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专题1.3 等腰三角形（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（ ）
A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70°
2．如图，等腰△ 中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定
≌ 的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
4．如图， 中， ，D是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
5．如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，
使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图， ， ， ，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+ ∠B=90°
8．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，
则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔
C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
10．已知：如图，经过线段 一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使 为等腰三
角形，这样的点C有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90º，∠A＝30º，在直线BC或AC上取一点P，使得
△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
12．如图，在 中， ，根据作图痕迹，可知 （ ）
A． B． C． D．
13．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（
）A．20° B．60° C．50° D．40°
14．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，
连接BD，则BD长( )
A． B．2 C．3 D．4
16．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且
△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
17．如图， 为等边三角形， ， 、 相交于点 ， 于点 ，且
， ，则 的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．1018．将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积
为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
19．如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD＝CE，
则∠BDE的度数是_____．
20．如图，在Rt△ 中， ， ，点 在 上，且 ，连接
， ，且 ，连接 ，则 的长为_____________.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若
△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为_______．22．如图，已知在 中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条
件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
23．如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的格
点上，则∠ABC＝______°．
24．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是
____________.(填序号)
25．已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的
形状为_______
26．如图，已知∠B=45°，AB=2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当
BP=_________cm时，△BAP为直角三角形．27．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，若AB＝8cm，CB＝6cm，则AC＝
________cm．
28．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当
∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
29．如图，在 中， ，点P在 的三边上运动，当 成为
等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，
交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．31．如图，在 中， ，点 ， 都在边 上， ，若 ，
则 的长为_______.
32．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E= 度．
33．如图，点B、C、E在同一条直线上， 与 都是等边三角形，下列结论：①
AE=BD；② ；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是
______．（填序号）
34．如图，在等边△ABC中，AB＝4，P为AC的中点，M，N分别为AB，BC边上的一点，
当△PMN周长取最小值时，MN长度为 ___．
三、解答题
35．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD
的长.36．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条
直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长．
37．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝
60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；
（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
38．如图所示，在 中， 为中线， ，求 的度数．39．如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点，EF∥AD交 的延长线
于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线.参考答案
1．B
【分析】
由于外角大于 ，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时．
【详解】
解：（1） 的外角的顶点为顶角顶点，
则底角 ，
（2） 的外角的顶点为底角顶点，
则底角 ．
故选：
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等，以及三角形内角和定理；若题目
中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是
解答问题的关键．
2．B
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解： A、若添加 ，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定 ≌
，故本选项不符合题意；
B、若添加 ，不能判定 ≌ ，故本选项符合题意；
C、若添加 ，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定 ≌
，故本选项不符合题意；
D、若添加 ，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是
公共角，则可根据ASA判定 ≌ ，故本选项不符合题意．
故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全
等三角形的判定方法是解题的关键．
3．C
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此
∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.
故选C
考点：等腰三角形三线合一
4．D
【分析】
利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性
质．
5．B
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角
△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的
图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．D
【分析】
首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定.
【详解】
∵ ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故选：D.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
7．D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+ ∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答该题时，一定要与三角形的内角和定理相结
合．
8．B
【分析】
如图，在 上截取 连接 证明 利用全等三角形的性质证明
求解 再证明 从而可得答案．
【详解】
解：如图，在 上截取 连接
平分故选：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解
题的关键．
9．C
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出
BC=AB，求出AB即可．
【详解】
解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出
∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．10．C
【分析】
以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以
AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l
交于点F，此时AF=BF．
【详解】
解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理
以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直
平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
故选C．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的
定义．
11．B
【详解】
试题解析：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选B．
考点：等腰三角形的判定．
12．D
【分析】
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴ ．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴ ．
∴ ．
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是
解答本题的关键．13．D
【分析】
由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝
∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【详解】
∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，
AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣
∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握垂直平
分线的性质以及等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
14．A
【分析】
根据绝对值的性质求出AC的长即可．
【详解】
∵|AC-BC|=2cm，
∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm．
故选A．
【点拨】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是
解题的关键．
15．C
【分析】
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，
再进一步根据勾股定理进行求解．
【详解】
解：∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=3．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．∴BD= ．
故选：C．
【点拨】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和
勾股定理．
16．D
【详解】
试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
17．C
【分析】
分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ＝60°，可得BP＝2PQ＝8，AD＝BE．则易求．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；
又∵AE＝CD，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°−60°＝30°
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝8；
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP＋PE＝9．
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角
形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD．
18．D
【分析】
设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC＝45°，再根据旋转的性质
求出∠CAC′＝15°，AC′＝AC，然后求出∠C′AD＝30°，再根据直角三角形30°角所得到直
角边等于斜边的一半可得AD＝2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面
积公式列式进行计算即可得解．
【详解】
如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，
∴∠C′AD＝∠BAC−∠CAC′＝45°−15°＝30°，
∵AD＝2C′D，
∴ ＝A C′2＋C′D2，
即（2C′D）2＝12＋C′D2，
解得C′D＝
故阴影部分的面积＝
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等
于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
19．120°
【分析】
依据等边三角形的性质即可得到∠DBC的度数，依据等腰三角形的性质即可求得∠E的度
数,再根据三角形内角和定理即可得出∠BDE的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵BD是角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC= ∠ACB＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣2×30°＝120°，故答案为：120°．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，等边三角形的三个内
角都相等且都等于60°，掌握利用三角形外角的性质和等腰三角形性质求∠E是解题关键．
20．
【分析】
过F点作直线AC的垂线交于H点，根据 ，且 ，得到△EFH≌△BEC，
即可求出CH，FH的长，再利用勾股定理即可求解.
【详解】
∵ ， ，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，∴CE=3，
过F点作直线AC的垂线交于H点，
∵
∴∠FEH+∠BEC=90°，又∠FEH+∠EFH=90°
∴∠EFH=∠BEC
又∠ECB=∠FHE=90°，EF=BE
∴△EFH≌△BEC，∴FH=EC，EH=BC
∴FH=EC=3,CH=EH-EC=BC-EC=1
∴FC=
故填： .
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、
勾股定理的应用.21．2
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，
可得△BEF的面积为△ABD的面积的 ，依此即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S ＝12，
△ABC
∴S ＝6，
△ABD
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S ＝ S ＝2．
△BEF △ABD
故答案为2.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质求出△ABD的面
积是正确解答本题的关键．
22．AD⊥BC
【分析】
根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】
∵在 中，AB=AC， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．
23．135
【分析】
根据网格的特点和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．【点拨】本题以网格为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，属于常见题型，熟练掌
握网格的特点和等腰直角三角形的性质是解题关键．
24．（1）（3）（4）
【分析】
由已知条件，根据度数的特点，逐一作出判断，最后写出答案．
【详解】
由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；
（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故应填①③④．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；在等腰三角形中，从一个
顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等
腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
25．等腰直角三角形．
【详解】
∵ ，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形．
26． 或 ．
【分析】
分BP为直角边或斜边来讨论，借助勾股定理逐一解析，即可解决问题．
【详解】
解：若BP为三角形的直角边，则AB为该三角形的斜边；
∵∠B＝45°，
∴∠BAP＝90°−45°＝45°，∴AP＝BP，
设 ，
由勾股定理得：
，而AB＝2，
∴ ，
∴ ，
若BP为斜边，则∠BAP＝90°；
∵∠B＝45°，
∴∠APB＝90°−45°＝45°，
∴∠B＝∠APB，
∴AP＝AB＝2；由勾股定理得：
∴BP＝ ．
故答案为： 或 ．
【点拨】该题主要考查了等腰三角形的判定、勾股定理等几何知识点的应用问题；借助分
类讨论，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理活解答是解题的关键．
27．8
【分析】
首先根据平行线的性质得出 ，然后根据折叠的性质得出 ，
通过等量代换得出 ，最后利用等角对等边即可得出答案．
【详解】，
．
由折叠的性质可知， ，
，
．
，
，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是
解题的关键．
28．30°或75°或120°
【详解】
试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
29．100°或55°或70°
【分析】
作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】
解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直
观．
30．20°
【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解： 在 中， ， ，
，
，
，
．
故答案为：20°
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的
关键．
31．9.
【分析】
根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.
【详解】
因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD
△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
32．：
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的
度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
33．①②④
【分析】
利用等边三角形的性质证明 可判断①，利用 ，可得
利用三角形的外角的性质可得 从而可判断③， 再结合等边
三角形的性质证明 可判断②， 由 可得： ，结合
可得 ，从而可判断④．
【详解】
解：如图，记 与 的交点为 ，
∵ 与 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∵点B、C、E在同一条直线上，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°
在 和 中，∴ ，
所以结论①正确；
∵ ，
∴∠BDC=∠CEA，
∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180° ∠BCD=60°， 所以③错误；
在 和 中，
，
∴ ，
∴所以②正确；
，
∵CG=CF，∠ACD=60°，
∴∠GFC=60，
又∵∠DCE=60°，
∴∠GFC=∠DCE，
∴GF∥BC，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，
解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件．
34．2
【分析】
作点P关于AB的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AB于M，交BC于N，
连接CE、CF．此时△PMN的周长最小，再确定△PMN是等边三角形，可得MN＝PC＝
PN，即可求MN．
【详解】
解：作点P关于AB的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AB于M，交BC于
N，连接CE、CF，由对称的性质可知，EM＝MP，PN＝NF，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴此时△PMN的周长最小，
∵PF⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CPF＝30°，
∵PE⊥AB，∠A＝60°，
∴∠APE＝30°，
∴∠EPF＝120°，
∵P是AC的中点，
由对称性可得PE＝PF，
∴∠E＝∠F＝30°，
∴∠EPM＝∠NPF＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴△MNP是等边三角形，
∴MN＝PN＝PC，
∵AB＝4，
∴PC＝2，
∴MN＝2，
故答案为2．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，能够确定
△PMN是等边三角形是解题的关键．
35．CD=2.
【分析】先延长AD、BC交于E,根据已知证出△CDE是等边三角形,设CD=x=CE=DE=x,根据
AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半,求出x的值即可.
【详解】
延长AD、BC，两条延长线交于点E,
∵∠B=90°，∠A=30°
∴∠E=60°
∵∠ADC=120°
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
则CD=CE=DE
设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1
∵ 在Rt△ABE中，∠A=30°
∴ x+4=2(x+1)
解得：x=2
∴CD=2.
【点拨】此题考查了含30度角的直角三角形,用到的知识点是30度角所对的直角边等于斜
边的一半,等边三角形的判定与性质,关键是作出辅助线,构造直角三角形.
36．（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）直接证明 ，即可得出结论；
（2）由（1）可进一步推出 为直角三角形，且 ，从而由 求解
即可．
【详解】
（1） △ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
,
在 与 中，，
；
（2） 是等腰直角三角形，
，
由（1）可知， ， ,
，
，
则在 中， ，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，及含 角的直角三角形的性质，根据“手
拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键．
37．（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析.
【分析】
（1）取AB的中点N，连接EN，可证明△ANE≌△ECM，可证得AE＝EM；
（2）在AB上取点H，使BH＝BE，根据等边三角形的证明△AHE≌△ECM即可求解.
【详解】
（1）证明：取AB的中点N，连接EN，
∵△ABC为等边三角形，E，N为中点，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，
∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，
∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，在△ANE和△ECM中， ，∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE＝EM；
（2）在AB上取点H，使BH＝BE，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．
∵BH＝BE，∴AH＝CE．
∴△BHE是等边三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．
∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．
∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC
在△AHE和△ECM中 ，∴△AHE≌△ECM（ASA）．
∴AE＝EM．
【点拨】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
几何变换、平行四边形的判定和性质等知识点．根据题目条件构造相应的全等三角形是解
题的关键，注意等边三角形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
38．45°
【分析】
延长AD至E，使 ，连结 ，则 ，根据全等三角形的性质得
EC=AB， ，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，
即可得∠DAC的度数．
【详解】
解：延长AD至E，使 ，连结 ，∵BD=CD，∠ADB=∠EDC
∴ ，
∴EC=AB， ，
∵AB=2AD，
∴AB=AE=EC
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°.
故答案为45°.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅
助线构建全等三角形和等腰直角三角形.
39．见解析
【分析】
延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，进一步证明
，最后由平行线的性质即可证得∠CAD=∠BAD，即可解题．
【详解】
证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEH中，，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴∠BGE=∠H，BG=CH
∵BG=CF
∴CH=CF
∴
∴
∵EF∥AD，
∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，本题中求证△BEG≌△CEH
是解题的关键．
