专题2.2基本不等式及其应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 2.2 基本不等式及其应用 练基础 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知 ， ，则 的（ ） A．最大值是 B．最大值是 C．最小值是 D．最小值是 【答案】B 【解析】 由题意得 ，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当 . 故选：B. 2．（2021·山东高三其他模拟）已知 均为正实数，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 取 可得由 推不出 ，反过来，由基本不等式可得由 能推出 ，然后可选出答案. 【详解】 取 ，则 ，但 ，所以由 推不出 ， 反过来，若 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以由 能推出 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选：C 3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在 中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知 的面积是 ，则 的三个内角大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 的面积是 ，利用面积公式及基本不等式判断出 ，由b=c得 . 【详解】 因为 ，所以 （当且仅当b=c时取等号）. 而 的面积是 , 所以 ，即 ，所以 ，因为A为三角形内角，所以 . 又因为b=c，所以 . 故选：B 4．（2021·浙江高三月考）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】 由 ，令 ， 因此 ，因为 ，所以 ， 因此 的最小值是 ， 故选：D 5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元) 与机器运转时间t(年数， )的关系为 ，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年 数t为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值. 【详解】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数， )的关系为 ，所以年平均利润 当且仅当 时等号成立， 即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8， 故选：D 6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数 ， 恒过定点 ，过 定点 的直线 与坐标轴的正半轴相交，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 求出 ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】 令 ，即 ，得 ，则 ， 则 且 ， ， 由 ． 当且仅当 ， 时，等号成立， 故选：C 7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知 ， ， ，则下列不等式恒成立 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC【解析】 由 、 结合条件等式可判断A、B，由 结合条件等式可判断C、由 结合条件等式可判断D. 【详解】 对于A，B，由 ， ，利用基本不等式 ，可得 ，解得 ， 又 （当且仅当 时，等号成立），而 ，所以 ，所以 ，故B正确，A错误： 对于C，由 ， ，利用基本不等式 ， 变形 得 （当且仅当 时，等号成立），解得 ， 即 ，故C正确； 对于D，由 ， ，利用基本不等式 化简 得 （当且仅当 时，等号成立）， 解得 ，故D错误； 故选：BC8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 A：由条件等式得 ，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得 ，令 有 即可判断正误；C：结合A，易得 ，由基本不等式即可判断正误；D：通过基 本不等式证 ，进而可判断D的正误. 【详解】 A：由 ，又 ，得 ，所以 ，正确； B：由 ，当 时有 ，此时 ，错误； C：由 ，所以 ，正确； D：由 ，所以 ，正确. 故选： 9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知 ，且 ，则下列不等式正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD【解析】 利用基本不等式证明判断． 【详解】 因为 ， ，当且仅当 时等号成立，所以 ，A正确； 由 得 ， ，同理 ， ，当且仅当 ， 即 时等号成立，B正确； 满足题意，但 ，C错； 由 得 ，所以 ，当且仅当 即 时等号成立， 所以 ．D正确． 故选：ABD 10．（2021·天津高三二模）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为______． 【答案】10 【解析】 先把 整理为 ，对 ，利用基本不等式求出最小值，即可 求出 的最小值.【详解】 ∵正实数 ， 满足 ， ∴ （当且仅当 ，即 时取等号） ∴ . 故答案为：10. 练提升 TIDHNE 1．（2021·江苏高三三模）在正方形 中， 为两条对角线的交点， 为边 上的动点.若 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】 以点 为原点，以 ， 所在直线为 ， 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，求出已知 点的坐标，然后设出点 的坐标，代入已知关系式，即可求出 ， 的关系式，然后根据基本不等式即可 求解． 【详解】 如图所示，以点 为原点，以 ， 所在直线为 ， 轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则 ， ， ， ， 则根据中点坐标公式可得 ，设点 的坐标为 ，则由 ，可得 ， ， ， 所以 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 此时 的最小值为 ， 故选：C 2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧 与函数 和函数 的图象分别相交于 ， ，其中 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】 由函数 与函数 互为反函数可得 ，然后可得 ，然后利 用基本不等式的知识求解即可. 【详解】 因为函数 与函数 互为反函数，所以 关于 对称所以 因为 ， 在圆弧 上 所以 ，所以 所以 当且仅当 ，即 时等号成立 故选：B 3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知 是圆 上的点，下列结论正确的是 （ ） A． B． 最大值是 C． D． 【答案】C 【解析】 根据基本不等式，可得判定A、B不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定 C正确，D不正确. 【详解】 根据题意，点 是圆 上的点，可得 ， 由 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，所以A不正确； 由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，即 最 小值是 ，所以B不正确；由 ，可得 ，则 ， 又由 ，所以 ，根据指数函数的性质，可得 成立，所以C正确； 由 ，又由 ， 因为 ，可得 符合不确定，所以 和 大小不确定， 所以D不正确. 故选：C. 4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且 ，则 的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．4 【答案】C 【解析】 先根据三点共线，求出 ，利用基本不等式求最值. 【详解】 因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且 ， 所以 当且仅当 ，即 时等号成立． 故选：C 5．（2021·浙江高三三模）已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据已知等式把代数式 进行变形为 ，再结合已知等式，利用基本不等式进行求 解即可. 【详解】 ，因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因此 ， 因为 是正实数，所以 ，（当且仅当 时取等号，即 时取等号，即 时取等号）， 故选：A 6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数 ， 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD【解析】 利用基本不等式证明不等式，判断选项AC的正误；利用 ，根据选项BD分别构造函数，利用 导数研究单调性和最值情况来判断选项BD的正误. 【详解】 正数 ， 满足 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故A错误； 由 知 ， ， 构造函数 ，则 ， 故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. 所以 ，故 时，有 ，B正确； 由 ，当且仅当 时等号成立，故 ， 故 ，当且仅当 时取等号，而 ，所以 ， C正确； 由 知 ， ，构造函数 ， 则 ，由指数函数性质可知 单调递增，又 ， 故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.故 ，即 ，D正确. 故选：BCD. 7．【多选题】（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数 有如下四个命题， 其中正确的命题有（ ） A． 的图象关于 轴对称 B． 的图象关于原点对称 C． 的图象关于直线 对称 D． 的值域为 【答案】AD 【解析】 对于A，B，先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，从而可得结论；对于C，分别求解 和 ，若相等，则 的图象关于直线 对称，否则 的图象不关于直线 对称； 对于D，利用基本不等式判断即可 【详解】 由题意知 的定义域为 ，且关于原点对称.又 ，所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称， 所以A正确，B错误.因为 ， ，所以 ，所以函数 的图象不关于直线 对称，C错误. 当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ， 当 时， ，当且仅当 ，即 时取 等号，所以 ，所以 的值域为 ，所以D正确. 故选：AD 8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数 ， ， 满足 ，则下列说法中一定正 确的有（ ） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D． 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断．【详解】 对于A，由 ， ， ，得 ，两边同时加 上 ，可得 ，所以 ，当且仅当 时 取等号，所以A正确. 对于B，易得 ，所以 ， 当且仅当 ， 时取等号，所以B不正确. 对于C，由 ，两边同时加上 ，得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以C正确. 对于D，易得 ，令 ， ，所以 ， 记 ， ，利用导数易求得 ，所以D正确. 故选：ACD 9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题 一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面 米的C处 看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.【答案】 【解析】 根据题意， ，分别求得 ， 表达式，即可求得 表达 式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】 过C作 ，交AB于D，如图所示： 则 ， 设 ， 在 中， ， 在 中， ， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 取最大值时， 最大， 所以当离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大. 故答案为： 10．（2021·山东高三其他模拟）从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答. 问题：在 中， 分别为内角 的对边，若 ，_________，求 的周长的最大 值. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【解析】 若选条件①，由正弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得 的值，由此求得 ， 利用余弦定理以及基本不等式求得 的最大值，从而求得三角形 的周长的最大值. 若选条件②， 利用余弦定理求得 的值，进而求得 ，利用余弦定理以及基本不等式求得 的最大值，从而求得 三角形 的周长的最大值. 若选条件③，利用同角三角函数的基本关系式、余弦定理求得 的值， 进而求得 ，利用余弦定理以及基本不等式求得 的最大值，从而求得三角形 的周长的最大值. 【详解】若选条件①，由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 整理得 ，所以 ， 因为 ，所以 . 因为 ，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号， 所以 周长的最大值为 . 若选条件②，因为 ，所以 ， 整理得 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 因为 ，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 周长的最大值为 . 若选条件③，因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 因为 ，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号， 所以 周长的最大值为 . 练真题 TIDHNE a 0,b 0 ab4 ab4 1．（2019年高考浙江卷）若 ，则“ ”是 “ ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A a>0, b>0 ab2 ab ab ab4 【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有 2 ab ab4 ab4 ，解得 ，充分性成立；a=1, b=4 ab4 a+b=5>4 ab4 ab4 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】 对于A， ， 当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B， ，所以 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ABD3．（山东省高考真题）定义运算“ ”： （ ）.当 时， 的最小值是 . 【答案】 【解析】 由新定义运算知， ，因为， ， 所以， ，当且仅当 时， 的最小值是 . 4．（2020·天津高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， , ，当且仅当 =4时取等号， 结合 ,解得 ，或 时，等号成立. 故答案为： 5．（2020·江苏高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．【答案】 【解析】 根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ∵ ∴ 且 ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 6.（2020·全国高考真题（文））设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设 ，由题意得出 ，由 ，结 合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1） ， . 均不为 ，则 ， ； （2）不妨设 ， 由 可知， ， ， . 当且仅当 时，取等号， ，即 .