专题2.2基本不等式及其应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题2.2 基本不等式及其应用 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 新课程考试要求 ab 2. 掌握基本不等式  ab (a，b＞0)及其应用.. 2 培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等 核心素养 核心数学素养. 1.利用基本不等式求最值 考向预测 2.利用基本不等式解决实际问题 3.基本不等式的综合应用 【知识清单】 1．重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 2．基本不等式 ab 当a>0，b>0时有  ab ，当且仅当a=b时，等号成立． 2 3．基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 4.常用推论 a2 b2 ab 2 a,bR （1） （ ） ab a2 b2 ab ab( )2 ( )2 （2） 2 （ a0 ， b0 ）； 2 2 2 ab a2 b2  ab   (a0,b0) 1 1 2 2  （3） a b 【考点分类剖析】 考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1.（2021·山西高三二模（文））证明： ； 【答案】证明见解析. 【解析】 由不等式 ，令 ，则有 ，即可证得 .  1 1 1 1 9     a b 例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： . 【答案】见解析 a0 b0 a＋b＝1 【解析】∵ ， ， ， 1 ab b 1 a  1 1  b a 1+ =1+ =2+ 1+ =2+  1  1    2  2  ∴ a a a.同理， b b.∴  a b  a b b a b a 1 5+2    5+4=9  a=b= ＝ a b ，当且仅当a b ，即 2时取“＝”．  1 1 1  1  1  9 a b ∴  a b ，当且仅当 2 时等号成立． 【方法技巧】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足 使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上 一个数，“1”的代换法等． 【变式探究】 4 a7(a 3) 1.求证: a3 【答案】见解析 4 4 a a33 【解析】证明: a3 a3 由基本不等式和 a 3 得 4 4 4 a a332 (a3)3 a3 a3 a3 2 437 =4 a3 当且仅当a3 即 a5 时取等号. a b c (ab)(bc)(ca)8abc 2.已知 、 、 都是正数，求证： 【答案】见解析 a b c 【解析】∵ 、 、 都是正数 ab2 ab 0 ab ∴ （当且仅当 时，取等号） bc2 bc 0 bc （当且仅当 时，取等号） ca2 ca 0 ca （当且仅当 时，取等号） (ab)(bc)(ca)2 ab2 bc2 ca 8abc a bc ∴ （当且仅当 时，取等号） (ab)(bc)(ca)8abc 即 . 考点二：利用基本不等式求最值 例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足 ，则（ ） A． 有最小值4 B． 有最大值 C． 有最大值 D． 有最小值 【答案】ACD 【解析】 根据基本不等式结合不等式的性质判断． 【详解】 因为 且 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ， ，A正确；，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 例4.（2021·浙江高三月考）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______． 【答案】 【解析】 由已知不等式可解得 ，换元，设 ，则所求式变形为 ，利用函数 的单调性可得 的最小值，从而得结论． 【详解】 因为正实数 ， 满足 ，所以 ，解得 或 ，而 均为正 数，所以 ，设 ， 则 ， 时，由不等式 ，当且仅当 时等号成立知 在 上单调递增，又，所以 时， 取得最小值 ， 所以 的最小值是 ． 故答案为： ． 【规律方法】 利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲 突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初 始范围. a y  x (a 0) 注意：形如 x 的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的 单调性求解． 【变式探究】 1 1  1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数m,n满足2mn1，则m n 的最小值为（ ） 32 2 3 2 A． B． 22 2 C． D．3 【答案】A 2mn1 【解析】由题意，因为 ， 1 1 1 1 n 2m n 2m  (  )(2mn)3  32  32 2 则 ， m n m n m n m nn 2m  当且仅当m n ，即n 2m时等号成立， 1 1  所以m n 的最小值为32 2 ，故选A. (x1)(2y1) 2.（2019年高考天津卷文）设x0, y 0, x2y 4，则 xy 的最小值为__________. 9 【答案】2 (x1)(2y1) 2xy2yx1 2xy5 5   2 【解析】 xy xy xy xy . x0,y 0,x2y 4 因为 ， x2y 42 x2y 所以 ， 2xy 2,0 xy2 x2y 2 即 ，当且仅当 时取等号成立. 5 1 9 2 25 = ， 又因为 xy 2 2 (x1)(2y1) 9 所以 xy 的最小值为2 . 【总结提升】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面 的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考点三：基本不等式的实际应用 例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，体积为 ，则 取得最大值时圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设圆锥底面半径为 ，高为 ，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得 ，结合基本不等式求 得 时取得最大值，进而求得圆锥的体积. 【详解】 设圆锥底面半径为 ，高为 ，由题意可得母线 ， 所以圆锥的侧面积为 ，且 ， 所以圆锥的体积为 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 此时 . 故选：D. 【规律方法】 1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点： (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题 求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此 时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！ 【变式探究】 （江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用 为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 . 【答案】30 600 900 900 4x 64(x )42 900 240 x 【解析】总费用 x x ，当且仅当 x ，即x30时等号成立. 考点四：基本不等式的综合运用 例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则a的最小值为_________. 【答案】2 【解析】 结合 的范围求出角 的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值 【详解】 解：因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 由余弦定理得 ，则 ， 所以 ，因为 ， ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 ，解得 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为2， 故答案为：2 f(x)(m1)x2 mxm1 mR 例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数 （ ）． f(x)0  m （1）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围； m2 f(x)m （2）当 时，解不等式 ； f(x)0 D [1，1] D m （3）若不等式 的解集为 ，若 ，求 的取值范围． 2 3  1  2 3 m x|1 x  m 【答案】（1） 3 ；（2） m1.；（3） 3 . 【解析】 f x x2 m10 m1 （1）①当 即 时， ，不合题意； m10 m1 ②当 即 时， m10 m1 { { m2 4m1m10，即 3m2 40， m1 { 2 3 2 3 2 3 ∴ m 或m ，∴ m 3 3 3 f xm m1x2 mx10 （2） 即 m1x1x10 即  m10 m1 {x|x1} ①当 即 时，解集为 1  x x10   ②当m10即m1时， m1 1 1  01 {x|x 或x1} ∵ m1 ，∴解集为 m1  1  x x10   ③当m10即2m1时， m1 1  1 ∵2m1，所以1m10，所以 m1 1 {x|1 x } ∴解集为 m1 f x0 1,1 D （3）不等式 的解集为D， ， x1,1 m1x2 mxm10 即对任意的 ，不等式 恒成立， m  x2 x1  x2 1 即 恒成立， x2 1 2x m 1 因为x2 x10恒成立，所以 x2 x1 x2 x1恒成立， 2xt, t1,3 x2t 设 则 ， ， 2x t t 1    x2 x1 2t2 2t1 t2 3t3 3 所以 t 3， t 3 t 2 3 因为 t ，当且仅当t  3时取等号， 2x 1 2 33   所以 x2 x1 2 33 3 ，当且仅当 x2 3 时取等号，  x2 1  2 3    所以当 x2 3 时，  x2 x1  3 ， max2 3 m 所以 3 【总结提升】 基本不等式的综合应用求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 【变式探究】 nN 1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列{a }中，若m， ，满足 n 2 1 a a 2=a 2，则 + 的最小值为__________． m n 4 m n 【答案】1 【解析】设等比数列{a }公比为q，则首项a =q， n 1 由 a a2=a2得： a qm−1 ⋅(a qn−1) 2 =(a q3) 2， m n 4 1 1 1 则：qm+2n=q8 ， ∴m+2n=8， 2 1 1 ( 2 1) 1 ( 4n m ) 1 ( 4n m)， ∴ + = ⋅ + (m+2n)= ⋅ 2+ + +2 = ⋅ 4+ + m n 8 m n 8 m n 8 m n  m,nN 4n m ，∴ >0, >0. m n 4n m √4n m 4n m 则 + ≥2 ⋅ =4（当且仅当 = ，即2n=m时取等号） m n m n m n ( 2 1) 1 . ∴ + = ×(4+4)=1 m n 8 min 故填1. 2.设函数 f (x)=x2−3x （Ⅰ）若不等式f (x)≥m对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围； 1 1 （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当m取最大值时，设x>0，y>0且2x+4 y+m=0，求 + 的最小值. x y 【答案】(1)m≤−2;(2)3+2√2.【解析】 3 （Ⅰ）因为函数f(x)=x2−3x的对称轴为x= ，且开口向上， 2 所以 在 上单调递减， f(x)=x2−3x x∈[0,1] 所以 ， f(x) =f (1)=1−3=−2 min ∴m≤−2. （Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得m=−2， 即2x+4 y−2=0， 所以x+2y=1. 所以x+2y=1. ∵x>0，y>0 1 1 1 1 则 + =( + )(x+2y) x y x y 2y x =(3+ + ) x y √ x 2y ≥3+2 ⋅ y x =3+2√2 2y x √2 当且仅当 = ，即x=√2−1，y=1− 时，等号成立. x y 2 1 1 所以 + 的最小值为3+2√2. x y