文档内容
专题1.17《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的概念；理解等腰三角形、
直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定；
2. 能用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定解一些决问
题；
3.会运用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、
角的平分线的知识解决有关问题．
【要点梳理】
知识点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别说明：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
知识点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐
角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是
直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直
角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第
三边为斜边.
知识点三、垂直平分线
线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两
个端点的距离相等。
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上.
知识点四、角的平分线
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【典型例题】
类型一、等腰三角形
1.如图，在 中， ，点D，E分别在边AB，AC上， ，
连结CD，BE．
（1）若 ，求 ， 的度数．
（2）写出 与 之间的关系，并说明理由．
【答案】（1） ； ；（2） ，见解析
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理求出 的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出
， ．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示 ， ，即可得到两角的关系．
解（1） ， ，
．
在 中， ，
，
，
，
．
．
（2） ， 的关系： ．
理由如下：设 ， ．
在 中， ，
，
．
，
在 中， ，
．
．
．
．【点拨】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角
的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的
两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
举一反三：
【变式】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ，求证：
．
【分析】根据全等三角形的性质，通过证明 ，得 ，结合等腰三角
形的性质，即可得到答案．
证明：在三角形ABO和三角形DCO中，
∵ ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、
等腰三角形的性质，从而完成求解．
类型二、直角三角形
2.已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求证：BC⊥FD．【分析】
（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第（1）问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求
得DF⊥BC．
证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt△BEC与Rt△DEA中，
∵ ，
∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质定理，（1）熟练掌握三角形
的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键；（2）本题主要
应用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.【变式1】 如图， ， ， .
（1）求证：
（2）若 ， ， ，求 的度数.
（3）在（2）的条件下，求 的长.
【答案】(1)见解析；（2） ;（3）
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理（SAS）和性质可以得到答案；
（2）连接 ，根据勾股定理即可得到答案；
（3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据勾股定理即可得到答案.
（1）证明： ，
， ，
．
在 和 中，
． ．
（2）如图，连接 ， 为等腰直角三角形．．
，
，
．
（3）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ，
， ．
在 中， ，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定定理（SAS）和性质、勾股定理，解题的关键是熟练
掌握全等三角形的判定定理（SAS）和性质、勾股定理.
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；② ．
【分析】
（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合
一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，
DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：
当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.
（1）证明：如图，∠ADC的平分线DE如图所示，
（2）延长DE交AB的延长线于F，∵CD∥AF，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADF＝∠F，
∴AD＝AF，
∵AD＝AB+CD＝AB+BF，
∴CD＝BF，
∵∠DEC＝∠BEF，
∴△DEC≌△FEB，
∴DE＝EF，
∵AD＝AF，
∴AE⊥DE；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，
∵AD＝AF，DE＝EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，
∴AK＝AB＝4，
在Rt△ADG中，DG ，∵KH∥DG，
∴ ，
∴ ，
∴KH ，
∵MB＝MK，
∴MB+MN＝KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，
∴BM+MN的最小值为 ．
【点拨】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
类型三、线段垂直平分线
3.如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，
延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．【分析】
（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得 ，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得
，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
证明：（1） ，
，
点E是CD的中点，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）由（1）已证： ，
，
又 ，
是线段AF的垂直平分线，
，由（1）可知， ，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判
定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
【变式1】 如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D,E分别在边AB、AC上，且
AD=AE，连接BE、CD，交于点F.
(1)求证：∠ABE＝∠ACD；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】
（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；（2）连接AF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够
从题目中整理出全等三角形，难度不大．
【变式2】 如图， ，分别以 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于
点 和 ，依次连接 ，连接 交 于点 .
（1）判断四边形 的形状并说明理由
（2）求 的长.【答案】（1）见解析（2）6
【分析】
（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；
（2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，
从而得到BD的长
解：（1）由图可知， 垂直平分 ，且
所以，四边形 为四边相等
（2）因为 且 平分 .
在 中，
的长为6.
【点拨】此题考查菱形的判定，垂直平分线的应用，解题关键在于得到四边相等类型四、角的平分线
1.如图，四边形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O，
，垂足分别是E、F，求证： ．
【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD
（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
证明：在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判
定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．【变式1】已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：
DE=DF
【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应
角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
证明：连结 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性
质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．【变式2】 如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC
于F.
求证：CE=CF．
【分析】利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°,CD⊥AB得∠CFB＝
∠DEB，再利用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF.
证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
【点拨】此题主要考察角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证
明.
