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专题 2.3 一元二次不等式与其他常见不等
式
题型一 解不含参的一元二次不等式
题型二 分式不等式
题型三 绝对值不等式
题型四 指数，对数不等式
题型五 高次不等式
题型六 解含参的一元二次不等式
题型七 一元二次不等式的恒成立问题
题型八 一元二次不等式的有解问题
题型九 一元二次不等式的实际应用
题型一 解不含参的一元二次不等式
例1．（2023·四川自贡·统考三模）已知集合 ，集合
，则 （ ）
A． B．
C． D．
例2．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1) ；
(2)
练习1．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
练习2．（2023·北京·高三统考学业考试）不等式 的解集是（ ）
A． B．C． D．
练习3．（2023·全国·高一专题练习） 的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D． 或
练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习5．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）设全集为 ，集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型二 分式不等式
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知 ， ，则
__________．
例4．求关于 的不等式的解集：
(1) ； (2) ．
练习6．已知全集 ，集合 ， ，则 ______，
______.
练习7．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）全集 ，设集合
，则 （ ）A． B． C． D．
练习8．（2022秋·云南昆明·高三统考期末）写出一个 的充分条件________．
练习9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集 ，集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习10．已知集合 ， ，求 ．
题型三 绝对值不等式
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．14 B．6 C．7 D．8
练习11．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
练习13．（2023·上海·高三专题练习）若不等式 ，则x的取值范围是
____________．
练习14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集
，集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
练习15．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型四 指数，对数不等式
例7．（2023·浙江·高三专题练习）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·全国·模拟预测）若集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
练习16．（2022秋·浙江杭州·高三校考期中）不等式 成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．练习17．（2021春·广东·高三校联考专题练习）已知全集 ，集合 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知集合， ， 或
，则 （ ）．
A． 或 B． 或
C． 或 D．
练习19．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
练习20．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五 高次不等式
例9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 的图像如图所示，则不等式
的解集是_______________.
例10．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）不等式 的解集是________．
练习21．（2004·全国·高考真题）不等式 的解集是___________．
练习22．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）解下列不等式
(1)
(2)
练习23．（2022秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）不等式
的解集为_______________．
练习24．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
练习25．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式 的解
集为______.
题型六 解含参的一元二次不等式
例11．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
例12．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
练习26．已知函数 ．
(1)当 时，求关于x的不等式 的解集．(2)若 ，求关于x的不等式 的解集．
练习27．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知关于x的不等式
的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式 的解集为
练习28．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若关于x的不等式 的解集为 ，求 的最小值．
练习29．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式
只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023·北京东城·统考二模）若 ，则实数 的
一个取值为__________.
题型七 一元二次不等式的恒成立问题
例13．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知 ，q：任意 ，
则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
例14．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若 ，使得不等式
成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式
在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
练习32．（2023·全国·高三专题练习）不等式 （ ）恒成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
练习33．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）若不等式 对一切实数
x都成立，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
练习34．（2022秋·湖南张家界·高三张家界市民族中学校考阶段练习）“ ”是“关于
x的不等式 对任意实数x恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型八 一元二次不等式的有解问题
例16．（2023·全国·高一专题练习）若关于 的不等式 有解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2022秋·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式
对于 恒成立，则 的取值范围是______．
练习35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，
实数x的取值范围是_____.练习36．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）若关于 的不等式
的解集非空，则实数 的取值范围是______.
练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
练习38．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在 ，有 成
立，则实数a的取值范围是__________.
练习39．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 上有解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
练习40．（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）若关于 的不等式 在区
间 内有解，则 的取值范围是_________.
题型九 一元二次不等式的实际应用
例18．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）某种饲料原来每袋成本为
10元，售价为15元，每月销售8万袋．
(1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利
润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？
(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价 元，并投入 万元作为
营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少
万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
例19．（2022秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为 元的商品按每件 元
出售，每天可销售 件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提
高 元，销售量就要减少 件．那么要保证每天所赚的利润在 元以上，每件销售价可能为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
练习41．（2022春·辽宁·高二统考学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交
通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，
m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系： ，要判断该汽
车是否超速，需要求解的不等式是（ ）．
A． B．
C． D．
练习42．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费
标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的
收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）
练习43．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离
（单位： ）和汽车刹车前的车速 （单位： ）之间有如下关系： ，
在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40 ，则这辆汽车刹车前的车速至少为
（ ）（精确到1 ）
A．76 B．77 C．78 D．80
练习44．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8元
，年用电量为 ，本年度计划将电价下降到0.55元 至0.75元
之间，而用户期望的电价为0.4元 ．经测算，下调电价后新增用电量和实
际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元
．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元
）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
(2)设 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
练习45．（2022秋·江苏常州·高三统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的
定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则
每个床位的定价应为______（元）.
