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专题 1.3 正方形的性质与判定
目录
正方形的基本性质问题..................................................................................................................1
正方形的判定..................................................................................................................................2
求角度..............................................................................................................................................3
一线三垂直模型..............................................................................................................................4
十字模型..........................................................................................................................................5
对角互补模型..................................................................................................................................7
半角模型..........................................................................................................................................8
存在性问题......................................................................................................................................9
多结论问题....................................................................................................................................10
证明题............................................................................................................................................12
正方形的基本性质问题
正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条
对称轴）
【例1】以下说法不正确的是
A．菱形四条边相等 B．矩形对角线相等
C．正方形对角线互相垂直平分 D．平行四边形是轴对称图形
【变式训练1】下列说法正确的是
A．正方形的每一条对角线平分一组对角
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角
D．平行四边形是轴对称图形
【变式训练2】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．轴对称图形 D．对角线互相平分
【变式训练3】下列说法不正确的是
A．矩形的对角线相等且互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．正方形的对角线相等且互相平分
D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
正方形的判定
正方形常用的判定：
有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
【例2】如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，只需添加一个条件，即可
证明菱形 是正方形，这个条件可以是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列说法错误的是
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【变式训练2】如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，点 、 分别在 、的延长线上，且 ，则四边形 是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【变式训练3】如图，在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上， ，
，下列四个判断中，正确的个数有
①四边形 是平行四边形
②如果 ，那么四边形 是矩形
③如果 平分 ，那么四边形 是菱形
④如果 ，且 ，那么四边形 是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
求角度
【例3】如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且
，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在正方形 中， 是边 上一点， 交对角线 于点 ，连结 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点 ． 、 分别为
、 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数
为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上
一点，连接 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
一线三垂直模型
【例4】如图，将正方形 放在平面直角坐标系中， 是坐标原点，顶点 ， 在第一象限，若点 ，点 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，正方形 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，则顶点 的
坐标是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 的坐标为
点 的坐标为 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，四边形 是正方形， 点的坐标是 ，则点 的坐标为A． ， B． ， C． D．
十字模型
【例5】如图， 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， 、
相交于点 ，下列结论中正确的是
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式训练1】如图，已知 、 分别是正方形 的边 与 的中点， 与
交于 ．则下列结论成立的是A． B．
C． D．
【变式训练2】如图，正方形 的边长为 6，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 、 ， 与 相交于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接
，则 的长为
A． B． C．5 D．
【变式训练3】如图，在正方形 中， 为 边上一点， 于点 ，若已知
下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是
A． B． C． D．
对角互补模型
【例6】如图，点 在正方形 的对角线 上，且 ， 的两直角边
， 分别交 ， 于点 ， ．若正方形 边长为4，则重叠部分四边形的面积为
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练1】如图，正方形 的对角线相交于点 ，以点 为顶点的正方形
的两边 ， 分别交正方形 的两边 ， 于点 ， ，记 的面积为
， 的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练2】如图，在正方形 中，点 是对角线 ， 的交点，过点 作射线
， 分别交 ， 于点 ， ，且 ， ， 交于点 ．有下列
结论：
① ；
② ；
③四边形 的面积为正方形 面积的 ；
④ ．
其中正确的是A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【变式训练3】如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ， 是边 上一点，连
接 ，过点 作 ，交 于点 ．若四边形 的面积是2，则 的长为
A．1 B． C．2 D．
半角模型
【例7】如图，在边长为 6 的正方形 中， 、 分别在边 、 上，且
，连接 ，若 ，则 的面积为
A．30 B．15 C．11 D．5.5
【变式训练1】如图，正方形 中，点 为 上一点， 与 交于点 ，连接
，若 ，则 的度数A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在边长为6的正方形 中， 是边 的中点， 在 边上，
且 ，连接 ，则 的长为
A．2 B． C．3 D．
【变式训练3】如 图 ， 在 正 方 形 中 ， 、 分 别 为 、 边 上 的 点 ，
，若 ， ，则正方形 的边长为
A．8 B．6 C． D．
存在性问题
【例8】如图，在 中，点 、 、 分别是 、 、 的中点，则下列四个判
断中，不正确的是
A．四边形 是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形D．若四边形 是正方形，则 是等边三角形
【变式训练1】如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且
， ．下列四个判断中，不正确的是
A．四边形 是平行四边形
B．如果 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 且 ，则四边形 是正方形
【变式训练2】如图，四边形 是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当 是矩形时， B．当 是菱形时，
C．当 是正方形时， D．当 是菱形时，
【变式训练3】如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中正确的是
A．当 时，它是矩形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是菱形 D．当 时，它是正方形
多结论问题
【例9】如图，在正方形 中， ，点 在对角线 上， ， ，
垂足分别为 ， ，连结 、 ，以下结论中：① ；② ；③ 的最小值为其中正确的是
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为12， ， 、 交于点
．则下列结论：① ；② 垂直平分 ；③ ；④
中，正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2】正方形 ，正方形 如图放置，点 、 、 在同一条直线上，
点 在 边上， ，且 ，连接 交 于点 ．有下列结论：①
； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
，其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤【变式训练3】如图，正方形 边长为6， 是 的中点，连接 ，以 为边在正
方形内部作 ，边 交 于 ，连接 ．则下列说法正确的有
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④
证明题
【例10】如图，正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，
交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）写出线段 ， 的数量关系并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．【变式训练1】如 图 ， 在 正 方 形 中 ， 、 分 别 是 、 上 的 点 ， 且
．
（1）求证： ．
（2）在图中，连接 ，分别与 、 相交于点 、 ，请依据描述画出相应图形．
猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练2】如图，点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点， 与 交
于点 ，连接 ．
（1）写出线段 与 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证： ．【变式训练3】如图，点 是正方形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为
边作一个正方形 ，线段 和 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【变式训练4】已知：四边形 是正方形．
（1）如图1，点 是边 的中点， ，且 交正方形外角平分线 于点 ．
求证： ；
（2）如图2，若把（1）中“点 是边 的中点”改为“点 是边 上的任意一点”，
其余的条件不变，试证明 仍然成立．【变式训练5】在正方形 中，点 是边 上一点，连接 ，点 为 中点．连
接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）当 时，求 的度数．
1．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是
A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
2．四边形 的对角线 和 相交于点 ，设有下列条件：① ；②
；③ 与 互相平分；④矩形 ；⑤菱形 ；⑥正方形 ，则
下列推理成立的是
A．①④ ⑥ B．②④ ⑥ C．①② ⑥ D．①③ ⑤
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
4．如图， 是正方形 的边 上一点，过点 作 交 的延长线于点 ，
若 ，则四边形 的面积是
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
5．已知四边形 是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是
A． B． C． 且 D． 平分
6．下列说法正确的是
A．有一个直角的四边形是矩形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
7．若四边形 是_________，则四边形 一定是_________，那么这两空依次可
以填
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
8．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有一个内角是直角的四边形是矩形
C．菱形不可能是正方形
D．正方形既是矩形，又是菱形
9．如图， 是正方形 内一点，且 ， ．若 ，则
．
10．已知正方形ABCD的对角线AC的长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
11．如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使 成为正方形，还需添加的一
个条件是 （只需添加一个即可）
12．如图所示，多边形 中， ， ， ， 是直角，
，则多边形 的面积是 ．
13．已知，如图，在 中， 是两锐角平分线的交点， ， ，垂
足分别为 ， ，求证：四边形 是正方形．14．如图，已知正方形 的边长是8， 是 边上的点，且 ， 经过逆
时针旋转后到达 的位置．
（1）旋转中心是 ，旋转角度是 ， 的形状是 三角形；
（2）现将 向左平移，使 与 重合，得 ， 交 于点 ．
①试说明： ；
②求 的长．
15．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，
过点 作 交 延长线于点 ．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形 的边 与 满足什么关系时，四边形 分别是菱
形、矩形、正方形．
