文档内容
专题 1.3 正方形的性质与判定
目录
正方形的基本性质问题.....................................................................................................................1
正方形的判定.....................................................................................................................................3
求角度.................................................................................................................................................5
一线三垂直模型.................................................................................................................................8
十字模型...........................................................................................................................................12
对角互补模型...................................................................................................................................15
半角模型...........................................................................................................................................20
存在性问题.......................................................................................................................................24
多结论问题.......................................................................................................................................27
证明题...............................................................................................................................................33
正方形的基本性质问题
正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条
对称轴）
【例1】以下说法不正确的是
A．菱形四条边相等 B．矩形对角线相等
C．正方形对角线互相垂直平分 D．平行四边形是轴对称图形
【解答】解： ：菱形的四条边是相等的，故结论正确；
：矩形的对角线是相等的，故结论正确；
：正方形的对角线互相平分且垂直相等，故结论正确；
：平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故结论错误．
故选： ．
【变式训练1】下列说法正确的是A．正方形的每一条对角线平分一组对角
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角
D．平行四边形是轴对称图形
【解答】解： ．正方形的每一条对角线平分一组对角，故 选项符合题意；
．矩形的对角线不一定互相垂直，故 选项不符合题意；
．菱形的四个内角不一定都是直角，故 选项不符合题意；
．平行四边形不一定是轴对称图形，故 选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．轴对称图形 D．对角线互相平分
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不
一定成立，
而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选： ．
【变式训练3】下列说法不正确的是
A．矩形的对角线相等且互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．正方形的对角线相等且互相平分
D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
【解答】解： ．矩形的对角线相等且互相平分，故 正确，不符合题意；
．菱形的对角线互相垂直平分，故 正确，不符合题意；
．正方形的对角线相等且互相平分，故 正确，不符合题意；
．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故 不正确确，
符合题意．
故选： ．正方形的判定
正方形常用的判定：
有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
【例2】如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，只需添加一个条件，即可
证明菱形 是正方形，这个条件可以是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
四边形 是正方形，
故选： ．
【变式训练1】下列说法错误的是
A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【解答】解：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
故 正确，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故 正确，不符合题意；
一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
故 错误，符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故 正确，不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，点 、 分别在 、
的延长线上，且 ，则四边形 是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上， ，
，下列四个判断中，正确的个数有
①四边形 是平行四边形
②如果 ，那么四边形 是矩形
③如果 平分 ，那么四边形 是菱形
④如果 ，且 ，那么四边形 是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① ， ，
四边形 是平行四边形．
故①正确．② ，四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形．
故②正确．
③ ，
，
平分 ，
，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．
故③正确．
④如果 ，且 不能判定四边形 是正方形，
故④错误．
故选： ．
求角度
【例3】如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：在正方形 中， ，
，
，
，
故选： ．【变式训练1】如图，在正方形 中， 是边 上一点， 交对角线 于点 ，
连结 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，而 ， ，
，
，
而 ，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点 ． 、 分别为
、 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数
为
A． B． C． D．
【解答】解： 是正方形，
， ．
，
为等腰直角三角形，，
，
，
．
在 和 中，
，
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上
一点，连接 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，，
，
平分 ，四边形 是正方形，
， ，
，
，
故选： ．
一线三垂直模型
【例4】如图，将正方形 放在平面直角坐标系中， 是坐标原点，顶点 ， 在第
一象限，若点 ，点 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：过 作 轴于 ，
，
四边形 为正方形，
， ，
， ，
，在 和 中，
，
，
， ，
点 ，点 ，
，
，
，
点 的坐标为 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，正方形 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，则顶点 的
坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：过 作 轴于 ，如图：四边形 是正方形，
， ，
，
又 ，
，
， ，
，
的坐标是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 的坐标为
点 的坐标为 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 轴于点 ，，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
点 的坐标为 ，
故选： ．
【变式训练3】如图，四边形 是正方形， 点的坐标是 ，则点 的坐标为
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：连接 交 于 ，如图：四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
， ，
故选： ．
十字模型
【例5】如图， 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， 、
相交于点 ，下列结论中正确的是
① ；
② ；
③ ；
④ ．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 与 中，
，
△ △ ，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
与 的数量关系不清楚，
无法得 与 的数量关系，故③错误；
，
，
，
即 ，故④正确；
综上可得：①②④正确，
故选： ．
【变式训练1】如图，已知 、 分别是正方形 的边 与 的中点， 与交于 ．则下列结论成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
是 的中点， 为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，即 ，
选项 成立，
而选项 、 、 都不能推理证得，
故选： ．
【变式训练2】如图，正方形 的边长为 6，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 、 ， 与 相交于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接
，则 的长为A． B． C．5 D．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
点 为 的中点，
，
， ，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在正方形 中， 为 边上一点， 于点 ，若已知
下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
阴影部分面积和 ，
故选： ．
对角互补模型
【例6】如图，点 在正方形 的对角线 上，且 ， 的两直角边
， 分别交 ， 于点 ， ．若正方形 边长为4，则重叠部分四边形
的面积为A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：连接 ，
，
点 是 的中点，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
正方形 的边长为4，
，
，
，
重叠部分四边形 的面积为
故选： ．【变式训练1】如图，正方形 的对角线相交于点 ，以点 为顶点的正方形
的两边 ， 分别交正方形 的两边 ， 于点 ， ，记 的面积为
， 的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解： 四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，
．
在 与 中，
，
，
，
，
故选： ．【变式训练2】如图，在正方形 中，点 是对角线 ， 的交点，过点 作射线
， 分别交 ， 于点 ， ，且 ， ， 交于点 ．有下列
结论：
① ；
② ；
③四边形 的面积为正方形 面积的 ；
④ ．
其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【解答】解：①在正方形 中， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，故①正确；② ，
，
四边形 为正方形，
，
，故②正确；
③由①全等可得四边形 的面积与 面积相等，
四边形 的面积为正方形 面积的 ，故③正确；
④在 中， ，根据勾股定理，得：
，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选： ．
【变式训练3】如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ， 是边 上一点，连
接 ，过点 作 ，交 于点 ．若四边形 的面积是2，则 的长为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
四边形 的面积是2，四边形 的面积 的面积 的面积，
四边形 的面积 的面积 的面积 的面积，
的面积是2，
正方形 的面积是8，
，
，
故选： ．
半角模型
【例7】如图，在边长为 6 的正方形 中， 、 分别在边 、 上，且
，连接 ，若 ，则 的面积为
A．30 B．15 C．11 D．5.5
【解答】解：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如图所示：
在正方形 中， ， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为15，
故选： ．
【变式训练1】如图，正方形 中，点 为 上一点， 与 交于点 ，连接
，若 ，则 的度数
A． B． C． D．【解答】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
在 和 中，
，
．
，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在边长为6的正方形 中， 是边 的中点， 在 边上，
且 ，连接 ，则 的长为
A．2 B． C．3 D．
【解答】证明： 四边形 是正方形，
，
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图：，
， ，
，
，
，
，点 、 、 共线，
在 和 中，
，
，
，
即： ，
为 的中点，边长为6的正方形 ，
， ， ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
解得： ，
即 ，
故选： ．
【变式训练3】如 图 ， 在 正 方 形 中 ， 、 分 别 为 、 边 上 的 点 ，，若 ， ，则正方形 的边长为
A．8 B．6 C． D．
【 解 答 】 解 ： 在 正 方 形 中 ， ，
，
延长 到 ，使 ，
则 ，
，
在 与 中， ，
，
， ，
，
，
在 与 中， ，
，
，
，
设正方形 的边长为 ，
， ，
，解得： ，（负值舍去），
正方形 的边长为6，
故选： ．
存在性问题
【例8】如图，在 中，点 、 、 分别是 、 、 的中点，则下列四个判
断中，不正确的是
A．四边形 是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若四边形 是正方形，则 是等边三角形
【解答】解： 点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，
， ， ， ，
四边形 是平行四边形，
故 正确；
若 ，
四边形 是矩形，
故 正确；
若 ，
则 ，
四边形 是菱形，
故 正确，若四边形 是正方形，则 ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
故 错误．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且
， ．下列四个判断中，不正确的是
A．四边形 是平行四边形
B．如果 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 且 ，则四边形 是正方形
【解答】解：因为 ， ，所以四边形 是平行四边形．故 选项不符
合题意．
因为 ，四边形 是平行四边形，所以四边形 是矩形．故 选项不符合
题意．
因为 ，四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形．故 选项不符合
题意．
如果 且 ，不能判定四边形 是正方形，故 选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】如图，四边形 是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当 是矩形时， B．当 是菱形时，
C．当 是正方形时， D．当 是菱形时，【解答】解：因为矩形的四个角是直角，
故 正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故 正确，
因为正方形的对角线相等，
故 正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如： ，因为 ，所以 ，此时 ，
故选： ．
【变式训练3】如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中正确的是
A．当 时，它是矩形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是菱形 D．当 时，它是正方形
【解答】解： 、当 时，它是菱形，原说法错误，不符合题意；
、当 时，它是菱形，原说法正确，符合题意；
、当 时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
、当 时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
故选： ．
多结论问题
【例9】如图，在正方形 中， ，点 在对角线 上， ， ，
垂足分别为 ， ，连结 、 ，以下结论中：① ；② ；③ 的
最小值为其中正确的是A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：①连接 ， ，
四边形 是正方形，
，
， ，
四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
；
故①正确；
②延长 与 交于点 ，延长 与 交于点 ，平分 ， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③由 ，
当 最小时， 最小，
则当 时，即 时， 的最小值等于 ；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为12， ， 、 交于点
．则下列结论：① ；② 垂直平分 ；③ ；④
中，正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
．
又 ，
，
，
，故①正确；
在 中， ， ，
．
又 ， ，
，
， ，
，故②错误④正确；
，
，
，即 ，故③正确．综上，正确的结论是①③④．
故选： ．
【变式训练2】正方形 ，正方形 如图放置，点 、 、 在同一条直线上，
点 在 边上， ，且 ，连接 交 于点 ．有下列结论：①
； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
，其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【解答】解：① ， ，
．
在 和 中，有 ，
，
，
四边形 为正方形，
，即①成立；
②无法证出 ；
③ ，
，
又 ，
，即③成立；
④由①可知 ，
在 中， ，，且 ，
为等腰直角三角形，
，
，即④成立；
⑤由④可知： ，
，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选： ．
【变式训练3】如图，正方形 边长为6， 是 的中点，连接 ，以 为边在正
方形内部作 ，边 交 于 ，连接 ．则下列说法正确的有
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④
【解答】解：延长 到 ，使 ，连接 ．如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
又 ， ，
，
，
．
在 和 中，
，
，
，
， ，
，故②正确，
， ，
，
，故①错误，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，故③正确，
，故④正确．故选： ．
证明题
【例10】如图，正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，
交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）写出线段 ， 的数量关系并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：过点 作 于 ，交 于点 ，如图：
四边形 为正方形，
， ， ，
，
，
四边形 为矩形，
，
， ，，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
由（1）知 ， ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
；
（3）解：设 ．由（1）得： ，
由（2）得 ，
，
，
，
，
解方程得： ， （舍去），．
【变式训练1】如 图 ， 在 正 方 形 中 ， 、 分 别 是 、 上 的 点 ， 且
．
（1）求证： ．
（2）在图中，连接 ，分别与 、 相交于点 、 ，请依据描述画出相应图形．
猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明．
【解答】（1）证明：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
， ，
；
（2）解：数量关系为： ，理由如下：
如图，将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， ，
四边形 是正方形，
，
由旋转可得 ， ， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，， ，
．
【变式训练2】如图，点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点， 与 交
于点 ，连接 ．
（1）写出线段 与 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1） 且 ．理由如下：
四边形 是正方形， ， 均为中点，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
（2）延长 交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
，
，，
，
．
【变式训练3】如图，点 是正方形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为
边作一个正方形 ，线段 和 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：
四边形 ， 是正方形，
， ， ，
，
在 和 中，
，；
（2） ，
，
四边形 是正方形， ，
， ，
， ，
，
，
，
．
【变式训练4】已知：四边形 是正方形．
（1）如图1，点 是边 的中点， ，且 交正方形外角平分线 于点 ．
求证： ；
（2）如图2，若把（1）中“点 是边 的中点”改为“点 是边 上的任意一点”，
其余的条件不变，试证明 仍然成立．
【解答】（1）证明： 点 为 的中点，
，
点 为 的中点，
，
，故答案为： ；
（2）证明：取 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练5】在正方形 中，点 是边 上一点，连接 ，点 为 中点．连
接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）当 时，求 的度数．【解答】（1）证明： 为正方形，
，
点 为 中点，
，
；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，又 ，
．
1．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
【解答】解： 平行四边形的对角线互相平分，
矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选： ．
2．四边形 的对角线 和 相交于点 ，设有下列条件：① ；②
；③ 与 互相平分；④矩形 ；⑤菱形 ；⑥正方形 ，则
下列推理成立的是
A．①④ ⑥ B．②④ ⑥ C．①② ⑥ D．①③ ⑤
【解答】解： 、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；
、对角线垂直的矩形是正方形，正确；
、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；
、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．
故选： ．
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
【解答】解： 、菱形对角不互补，故本选项错误；
、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选： ．
4．如图， 是正方形 的边 上一点，过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，则四边形 的面积是
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
．
故选： ．
5．已知四边形 是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是
A． B． C． 且 D． 平分
【解答】解： 、 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是菱形，故错误；
、 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是矩形，故错误；
、 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是菱形，
，四边形 是正方形，故正确；
、 四边形 是平行四边形， 平分 ，
四边形 是菱形，故错误．
故选： ．
6．下列说法正确的是
A．有一个直角的四边形是矩形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解答】解： 有一个直角的平行四边形是矩形， 选项错误；
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 选项错误；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 选项错误；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 选项正确；
故选： ．
7．若四边形 是_________，则四边形 一定是_________，那么这两空依次可
以填
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
【解答】解：若四边形 是正方形，则四边形 一定是平行四边形，
故选： ．
8．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有一个内角是直角的四边形是矩形
C．菱形不可能是正方形
D．正方形既是矩形，又是菱形
【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故 错误；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形的判定，
故 错误；有一个角是直角的菱形是正方形，
故 错误；
正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，
故 正确；
故选： ．
9．如图， 是正方形 内一点，且 ， ．若 ，则
．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
．
，
故答案为： ．
10．已知正方形ABCD的对角线AC的长为4，则正方形ABCD的边长为
．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，
设正方形ABCD的边长为x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+x2＝42，
解得x＝2 （负值已舍去），
∴正方形ABCD的边长为2 ，
故答案为：2 ．
11．如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使 成为正方形，还需添加的一
个条件是 （只需添加一个即可）
【解答】解：条件为 或 ，
理由是： 平行四边形 的对角线互相垂直，
四边形 是菱形，
或 ，
四边形 是正方形，
故答案为： 或 ．
12．如图所示，多边形 中， ， ， ， 是直角，
，则多边形 的面积是 ．
【解答】解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：
大正方形的边长为 ，小正方形的边长 ，
多边形 的面积 （大正方形的面积 小正方形面积） ．故答案为：57.75．
13．已知，如图，在 中， 是两锐角平分线的交点， ， ，垂
足分别为 ， ，求证：四边形 是正方形．
【解答】证明：过 作 ，
平分 ，
，
平分 ，
，
，
， ， 是直角三角形，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形．
14．如图，已知正方形 的边长是8， 是 边上的点，且 ， 经过逆
时针旋转后到达 的位置．
（1）旋转中心是 ，旋转角度是 ， 的形状是
三角形；
（2）现将 向左平移，使 与 重合，得 ， 交 于点 ．①试说明： ；
②求 的长．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
即 绕 旋转到 点，
旋转中心是点 ，旋转角度是 ，
， ，
是等腰直角三角形，
故答案为：点 ， ，等腰直角；
（2）①依题意，得： ，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
；
②在 中，根据勾股定理，得：
，
，
，
，
．15．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，
过点 作 交 延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形 的边 与 满足什么关系时，四边形 分别是菱
形、矩形、正方形．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
点 为 的中点，
是 的中位线，
，即 ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）由（1）知四边形 是平行四边形，若四边形 是菱形，只需 ，
而 ， ，
时，四边形 是菱形；
若四边形 是矩形，只需 ，
而 ，
时，四边形 是矩形，即 ；
若四边形 是正方形，需 ， ，
， 时，四边形 是正方形．
