由（1）知， ， ， ，
， ，当 时， ．
【变式训练2】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，
BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴ ，∵△ABP∽△PCD ，
设 ，则 ， ∴
经检验： 是原方程的解， 所以三角形 的边长为：3．
【变式训练3】如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当 ＝ 时，求 ；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当 ＝
_________时（直接写结果），tan∠DJE＝ ．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【详解】（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，∴∠2+∠3=180°-90°=90°，∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF，∴ ，∴EA•ED=AB•DF；
（2）解：如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过点M作MN⊥AB于N，过点E作ET⊥BD于T．
∵ ，∴设AH=m，BH=5m，
∵∠EHM=90°，∠HEM=45°，∴∠HEM=∠HME=45°，∴HE=HM，
∵∠EAH=∠EHM=∠MNH=90°，
∴∠EHA+∠MHN=90°，∠MHN+∠HMN=90°，∴∠EHA=∠HMN，∴△EAH≌△HNM（AAS），
∴MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，∴BN=5m-x，
∵MN∥AE，∴ ，∴ ，整理得， ，∴ 或 ，
①当 时，∵BE平分∠ABD，EA⊥BA，ET⊥BD，∴EA=ET，∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，∵ ，即 ，
整理得： ，解得： 或 (舍去)，∴DE= ，AD=AE+DE= ，BG= ，
∵AE∥BG，∴ ，∴EK= EB，
∵tan∠ABE= tan∠DBE= ，∴EJ= EB，∴ ；
②当 时，同理可得 ；综上所述， 的值为 或 ；
（3）解：如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P．∵∠MEB=∠J，∴tan∠MEB=tan∠J= ，
∵∠BEJ=∠A=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，∴△JDE∽△EMB， ，
设DE=2k，BM=3k，∵∠EMA+∠AEM=90°，∠EMA +∠NMP=90°，∴∠AEM =∠NMP，
∵Rt EAM∽Rt MPN， ，
△ △
设PM=a，则AE=2a，∴AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，∴PN ，PB= ，
∵PN∥AE，∴ ，∴ ，∴ （负根已经舍弃），∴ ，
故答案为： ．
【课后训练】
1．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB ，P是AD边上一动点，沿
过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点 处，当 是直角三角形时，PD的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵CD＝4，tan∠AEB ，∴BE＝3，
在Rt ABE中，AE ，
△
∵E是BC的中点，∴AD＝6，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴ ，∴ ，∴x ，∴PD ；
②当∠APD'＝90°时，∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴ ，
∴ ，∴x ，
∴PD ；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为 或 ；
故选：B．
2．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E
逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________， CEF
面积的最小值是 ________． △
【答案】 2 15
【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点
∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，
当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，
∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线，∴ ．
故G的运动路径=2，
过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA， ∴
为 的中点， ∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：2，15．
3．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿 折叠使点
落在 点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 是以 为腰的等腰三角形，则 的长为
________．【答案】 或
【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，
由翻折的性质可知，AF=FG，BF⊥AG，
∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=∠ADE=90°，∴△BAF∽△ADE，∴ ，∴ ，∴DE= ，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，
∴四边形GMDN是矩形，∴GM=DN=EN= ，
∵GD=GE，∴∠GDE=∠GED，
∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，
∴∠GDA=∠GAD，∴GA=GD=GE，
∵GM∥DE，∴AM=MD=6，
在Rt FGM中，则有 ，解得 或 （舍弃），∴AF= ．
△
如图2中，当DG=DE时，由翻折的性质可知，BA=BG，∴∠BAG=∠BGA，
∵DG=FE，∴∠DGE=∠DEG，
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DEG，∴∠AGB=∠DGE，∴B，G，D共线，
∵BD= ，BG=BA=9，∴DG=DE=6，
∵△BAF∽△ADE，∴ ，∴ ，∴AF= ，
综上所述，AF的值为 或 ．
4．等边 ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕
P点旋转△．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断 EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图△2，求 EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，△求PE的长．
【答案】(1)等边三角形；(2) ；(3)4
【解析】(1)∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中， ，∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中， ，∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．
(2)过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC， ，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2 ，BE＝2，
∴EH＝BE•PE÷BP＝ ，
∴S GBE＝ ；
△
(3)∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴ ，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．∴ ＝ ，解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，则EH＝BE•sin∠B＝2 ，BH＝2，∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．
故PE＝4．
5．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证： ．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 ， ，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ，
，求 的值（用含k的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或
【详解】（1）如图， 由 折叠得到，
， ．
又 四边形ABCD是正方形， ， ， ，
又 正方形 ， ．
（2）如图，连接 ，
由（1）得 ， ，
由折叠得 ， ， ．
四边形 是正方形， ， ，
又 ， ， ．
， ， ， ．
， ，
（ 舍去）．
（3）如图，连结HE，由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，同（2）可得， ， ，
由折叠得 ， ，
又 ， ， ，
又 ， ， ，
， ，
， ．
， ， ，
（ 舍去）．
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，同理可得 ，
可得 ， ，， ，
（ 舍去）． ．
6．在 中与 中， ， ，将
绕点 顺时针旋转，连接 ，点 分别是 的中点，连接 ．
（1）观察猜想
如图1，当点 与点 重合时， 与 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点 与点 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，
请说明理由．
（3）问题解决在 旋转过程中，请直接写出 的面积的最大值与最小值．
【答案】（1）CG= CF，CF⊥CG；（2）成立，CG= CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值
，最小值 ．
【详解】（1）观察猜想
∵在Rt ABC中与Rt DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC= ，
△ △
∴AE=2DC=2 ，AC= BC= ，AB=2BC，∠CDE=60°，
∴BC=1，AB=2，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，
∴CG= AE= ，CG=AG，CF= AB=1，CF=AF，∴CG= CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，
∴∠FCG=90°，
∴CF⊥CG，故答案为：CG= CF，CF⊥CG；
（2）类比探究仍然成立，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC= ，
∴∠BCD=∠ACE，AC= BC，CE= CD，
∴ ，∴△BCD∽△ACE，∴ ，∠CAE=∠CBD，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF= BD，AG= AE，∴
∴△ACG∽△BCF，∴ ，∠BCF=∠ACG，
∴CG= CF，∠ACB=∠FCG=90°，
∴CF⊥CG；
（3）问题解决：如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH，
∵点F是BD中点，BC=CH=1，∴CF= DH，
由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积= ×CF×CG= CF2，
∴△CFG的面积= ，∴当DH取最大值时， CFG的面积有最大值，当DH取最小值时， CFG的面积有最小值，
△ △
∵CD= ，
∴点D在以点C为圆心， 为半径的圆上，
∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为 +1，
∴△CFG的面积最大值= ，
∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小 -1，∴△CFG的面积最小值= ．
7．已知正方形 的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边 、 的
延长线交于点E、F，连接 ．设 ．
（1）如图1，当 被对角线 平分时，求a、b的值；
（2）当 是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索 绕点A旋转的过程中， 的面积是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）当 时， ， ；当 时， ， ；
（3） 的面积不变，证明见解析
【详解】（1）∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ 是正方形 的对角线，∴ ，∴ ,
∵ 被对角线 平分，∴ ，在 和 中， ，∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ,∴ ，
∵ ， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，即 ；
（2）当 是直角三角形时，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ①
∵ ， ,
∴ ，
∴ ∽ ，∴ ，
∴ ，
∴ ②，
联立①②得， ， ，
∴ ， ；
②当 时，同①的方法得， ， ，
∴ ， ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 的面积不变．
8．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG
分别交CD、BC于点F、G．
（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．
（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变
化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．
（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，
并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．
（4）如图3，连接CE交FG于点H，若 ，请求出CF的长．【答案】（1）EG=3；（2）不变， tan∠EFG= ；（3）不变化．tan∠EFG= ；（4） ．
【详解】（1）∵E、F为BD、CD的中点
∴EF为△BCD的中位线
∴EF= BC=4， EF∥BC
∵矩形ABCD中，∠C=90°
∴∠EFC=90°
∵∠GEF=90°
∴四边形EGCF为矩形
∴EG=FC= =3，
（2）不变化．
如图，作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，
∴∠NEM=90°
∵∠GEF=90°
∴∠GEN=∠FEM
∴△GEN∽△FEM
∴
即 tan∠EFG= ；（3）如图所示，不变化．tan∠EFG= ;
理由：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，
∴∠NEM=90°
∵∠GEF=90°
∴∠GEN=∠FEM，又∠ENG=∠EMF=90º，
∴△GEN∽△FEM
∴
即 tan∠EFG= ；
(4)过E分别做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，
∵tan∠EFG= ，∠GEF=90º，
故可设EG=3a，EF=4a，
则GF=5a，ET= ，GT= ，
∵ ，
∴FH= ，GH= ，
∴HT=GH-GT= - = ，
∴EH= = = ，∵∠BCD=90º，BC=8，AB=CD=6，
∴BD=10，又E是BD的中点，
∴CE= BD=5，∴CH=CE-EH=5- ，
∵tan∠CE= ，tan∠EGF= ，
∴∠UCE=∠EGF，又∠CHF=∠EHG，∴ΔFHC∽ΔEHG，
∴ ，即 ，
∴ ×(5- )= × ，∴ ，∴EF= ，
∴UF= = ，
∴CF=CU-UF=3- = .
9．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G
点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG；
②求AF的长．
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且
BG＝10时，求AF的长．【答案】（1）3；（2）①见解析，②6；（3）
【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF＝EF，
∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF，
在Rt AEF中，AE2+AF2＝EF2，即42+AF2＝（8﹣AF）2，解得AF＝3；
（2）△①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG；
②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，
在Rt EFH中，FH＝ ＝ ＝6，
△
∴AF＝FH＝6；
（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距离为2cm，∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，
在Rt ENG中，GN＝ ＝ ＝8，
△
∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，
∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，
又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，解得EK＝ ，KM＝ ，∴KH＝EH﹣EK＝8﹣ ＝ ，
∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得FH＝ ，
∴AF＝FH＝ ．
